反射法、折线最短与光线方向

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先把距离换成相等的一段，再证明下界能由合法折点达到；直线方程还不等于射线方向。

一、知识点理解概念

1. 反射给下界，侧向决定怎样展开

固定两端点 $A,B$ ，折点 $P$ 在指定直线 $l$ 上移动，求 $AP+PB$ 。若 $l:ax+by+c=0$ ，分别计算两端点代入值：乘积大于零为同一开半平面，小于零为异侧，等于零说明至少一端点在轴上，须另看等号。

同侧时，把 $A$ 反射为 $A'$ 。轴上任意 $P$ 到 $A,A'$ 等距，所以

AP+PB=A'P+PB\ge A'B.

等号要求 $P$ 在线段 $A'B$ 上，不仅在其所在直线上。 $A'$ 与 $B$ 在轴异侧，线段必与轴相交；若允许折点取整条轴，这个交点合法，下界可达。

异侧时，原线段 $AB$ 已与轴相交，直接用 $AP+PB\ge AB$ ，取交点便达下界，无须再反射。有端点在轴上，按线段 $AB$ 是否有允许交点判断；两端点都在轴上，则两点之间的允许部分都可取等号，不一定唯一。 $A=B$ 在轴上时，只有 $P=A$ 能给零和长。

2. 先求线段交点，再核允许折点范围

展开后可令 $P=A'+t(B-A')$ ，求与轴的交点并检查 $0\le t\le1$ ；异侧直接用 $A+t(B-A)$ 。还须把该点核回题给整线、射线、线段或轴的一部分。延长线交点不等于允许折点。

交点不在原允许范围内时，原下界不能直接叫最小值，须在允许范围重求。开放端点可能只给能趋近的下确界而没有最小值；也须排除有其它合法等号点的特殊情况，不能一概说开放范围都无最小值。

3. 闭线段上的最佳端点可以证明，不靠图猜

设整条约束直线上的最佳点 $P_0$ 在线段范围外， $E$ 为靠近 $P_0$ 的端点。对线段内任意 $Q$ ， $E$ 在 $P_0Q$ 上，可写 $E=(1-t)P_0+tQ$ ， $0<t\le1$ 。令 $F(P)=AP+PB$ 。

两段距离分别用加权三角不等式，得到

F(E)\le(1-t)F(P_0)+tF(Q).

因为 $P_0$ 是整线最优， $F(P_0)\le F(E)$ ，所以

F(E)\le(1-t)F(E)+tF(Q)\implies F(E)\le F(Q).

因此这个较近端点确为闭线段的最小处。若端点不允许取，不能直接宣称同样的最小值已经取得，还须核是否另有合法等号点。

4. 反射的支撑直线不等于传播射线

入射方向分成沿镜面的切向分量与垂直镜面的法向分量。反射保留切向、翻转法向，所以入射与出射分别同法线成等角。反射来源点的像点与反射支撑直线共线，但通常在出射的反向延长线上；真实光线须从反射点沿出射方向取射线。

多次反射要按行进顺序逐次展开，并核每个交点在指定镜面及真实传播方向上。只有一个支撑直线方程，不足以证明反射路径实际可走。

二、考点方法与例题

1. 河岸题先判侧，反射后求可达折点

明确两端点及河岸允许范围，先用代入值判断同侧或异侧。同侧反射一端，用等距换段；然后求展开线段与河岸交点，核线段参数及原范围，最后回代原距离和。

例题 01 沿直线河岸选择折点

唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为 $B(-2,0)$ ，若将军从山脚下的点 $A(1,0)$ 处出发，河岸线所在直线的方程为 $x+y=2$ ，则“将军饮马”的最短总路程为（）

A． $\sqrt{29}$ B． $5$ C． $\sqrt{17}$ D． $\sqrt{15}$

答案与解析

河岸为 $f(x,y)=x+y-2=0$ ， $f(A)=-1,f(B)=-4$ ，两点在同侧。把 $A(1,0)$ 关于河岸反射为 $A'=(2,1)$ ：中点 $(3/2,1/2)$ 在岸上，差向量 $(1,1)$ 是河岸法向量。原图将这个像点标为 $P$ 。保留原解的中点与斜率方程：设像点 $(x,y)$ ，有 $(1+x)/2+y/2=2$ ，以及 $(y-0)/(x-1)=1$ ，解得 $(2,1)$ ；此时 $x-1=1$ ，除法合法。

任意河岸折点 $Q$ 满足 $QA=QA'$ ，所以

AQ+QB=A'Q+QB\ge A'B=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}.

核等号：令 $Q=B+t(A'-B)=(-2+4t,t)$ ，代河岸得 $-2+5t=2$ ，即 $t=4/5\in[0,1]$ ， $Q=(6/5,4/5)$ 在原允许整条河岸上。原两段距离分别为 $\sqrt{17}/5,4\sqrt{17}/5$ ，总和确为 $\sqrt{17}$ ，选 C；其它三个数不等于可达最短值。

2. 根号和先配成完整的两点距离

先配平方，固定点的纵坐标由常数的平方根辨认，不把 $4$ 直接当纵坐标 $4$ 。折点通常在轴上，端点确定后再判侧、反射，求出取等时自变量并核原定义域。

例题 02 两个根号之和的最小值

唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，“诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路最短？试求 $\sqrt{{x}^{2}+1}+\sqrt{{x}^{2}-2x+5}$ 最小（）

A． $\sqrt{5}$ B． $\sqrt{10}$ C． $1+\sqrt{5}$ D． $2+\sqrt{2}$

答案与解析

配方 $x^2-2x+5=(x-1)^2+4$ 。设折点 $S=(x,0)$ 、固定点 $P=(0,1),Q=(1,2)$ ，原式恰为 $SP+SQ$ 。两固定点同在 $x$ 轴上方，反射 $P$ 为 $P'=(0,-1)$ 。

于是 $SP+SQ=SP'+SQ\ge P'Q=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$ 。令 $S=P'+t(Q-P')=(t,-1+3t)$ ，轴上条件给 $t=1/3\in[0,1]$ ，因此 $S=(1/3,0)$ 合法。

原题没有额外限制实数 $x$ ， $x=1/3$ 确可取；两根号分别为 $\sqrt{10}/3,2\sqrt{10}/3$ ，总和达到 $\sqrt{10}$ ，选 B。A、C、D 均不同于这个值。

上传知识库保留的原解只说三点共线取等号，完整条件还应是 $S$ 在展开线段内，本题已实际核到。不能为制造限制而给原题随意增加区间；若另题确给区间，才按该区间筛选 $1/3$ 。

例题 03 折点沿一条斜直线移动

已知 $\left( m,n\right)$ 为直线 $x+y-1=0$ 上的一点，则 $\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}+\sqrt{{\left( m+2\right)}^{2}+{\left( n-1\right)}^{2}}$ 的最小值为（）

A． $2\sqrt{3}$ B． $\sqrt{10}$ C．4 D．3

答案与解析

令折点 $P=(m,n)$ 、固定点 $O=(0,0),A=(-2,1)$ ，原式为 $PO+PA$ ，约束 $m+n=1$ 。两固定点代 $x+y-1$ 得 $-1,-2$ ，同侧。把 $O$ 反射为 $B=(1,1)$ ，中点 $(1/2,1/2)$ 在轴上，差向量 $(1,1)$ 沿法向，故 $PO=PB$ 。

于是 $PO+PA=PB+PA\ge AB=3$ 。线段 $AB$ 为 $y=1,-2\le x\le1$ ，与轴 $x+y=1$ 的交点是 $P=(0,1)$ ，确在线段内且满足原允许整条直线约束。此时 $PO=1,PA=2$ ，总和达到 $3$ ，选 D。

原解的中点与斜率法求像点可写 $a/2+b/2=1,b/a=1$ ，得 $a=b=1$ ，分母 $a=1\ne0$ 合法。其“三点共线”表述同样需补线段内条件；本题已经核实。其余选项均不等于 $3$ 。

3. 光线题分别给支撑线与正向射线

用到达反射点的方向向量做切向保留、法向翻转，确定出射方向。题目只问所在直线也要核反射点在直线上；若解释真实传播，另加非负射线参数。

例题 04 经水平镜面反射的光线

一条光线从点 $P\left( 0,1\right)$ 射出，与 $x$ 轴相交于点 $Q\left( 2,0\right)$ ，经x轴反射，则反射光线所在直线的方程为（）

A． $x-2y-1=0$ B． $x-2y+1=0$

C． $x-2y-2=0$ D． $x+2y-2=0$

答案与解析

入射从 $P=(0,1)$ 到 $Q=(2,0)$ ，方向 $Q-P=(2,-1)$ 。经 $x$ 轴反射保留横分量、反转纵分量，出射方向为 $(2,1)$ ，所以真实射线为

(x,y)=(2,0)+t(2,1),\qquad t\ge0.

它的支撑直线满足 $x-2y-2=0$ ，选 C。A、B 不过反射点 $Q$ ；D 为入射支撑直线，未翻转法向分量。

保留原两点求线法： $P$ 关于 $x$ 轴的像为 $P'=(0,-1)$ ，它与 $Q$ 所在直线斜率为 $(0+1)/2=1/2$ ，得 $y=x/2-1$ ，与上式相同。

但 $P'$ 对应出射参数 $t=-1$ ，只在支撑线的反向延长线上，不在真实出射射线内。上传知识库记载原思路称它“在反射光线上”，字面上应改为“在反射光线所在直线上”；原支撑线计算正确，传播从 $Q$ 朝右上，不能把反向部分算作真实路径。