二次式的根、符号与含参分类

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同一个二次式，可以用来求函数值、求零点，也可以按正负筛出解集。先把配方、根和符号连接起来；遇到参数，再依次检查次数、根的形态与根的顺序，最后单独处理等号。

一、知识点概念与依据

1. 方程、函数与不等式处理同一个式子

右端化零后， $ax^2+bx+c=0$ 是一元二次方程， $ax^2+bx+c>0$ 等是一元二次不等式，均要求实际二次项系数 $a\ne0$ 。函数 $f(x)=ax^2+bx+c$ 给每个 $x$ 一个输出；方程求输出为零的 $x$ ；不等式求输出具有指定符号的 $x$ 。

方程的实根是实数 $x_i$ ，图上对应交点是 $(x_i,0)$ ，不是同一个对象。不等式解集收集的是自变量 $x$ ，不是函数值范围。重根在实数解集中只列一次；计算根和积时可按重数写为 $x_1,x_2$ 两个相同数。

所有式子先有意义。若不等式来自分式、根式或题设另限区间，求出多项式的符号解集后还须与原范围相交，原分母零点不会因化简而变成合法对象。

2. 配方推出求根公式，不跳过正负两支

记 $\Delta=b^2-4ac$ 。直接展开有

4a(ax^2+bx+c)=(2ax+b)^2-b^2+4ac=(2ax+b)^2-\Delta.

由于 $a\ne0$ ，方程同乘 $4a$ 可逆，即使 $a<0$ 也只是等式，不涉及不等号反向。原方程等价于 $(2ax+b)^2=\Delta$ ：

$\Delta<0$ ：实数平方不能为负，无实根。
$\Delta=0$ ：只有 $x=-b/(2a)$ ，一个二重实根。
$\Delta>0$ ：保留 $2ax+b=\pm\sqrt\Delta$ ，得两个不同实根

r_- =\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a},\qquad r_+=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}.

公式的加减号不是大小标签。根差 $r_+-r_-=\sqrt\Delta/a$ ， $a>0$ 时 $r_-<r_+$ ， $a<0$ 时次序相反。写区间前必须排序。

3. 韦达关系及因式分解的来由

有实根时，直接由求根公式相加、相乘：

x_1+x_2=\frac{-2b}{2a}=-\frac ba,\qquad x_1x_2=\frac{b^2-\Delta}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac ca.

乘积用了平方差，除法因 $a\ne0$ 合法。重根时两个写法相同，和积仍成立。再展开

a(x-x_1)(x-x_2)=ax^2-a(x_1+x_2)x+ax_1x_2=ax^2+bx+c,

便得到因式分解。根的平方和由完全平方展开得

x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2.

所有系数须来自同一个右端为零的式子。例如原式与 $1$ 比较，移项后的常数为 $c-1$ ，不能仍把根积写作 $c/a$ 。已知根和积通常只决定系数比，不决定整体尺度；没有额外条件不能擅设 $a=1$ 。

反过来，给定实数和积 $s,p$ ，候选根满足 $t^2-st+p=0$ ，要确有一对实根还需 $s^2-4p\ge0$ ，要不同则需严格大于零。不能先假定根存在，再只算对称式。

4. 两个不同实根，逐段看因子符号

若根已排为 $\alpha<\beta$ ， $f(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)$ 。

自变量位置	$x-\alpha$	$x-\beta$	两因子的乘积
$x<\alpha$	负	负	正
$\alpha<x<\beta$	正	负	负
$x>\beta$	正	正	正

$a>0$ 保持这三个符号， $a<0$ 全部反转。根处为零，严格号排根、非严格号收根。两个因子都负也会有正积，不能只保留两个都正的分支。

例如 $x^2-2x=x(x-2)>0$ ，两根是 $0,2$ ，正确为 $x<0$ 或 $x>2$ 。只写 $x>0$ 会漏负数、错收中间；只写 $x<2$ 会错收中间、漏右侧；取 $0<x<2$ 则恰选了负积区域。

5. 重根、无实根及四种比较

配方为

f(x)=a\left(x+\frac b{2a}\right)^2-\frac\Delta{4a} =a\left[\left(x+\frac b{2a}\right)^2-\frac\Delta{4a^2}\right].

若 $\Delta<0$ ，括号内是平方加正数，处处严格正，所以 $f$ 始终与 $a$ 同号。没有方程实根只表示没有零点，不表示每种不等式都无解。

若 $\Delta=0$ ，记 $h=-b/(2a)$ ， $f=a(x-h)^2$ ；只在 $h$ 为零，其余点与 $a$ 同号，跨过重根不变号。

对 $a>0$ ，完整结论如下：

判别式	$f>0$	$f\ge0$	$f<0$	$f\le0$
$\Delta>0$	$(-\infty,\alpha)\cup(\beta,+\infty)$	$(-\infty,\alpha]\cup[\beta,+\infty)$	$(\alpha,\beta)$	$[\alpha,\beta]$
$\Delta=0$	$\mathbb R\setminus\{h\}$	$\mathbb R$	$\varnothing$	$\{h\}$
$\Delta<0$	$\mathbb R$	$\mathbb R$	$\varnothing$	$\varnothing$

$a<0$ 时，对原不等式同乘 $-1$ 并反向，再用正首项表。新判别式 $(-b)^2-4(-a)(-c)=\Delta$ ，零点没变，只是所需符号相反。特别是负平方的 $>0,\ge0,<0,\le0$ 依次给空集、单点、去掉根的实数、全实数。

表中的根还须满足原额外范围；它不允许收入分式的零分母。有限的试值可辅助核验三段符号，完整因子判号才覆盖全部解集。

6. 参数分类先管次数，再管根序

方程也要先查退化： $A=0$ 时 $Bx+C=0$ 在 $B\ne0$ 下唯一解 $-C/B$ ； $B=C=0$ 时全部允许实数都是解； $B=0,C\ne0$ 时无解。不能将这些情形代入含 $1/A$ 的求根公式。

参数固定一次以后再解 $x$ 。先把目标化成 $A x^2+B x+C$ 与零比较，按实际系数分类：

$A=0$ ：直接代原式。 $B\ne0$ 时是一次式，除 $B$ 要按正负定向； $B=0$ 时只比较常数，真则全部允许 $x$ 成立，假则空集。
$A\ne0$ ：判断 $\Delta$ 正、零、负，或由因式直接判断实根及重合。
有不同实根：比较根差并检查其分母符号。首项符号决定内外区域的正负，根序决定左右端点，不能互相代替。
各分支接齐，所有临界值代未经除法的原式；分支并集应覆盖题设全部参数范围。

例如 $0<t<1$ 已保证 $1/t>1>t$ ，故 $(x-t)(x-1/t)<0$ 的解为 $(t,1/t)$ 。倒写 $(1/t,t)$ 是空集；两侧是正值区域； $x<1/t$ 或 $x>t$ 则覆盖全部实数，均不是原负值区。

另一个符号分类是 $(x+a)(ax-1)<0$ ： $a=0$ 时为 $-x<0$ ，得 $x>0$ ； $a>0$ 时 $-a<0<1/a$ ，解 $(-a,1/a)$ ； $a<0$ 时 $1/a<0<-a$ ，除负数后取两侧 $x<1/a$ 或 $x>-a$ 。两根不能重合，因为 $-a=1/a$ 将要求 $a^2=-1$ 。所谓 $x>1/a$ 或 $x<-a$ 在负 $a$ 时覆盖全实数，在正 $a$ 时取了外侧，在零参数时又无定义，所以不能是该题解集。

7. 多小问的条件按文字层级继承

共同题设及其必然结论继续有效；某个独立“若……”只作用于当前小问；嵌套在同一个“当……”之下的小问共享外层条件。上一问得到一个参数答案，不自动变成下一问已知。

例如前问固定参数为 $3$ ，后问要求一般参数解集，不能继续固定为 $3$ 。反过来，若共同给定零点和纵截距已唯一确定函数，后问当然应继续使用该函数。每次取交都应指出来自共同条件还是当前分支，不因排版相邻就添加假设。

二、考点方法与例题

1. 确定系数：化零、求根、判号、收端点

先核因式展开和实际系数，再按根的形态处理。负首项可同乘 $-1$ ，但必须同时反向。最后把零点代回原比较，并与原定义域取交。

例题 01 负首项化为正首项时同步反向

题目

不等式 $-3{x}^{2}+7x-2<0$ 的解集为（）

A． $\left( \frac{1}{3},2\right)$ B． $\left( -\infty ,\frac{1}{3}\right)\cup \left( 2,+\infty \right)$ C． $\left( -\frac{1}{2},-\frac{1}{3}\right)$ D． $\left( 2,+\infty \right)$

答案与解析

解析

原式同乘 $-1$ ，得到等价式

3x^2-7x+2>0\iff(3x-1)(x-2)>0.

两根为 $1/3,2$ 。 $x<1/3$ 时两因子都负； $1/3<x<2$ 时一正一负； $x>2$ 时两因子都正。因此取两侧，严格号排除两根。

B 完整；A 取了负值中间段；C 的边界不是零点，且仅截取左支一部分；D 漏掉左支。原式代 $x=0,1,3$ 分别为负、正、负，可作复核，但不代替上述全区间符号证明。

本题结论

B， $(-\infty,1/3)\cup(2,+\infty)$ 。

例题 02 不同根、重根与无根分开处理

题目

求下列一元二次不等式的解集

(1) ${x}^{2}-5x+6\ge 0$

(2) $\left( x+2\right)\left( x-3\right)<0$

(3) $9{x}^{2}-6x+1>0$

(4) $-{x}^{2}+2x-3>0$

答案与解析

解析

（1） $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$ ，首项正，非负取两侧并收入零点，解为 $(-\infty,2]\cup[3,+\infty)$ 。

（2）根为 $-2,3$ ，两根间一正一负，严格负排除根，解为 $(-2,3)$ 。

（3） $9x^2-6x+1=(3x-1)^2$ ，平方严格正等价于 $x\ne1/3$ ，解为 $\mathbb R\setminus\{1/3\}$ 。重根没有一段“两个不同根之间”。

（4） $-x^2+2x-3=-(x-1)^2-2\le-2<0$ ，不可能严格正，所以空集。也可先变为 $x^2-2x+3<0$ ，判别式负且首项正说明左式处处正，同样无解；必须同时说明开口与目标符号。

本题结论

（1） $(-\infty,2]\cup[3,+\infty)$ ；（2） $(-2,3)$ ；（3） $\mathbb R\setminus\{1/3\}$ ；（4） $\varnothing$ 。

2. 参数解集：每段都回答“哪些 x”

先代退化参数，再在非零首项分支比较根差。将答案写成“参数在哪一段，对应什么 $x$ 解集”；即使选择题没有列重根结果，也不能跳过。多问中的条件重新读取，但原完整题及各小问保持相连。

例题 03 退化、根序交换与不可能解集

题目

关于 $x$ 的不等式 $a{x}^{2}+\left( 2a-1\right)x-2>0$ ，其中 $a\le 0$ ，则该不等式的解集不可能是（）

A． $\left( -\infty ,-2\right)$ B． $\left( -2,\frac{1}{a}\right)$

C． $\left( -\infty ,-2\right)\cup \left( \frac{1}{a},+\infty \right)$ D． $\left( \frac{1}{a},-2\right)$

答案与解析

解析

$a=0$ 时原式为 $-x-2>0$ ，得 $x<-2$ ，所以 A 可以出现。

$a<0$ 时验证分解：

ax^2+(2a-1)x-2=a(x+2)(x-1/a).

除负数 $a$ 后目标成为 $(x+2)(x-1/a)<0$ 。比较两根的差

\frac1a-(-2)=\frac{1+2a}{a},

分母负： $a<-1/2$ 时差正，解为 $(-2,1/a)$ ，B 可出现； $-1/2<a<0$ 时差负，解为 $(1/a,-2)$ ，D 可出现。

$a=-1/2$ 直接代原式，得 $-\tfrac12(x+2)^2>0$ ，无解。严格号不能在重根处通过。

全部分支已覆盖 $a\le0$ ，没有两侧解集，故 C 不可能。选项中的 $1/a$ 只能在 $a\ne0$ 分支解释，不能拿来代零参数。

本题结论

C 不可能； $a=0$ 为 $(-\infty,-2)$ ， $a<-1/2$ 为 $(-2,1/a)$ ， $a=-1/2$ 为空， $-1/2<a<0$ 为 $(1/a,-2)$ 。

例题 04 原函数的根与新比较的根不同

题目

已知二次函数 $y={x}^{2}-\left( a-1\right)x-a-1$ 的图象与x轴交于 $A\left( {x}_{1},0\right)$ ， $B\left( {x}_{2},0\right)$ 两点.

(1)当 $a=3$ 时，求 ${x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}$ 的值；

(2)求关于x的不等式 $y+1\ge 0$ 的解集.

答案与解析

解析

先核共同题设：原函数判别式为

(a-1)^2+4(a+1)=(a+1)^2+4>0,

所以任意实数 $a$ 都确有两个不同横轴交点，不需暗加额外参数范围。

（1） $a=3$ 时方程为 $x^2-2x-4=0$ 。根和 $2$ 、根积 $-4$ ，所以 $x_1^2+x_2^2=2^2-2(-4)=12$ ，无需求两个根式。

（2）不沿用前问 $a=3$ 。题目要求

y+1=x^2-(a-1)x-a=(x-a)(x+1)\ge0.

$a>-1$ 时根序为 $-1<a$ ，解 $x\le-1$ 或 $x\ge a$ ； $a=-1$ 时是 $(x+1)^2\ge0$ ，所有实数成立； $a<-1$ 时根序反过来，解 $x\le a$ 或 $x\ge-1$ 。非严格号收入两个根，重根时也保留根本身。

原资料三段结论的引导文字误写“ $y\ge1$ ”；题干应为 $y+1\ge0$ ，即 $y\ge-1$ ，上列解集针对题干，不能另做成 $y\ge1$ 。

本题结论

（1） $12$ ；（2） $a>-1$ ： $(-\infty,-1]\cup[a,+\infty)$ ； $a=-1$ ： $\mathbb R$ ； $a<-1$ ： $(-\infty,a]\cup[-1,+\infty)$ 。

例题 05 区间条件与一般参数解集各自处理

题目

已知关于x的不等式 $a{x}^{2}-x+1-a\le 0$ ．

(1)当 $3\le x\le 4$ 时，不等式 $a{x}^{2}-x+1-a\le 0$ 恒成立，求实数a的取值范围；

(2)当 $a>0$ 时，解关于x的不等式．

答案与解析

解析

（1） $x\in[3,4]$ 时 $x^2-1=(x-1)(x+1)>0$ 。移项并除这个正数：

a(x^2-1)\le x-1\iff a\le\frac1{x+1}.

约去的 $x-1$ 非零。区间内 $x+1\in[4,5]$ ，正倒数最小 $1/5$ 在 $x=4$ 取得。因此全区间成立当且仅当 $a\le1/5$ ：必要取 $x=4$ ，充分由每个倒数都不小于 $1/5$ 。

（2）本问只给 $a>0$ ，不把前问结果强行取交。因式分解

ax^2-x+1-a=(x-1)(ax+a-1) =a(x-1)\left(x-\left(\frac1a-1\right)\right).

除 $a>0$ 保号。 $0<a<1/2$ 时另一根 $1/a-1>1$ ，解为 $[1,1/a-1]$ ； $a=1/2$ 时正平方不大于零，只能 $x=1$ ； $a>1/2$ 时另一根小于 $1$ ，解为 $[1/a-1,1]$ 。

原资料错误：后两种不同根分支写成了开区间，但原号为 $\le0$ ，两根代回均等于零，必须收入，不能沿用原开端点。

本题结论

（1） $a\le1/5$ ；（2） $0<a<1/2$ ： $[1,1/a-1]$ ； $a=1/2$ ： $\{1\}$ ； $a>1/2$ ： $[1/a-1,1]$ 。

例题 06 独立假设与嵌套条件的作用范围

题目

已知函数 $f(x)={x}^{2}-ax+b$ .

(1)若不等式 $f(x)>0$ 的解集为 $(-\infty ,1)\cup (3,+\infty )$ ，求实数 $a,b$ 的值；

(2)当 $f\left( -1\right)=0$ 时，

（i）解关于x的不等式 $f\left( x\right)>0$ ；

（i）若存在 $x\in [1,2]$ ，使得 $f\left( x\right)\le 0$ ，求实数a的取值范围.

答案与解析

解析

（1）完整正值解集的有限边界为 $1,3$ ，对应两个不同零点；首项固定为 $1$ ，所以 $f=(x-1)(x-3)=x^2-4x+3$ ，得 $a=4,b=3$ ，外侧符号也吻合。

（2）本问另设 $f(-1)=0$ ，给 $1+a+b=0$ ，即 $b=-(a+1)$ 。它同时作用于下面两个内层问题，却不继承前问 $a=4,b=3$ ；那一组参数反而给 $f(-1)=8\ne0$ 。

第一内层： $f=(x+1)(x-a-1)$ 。 $a>-2$ 时根为 $-1<a+1$ ，严格正解 $x<-1$ 或 $x>a+1$ ； $a=-2$ 时为平方，解 $x\ne-1$ ； $a<-2$ 时解 $x<a+1$ 或 $x>-1$ 。

后一内层：在 $x\in[1,2]$ 上 $x+1>0$ ，故

f(x)\le0\iff x\le a+1.

存在区间中一个这样的 $x$ 当且仅当 $a+1\ge1$ ，即 $a\ge0$ 。必要性来自 $x\ge1$ ；充分性选 $x=1$ ，有 $f(1)=-2a\le0$ 。从根区间看也一样： $a>-2$ 时非正区为 $[-1,a+1]$ ，与 $[1,2]$ 相交恰要求 $a\ge0$ ； $a=-2$ 只有点 $-1$ ， $a<-2$ 的非正区止于 $-1$ ，均无见证。

原编号与符号说明：原题将两个内层问都标成（i），这里按先后解释，不把后者删除。原解 $a<-2$ 的一行写 $x>1$ ，正确为 $x>-1$ ；例如 $a=-3,x=0$ 有 $f(0)=2>0$ ，确应收入，原最终解集的 $-1$ 才正确。

本题结论

（1） $a=4,b=3$ ；（2）第一内层按 $a$ 与 $-2$ 的三支如上，后一内层 $a\ge0$ 。