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外观

向量方程处理空间存在性

约 1774 字大约 6 分钟

参数先限定位置，方程筛出候选，再回到真实的几何条件逐项检验。

一、知识点 理解概念

1. 存在性要同时回答代数与几何

“存在某点使关系成立”不能只给方程的一个根。先将点的合法位置表示成参数，再把几何条件化为必要方程，最后检验每个候选是否确实构成所需图形并满足原条件。这样既不漏解，也不把形式解当几何点。

2. 参数范围和非退化条件先写

点在线段 PCPC 上可写 M=P+λ(C−P)M=P+\lambda(C-P)，0≤λ≤10\le\lambda\le1；在线段内部为 0<λ<10<\lambda<1；在整条直线 PCPC 上为 λ∈R\lambda\in\mathbb R；在从 PP 沿 PCPC 正向的射线上为 λ≥0\lambda\ge0（P≠CP\ne C）。对线段参数，PM/PC=λPM/PC=\lambda；若参数可负，长度比要取绝对值。

构成直线的两点须不同，构成平面的三点须不共线，方向和法向量须非零。分量可能为零，不能不分情形便把某个法向分量设成 11。证线面平行还须排除直线在面内，证面面平行还须排除重合。

二、考点 方法与例题

1. 从几何约束到可逆的方程链

先用垂直、平行等已知关系建合法的空间直角坐标系，以各轴的单位方向为基，不把长度不等的辅助向量直接当单位基。表示动点后先检查非退化，再求方向或法向量；线面角用正弦公式，点面距离取沿法向量的分量，指定半平面的二面角须保留方向，不能一律取锐角。列式后记录分母非零和平方前两边的符号条件；绝对值可按符号分支或合法区间分段处理，完整解方程，再逐根回代原几何条件与原未平方式。

例题 01 棱上动点与平面夹角

如图，在四棱锥P−ABCDP-ABCD中，△PAD\triangle PAD是正三角形，∠ABC=90∘,AB∥CD,AB=2CD=2BC=4\angle ABC=90^{\circ},AB\parallel CD,AB=2CD=2BC=4，平面PAD⊥PAD\perp平面ABCDABCD，MM是棱PCPC上动点．

原资料配图
原资料配图

(1)求证：平面MBD⊥MBD\perp平面PADPAD；

(2)在线段PCPC上是否存在点MM，使得直线APAP与平面MBDMBD所成角为30°？若存在，求出PMPC\frac{PM}{PC}的值；若不存在，说明理由．

答案与解析

（1）先证明固定的垂面方向。

由 AB=4,CD=BC=2AB=4,CD=BC=2，且 AB∥CD,∠ABC=90∘AB\parallel CD,\angle ABC=90^\circ，有 BC⊥CDBC\perp CD，故 BD=22BD=2\sqrt2，∠ABD=45∘\angle ABD=45^\circ。在 △ABD\triangle ABD 用余弦定理得 AD=22AD=2\sqrt2，因此 AD2+BD2=AB2AD^2+BD^2=AB^2，即 AD⊥BDAD\perp BD。

取 ADAD 中点 OO。PADPAD 是等边三角形，故 PO⊥ADPO\perp AD；平面 PADPAD 垂直底面且交线为 ADAD，所以 PO⊥PO\perp 底面，特别有 PO⊥BDPO\perp BD。AD,POAD,PO 是平面 PADPAD 内相交的两条线，得到 BD⊥BD\perp 平面 PADPAD。只要 MM 不在 BDBD 上，平面 MBDMBD 含此垂线，便垂直平面 PADPAD。下面建系也将验证整个线段上的 MM 都不使该平面退化。

（2）建系并核查所有位置。

取 ABAB 中点 NN，三角形 ABDABD 中 ON∥DBON\parallel DB。以 OO 为原点，沿 ON,OD,OPON,OD,OP 的单位方向建 x,y,zx,y,z 轴；这三方向互相垂直。

原解析坐标系与动点位置图
原解析坐标系与动点位置图

A=(0,−2,0), D=(0,2,0), B=(22,2,0), C=(2,22,0), P=(0,0,6).A=(0,-\sqrt2,0),\ D=(0,\sqrt2,0),\ B=(2\sqrt2,\sqrt2,0),\ C=(\sqrt2,2\sqrt2,0),\ P=(0,0,\sqrt6).

令 λ=PM/PC∈[0,1]\lambda=PM/PC\in[0,1]，则

M=(2λ,22λ,6(1−λ)),DB⃗=(22,0,0),DM⃗=(2λ,2(2λ−1),6(1−λ)).M=(\sqrt2\lambda,2\sqrt2\lambda,\sqrt6(1-\lambda)),\quad \vec{DB}=(2\sqrt2,0,0),\quad \vec{DM}=(\sqrt2\lambda,\sqrt2(2\lambda-1),\sqrt6(1-\lambda)).

DM⃗\vec{DM} 的后两分量若同时为零，分别要求 λ=1/2\lambda=1/2 和 λ=1\lambda=1，不可能。因此对整个闭区间，包括两个端点，D,B,MD,B,M 都不共线。第（1）问的平面确实存在。

可取平面 BDMBDM 的法向量

n⃗=(0,3(λ−1),2λ−1).\vec n=(0,\sqrt3(\lambda-1),2\lambda-1).

它与 DB⃗,DM⃗\vec{DB},\vec{DM} 的数量积均为零，且

∣n⃗∣2=7λ2−10λ+4=7(λ−57)2+37>0.|\vec n|^2=7\lambda^2-10\lambda+4=7\left(\lambda-\frac57\right)^2+\frac37>0.

方向 AP⃗=(0,2,6)\vec{AP}=(0,\sqrt2,\sqrt6)，长度 222\sqrt2，且 AP⃗⋅n⃗=6(3λ−2)\vec{AP}\cdot\vec n=\sqrt6(3\lambda-2)。线面角为 30∘30^\circ 当且仅当

6∣3λ−2∣227λ2−10λ+4=12.\frac{\sqrt6|3\lambda-2|}{2\sqrt2\sqrt{7\lambda^2-10\lambda+4}}=\frac12.

分母恒正，两边非负，可以等价平方，得到

3(3λ−2)2=7λ2−10λ+4,(2λ−1)(5λ−4)=0.3(3\lambda-2)^2=7\lambda^2-10\lambda+4, \qquad (2\lambda-1)(5\lambda-4)=0.

逐根验回： λ=1/2\lambda=1/2 时，∣n⃗∣=3/2|\vec n|=\sqrt3/2，数量积绝对值为 6/2\sqrt6/2；λ=4/5\lambda=4/5 时，∣n⃗∣=23/5|\vec n|=2\sqrt3/5，数量积绝对值为 26/52\sqrt6/5。两者代回未平方的正弦式均为 1/21/2，且都在 (0,1)(0,1)，平面不退化。线面角范围 [0∘,90∘][0^\circ,90^\circ] 内，这就确定角为 30∘30^\circ。

因此确实存在这样的 MM，且全部可能的长度比为

PMPC=12或45.\boxed{\frac{PM}{PC}=\frac12\quad\text{或}\quad\frac45}.

二次方程已完整分解且前后等价，所以没有遗漏其他候选。

原说明的条件澄清： 原补充文字写成“AB=CD/2AB=CD/2、ADAD 垂直两底边”，与题设不符；本题实际是 AB=2CDAB=2CD，由直角得到 BCBC 垂直两底边。上面的底面计算依据题干，并未采用错误关系。建系采用三个轴向的单位向量；ON⃗,OD⃗,OP⃗\vec{ON},\vec{OD},\vec{OP} 本身长度不等，不能直接当标准正交单位基。

三、坑点 辨析与纠错

1. 解出候选只是必要条件阶段

常见漏项是只验参数区间，却不验平面是否退化；或只检查数量积等式，却忘记法向量不能为零。平方也可能丢掉原符号限制，必须回代未平方式。本题两个根都通过全部检查，不能因为图只画一个动点就任意删去另一个。

2. 最终回答几何量，不停在符号上

先核参数定义，再把候选还原成题问的位置、长度或比例。参数可以表示有向倍率，长度比未必直接等于参数；对题设线段、开线段、射线、整条直线，端点与符号条件分别处理。要说明“存在”还需给出构造或合法参数所确定的点，不能把“方程有根”独自作为结论。