直线倾斜角与斜率

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先确定直线方向与角的半周范围，再判断斜率是否存在。

一、知识点理解概念

1. 一条无向直线如何规定倾斜角

在平面直角坐标系中，以 $x$ 轴正向为基准，逆时针转到直线朝向上半平面的方向，所得角叫倾斜角 $\alpha$ ，规定 $0\le\alpha<\pi$ 。平行或重合于 $x$ 轴的直线取 $\alpha=0$ ，竖直直线取 $\alpha=\pi/2$ 。

直线本身没有箭头。任选一个向下的方向向量，其方向角可能不在此范围，不能直接当倾斜角；应按同一直线方向调整到规定半周。

2. 斜率是纵向变化与横向变化之比

沿直线的非零位移可写成 $r(\cos\alpha,\sin\alpha)$ ，其中 $r\ne0$ 。若 $\alpha\ne\pi/2$ ，横向位移非零，纵横之比为

k=\frac{r\sin\alpha}{r\cos\alpha}=\tan\alpha.

倍率与方向选择同时约去，说明同一直线上斜率不变。它表示横坐标每增加一个单位，纵坐标变化多少；从左到右下降对应负斜率。水平线的纵变化为零，故 $k=0$ ；竖直线的横变化为零，除法无定义，斜率不存在，而倾斜角仍为 $\pi/2$ 。

3. 正切分成两个单调区间

$\alpha=0$ 时 $k=0$ ； $0<\alpha<\pi/2$ 时 $k>0$ ； $\pi/2<\alpha<\pi$ 时 $k<0$ 。正切在 $[0,\pi/2)$ 和 $(\pi/2,\pi)$ 上分别递增，但不能把它们合成一段递增区间。

负斜率对应钝倾斜角。若锐参考角为 $\beta$ ，则应取 $\pi-\beta$ ，不能直接写计算器可能给出的 $-\beta$ 。斜率越大只在两角属于同一单调区间时才意味着倾斜角越大。

二、考点方法与例题

1. 先核对象存在，再由斜率定位角

两点应不同，横差非零时同序作“纵差除横差”；若横差为零则先判竖直。一般式 $Ax+By+C=0$ 须 $A,B$ 不全零， $B\ne0$ 才有 $k=-A/B$ ； $B=0,A\ne0$ 时为竖直线。求角先写 $[0,\pi)$ ，再按斜率正、零、负选择角区间。

例题 01 两点确定的直线方向

若一条直线经过两点 $(1,0)$ 和 $(-2,\sqrt{3})$ ，则该直线的倾斜角为（）

A． $\frac{\pi }{6}$ B． $\frac{\pi }{3}$ C． $\frac{2\pi }{3}$ D． $\frac{5\pi }{6}$

答案与解析

两点横坐标不同，故斜率存在。保持同一取点次序，

k=\frac{\sqrt3-0}{-2-1}=-\frac{\sqrt3}{3}.

交换两点时分子分母同时变号，商仍相同。 $\tan(\pi/6)=\sqrt3/3$ ，负斜率对应钝角，因此 $\alpha=\pi-\pi/6=5\pi/6$ ，选 D。A、B 为锐角，对应正斜率；C 的正切为 $-\sqrt3$ ，并非此斜率。 $-\pi/6$ 虽有相同正切，却不在倾斜角的规定范围内。

2. 含参系数为零的分支先留出

不先除以可能为零的参数。先在原方程内判断零系数是否仍为合法直线；竖直支给 $\pi/2$ ，其余支才转斜率。问角的范围，必须把参数可取端点和竖直支一起合并；有限斜率区间的无穷端不是一个实数值。

例题 02 参数方程的倾斜角范围

设直线 $l$ 的方程为 $x-y\sin \theta +1=0\left( \theta \in \left[ 0,\pi \right)\right)$ ，则直线 $l$ 的倾斜角的范围是（）

A． $\left[ 0,\pi \right)$ B． $\left( 0,\frac{\pi }{4}\right]$ C． $\left[ \frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right]$ D． $\left[ \frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4}\right]$

答案与解析

$x$ 的系数恒为 $1$ ，故所有给定参数都确实表示直线。 $\theta\in[0,\pi)$ ，有 $\sin\theta\in[0,1]$ 。

当 $\sin\theta=0$ ，给定区间内即 $\theta=0$ ，原式是 $x=-1$ ，倾斜角为 $\pi/2$ 。
当 $\sin\theta>0$ ，才可除得 $y=(x+1)/\sin\theta$ ，故 $k=1/\sin\theta\in[1,+\infty)$ 。由正切在锐角区间递增， $\alpha\in[\pi/4,\pi/2)$ 。

$\alpha=\pi/4$ 在 $\theta=\pi/2$ 时取得； $\alpha=\pi/2$ 来自第一条竖直支，不能说是“斜率取无穷大”得到。其余中间角也都能由 $\sin\theta=1/\tan\alpha\in(0,1]$ 取得。合并为 $[\pi/4,\pi/2]$ ，选 C。A、D 包含不可能的角，B 漏去大于 $\pi/4$ 的可取方向。

上传资料记载原中间一步只写区间而漏了“ $\alpha\in$ ”；这里补全这一记号，区间及题目条件均未改变。

3. 充分与必要要分两个方向检验

前件成立而后件不成立，否定充分性；后件成立而前件不成立，否定必要性。不能用一组只否定充分的反例，直接宣称二者都不成立。

例题 03 两种大小关系之间的条件

已知直线 ${l}_{1}$ ， ${l}_{2}$ 的斜率分别为 ${k}_{1}$ ， ${k}_{2}$ ，倾斜角分别为 ${\alpha }_{1}$ ， ${\alpha }_{2}$ ，则“ ${k}_{1}>{k}_{2}$ ”是“ ${\alpha }_{1}>{\alpha }_{2}$ ”的（）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

答案与解析

题设给出两个斜率，所以两个倾斜角都不是 $\pi/2$ 。

不充分：取 $k_1=1,k_2=-1$ ，则 $k_1>k_2$ ，而 $\alpha_1=\pi/4,\alpha_2=3\pi/4$ ，不满足 $\alpha_1>\alpha_2$ 。

不必要：取 $\alpha_1=3\pi/4,\alpha_2=\pi/4$ ，则 $\alpha_1>\alpha_2$ ，而 $k_1=-1,k_2=1$ ，不满足 $k_1>k_2$ 。

两条蕴含分别失败，故既不充分也不必要，选 D；A、B 各保留了一条已被反例否定的蕴含，C 则要求两条都成立。