复数的标准形式：数域、实虚部与相等

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含有i的式子不一定是虚数，虚部也不是整个含i项。先把表达式写成两个实系数的标准形式，再判断类型或比较两个复数。

一、知识点概念与依据

1. 引入i是扩充数域，不是取消实数的性质

实数的平方非负，所以x²+1=0在实数域内无解。引入满足i²=−1的虚数单位，并保留加法、乘法的交换律、结合律和分配律，就能在新数域中取x=i或−i；两者平方都为−1。

复数写作z=a+bi，其中a、b必须是实数。全体复数记作ℂ；实数a可写成a+0i，所以ℝ是ℂ的真子集，i则不属于ℝ。“实数平方非负”仍正确，只不能把底数范围擅自扩到全部复数。

2. 实部与虚部都是实数

标准形式z=a+bi中，Re z=a，Im z=b；虚部不含i。i的虚部是1，−i的虚部是−1。z=A−Bi在A、B为实数时，虚部为−B；负号与实系数一起读取，A、B若仍含i，就要先化标准形式。

对象	对标准形式a+bi的含义
实部	实数a
虚部	实数b
含i项	bi，不等于“虚部”
实部与虚部之和	a+b，而非a+bi

3. 数的类型看分量，不看式中是否出现i

类型	条件（a、b均为实数）
实数	b=0
虚数（非实复数）	b≠0
纯虚数	a=0且b≠0
零	a=b=0

零既是实数也是复数，但不是纯虚数；纯虚数只是虚数的一部分。i²可化成−1，相反的含i项也能抵消，因此表达式含i不代表结果非实。

非实复数没有通常实数意义下的大小顺序，不能由实部的大小断言两个非实复数的大小；模、实部和虚部本身是实数，则可分别比较。

4. 标准表示唯一，复数相等须两分量相等

对实数a、b、c、d，有

a+bi=c+di\quad\Longleftrightarrow\quad a=c\ \text{且}\ b=d.

证明：若两复数相等，移项得(b−d)i=c−a。假设b−d≠0，除以实数b−d会使i=(c−a)/(b−d)成为实数，与i²=−1及实数平方非负矛盾。故b=d，再代回得a=c。反方向显然成立，因此是充要条件。

系数为实数是上述证明的关键；若允许复系数，右边的商不一定为实数，不能直接套判据。等于实数c还需虚部0；等于0则两分量都为0。只让实部相同或只让模相同，都不足以使两个复数相等。

5. 用i²=−1化简后再读分量

先分配展开，把i²换成−1，合并实数项与i的实数倍。依次乘i得到i、−1、−i、1，随后返回i，故虚数单位的整数幂有四周期；具体幂和计算另在乘方单元展开。

参数若为实数，化简后的实系数方程可以联立求解；同一个参数必须同时满足两条方程，取交集而不是并集。原式有分母或实根式时，也先保留原定义域。

二、考点方法与例题

1. 先用虚数单位关系，后判断结果类型

把平方与普通系数运算分开，不能把i²当成i，也不能只因为出现i就直接判断为虚数。

例题 01 虚数单位参与的化简

题目

复数 $2+{i}^{2}=$ （）

A．1 B．2 C． $2i$ D． $2-i$

答案与解析

解析

i²=−1，所以2+i²=2−1=1，选A。B忽略了i²的贡献；C、D都不等于化简后的实数1。原式虽然含i，结果仍可能为实数。

本题结论

A，1。

2. 概念判断逐项核查前提

判断纯虚数需同时满足两个条件；读实虚部先查系数所属数域；比较大小则先查比较的是否为实数。反例必须确实满足原命题给定条件。

例题 02 复数概念的条件辨析

题目

给出下列命题：

①若 $a\in$ R，则 $(a+1)i$ 是纯虚数；

②若 $a,b\in$ R且 $a>b$ ，则 $a+i>b+i$ ；

③若 $a,b\in$ C，则复数 $a+bi$ 的实部为a，虚部为b；

④i的平方等于 $-1$ .

其中正确命题的序号是（　　）

A．① B．②

C．③ D．④

答案与解析

解析

①取a=−1（合法实数），得到(a+1)i=0，并非纯虚数，错误。

②a+i、b+i都是非实复数，没有通常实数意义下的大小关系；a>b不能推出所写不等式，错误。

③只给a、b属于ℂ，不能保证是标准形式的实系数。例如a=i、b=0，则a+bi=i的实部为0、虚部为1，并不是a、b。错误。

④i²=−1是虚数单位的规定，正确。因此只有④，选D；A、B、C分别对应的命题均不成立。

本题结论

D，仅④正确。

3. 虚部取带符号的实系数

把表达式写成A+Bi，读取B；问实部虚部之和时计算A+B，不保留虚部后的i。

例题 03 标准形式的虚部

题目

若复数 $z=-1-2i$ ，则 $z$ 的虚部是（）

A． $-1$ B． $-2$ C． $2i$ D． $-2i$

答案与解析

解析

−1−2i=−1+(−2)i，实部为−1，虚部为−2，因此选B。A是实部；C、D含i，不是所问的实数系数，其中D是整个含i项。

本题结论

B，虚部为−2。

例题 04 由实部虚部之和求参数

题目

若复数 $2-bi\left( b\in R\right)$ 的实部与虚部之和为0，则b的值为（）

A．2 B． $\frac{2}{3}$ C． $-\frac{2}{3}$ D．-2

答案与解析

解析

b是实数，2−bi的实部为2，虚部为−b。题意给2−b=0，所以b=2，选A。D漏读虚部负号；B、C代回2−b分别为4/3、8/3，都不是0。

本题结论

A， $b=2$ 。

4. 复数相等的两条实方程取交集

两边化标准形式，同时比较实部、虚部。解出候选后代回两条方程；只满足其中一式仍不合格。

例题 05 两个复数相等时的实参数

题目

已知 ${z}_{1}={m}^{2}-3m+{m}^{2}i$ ， ${z}_{2}=4+(5m+6)i$ ，其中 $m$ 为实数， $i$ 为虚数单位，若 ${z}_{1}-{z}_{2}=0$ ，则 $m$ 的值为（）

A．4 B． $-1$ C．6 D． $-1$ 或6

答案与解析

解析

由z₁−z₂=0，即z₁=z₂，且m为实数，得到

\begin{cases}m^2-3m=4,\\m^2=5m+6.\end{cases}

第一式分解为(m−4)(m+1)=0，根集为{4,−1}；第二式为(m−6)(m+1)=0，根集为{6,−1}。交集只有−1，代回实部1+3=4、虚部1=−5+6均成立，选B。

A的4只满足实部，C的6只满足虚部，D把虚部两根全留而漏了实部条件。也可先将两式整理后相减消去m²，得到2m=−2，再代回检查。

本题结论

B， $m=-1$ 。

三、坑点边界与纠错

1. 虚部不是含i的项，负号不能丢

虚部必须为实数；−(x+y)i在x、y为实数时，虚部是−(x+y)。若系数本身仍含i，先化简再读取。

2. 零、虚数与纯虚数按定义区分

复数不等于非实数。零属于实数，纯虚数须排除零；含i的原式也可能化成实数。

3. 相等与大小、相等与等模都不是同一关系

复数相等要求两分量同时相等；模相等只给到原点的距离相等。非实复数不能直接套实数的大小顺序，实数方程也不能未经说明就改换数域。