前问的真实交点域，决定后问每个斜率和比值是否有意义。

01 · 知识点概念、理由与条件02 · 考点方法与完整例题03 · 坑点边界与错因

一、知识点 理解概念

1. 同支判断使用实轴坐标

横轴型 $x^2/a^2-y^2/b^2=1$，$a,b>0$，真实点满足 $|x|\ge a$。先有非退化二次式与 $\Delta>0$ 两不同实端点，才谈根和、积。

同右支要求 $x_1+x_2>0,x_1x_2>0$，同左支要求和负、积正，异支为积负。正和仍可能一正一负，不能单独判同右支。若消元用纵坐标根，须从直线重构横坐标及其和积，纵根异号不是通用同支判据。纵焦轴则改用纵坐标判上下支。

2. 中点与真弦也有双向条件

给 $M=(u,v)$，作差必要式为 $u\Delta x/a^2-v\Delta y/b^2=0$；不同端点要求差向量非零，转斜率另查 $\Delta x,v$ 可除。$v=0,u\ne0$ 给竖直方向，$u=0,v\ne0$ 给水平，中心 $u=v=0$ 不定方向。

随后要联立核两个不同实端点、平均恰为中点及指定支。也可设 $M\pm hd$，$d\ne0$，在必要方向下解 $Q(M)+h^2Q(d)=1$，其中 $Q(x,y)=x^2/a^2-y^2/b^2$。须 $h^2>0$；$Q(d)=0$ 回原常数式，不能硬除。中心弦要求 $Q(d)>0$，端点互负必异支。完整推导与特殊方向见中点弦的存在。

二、考点 方法与例题

1. 先证明参数域，再证明全域定值

多问综合题中，前问常决定后问除法是否合法。先检查最高次项、判别式、端点分支；再检查斜率的分母和比值的分母。不能先用某个特殊参数猜答案，再把不合法参数也算进定值结论。

若直线写 $x=my+n$，它包含 $m=0$ 的竖直线；后续代数不要无故除 $m$。用根和积变形时，保留原比值分母的几何来源，才能说明恒等化简对每个允许参数有效。

例题 01 同右支交点与两条连线的斜率比

已知双曲线$C:\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}=1$的左、右顶点分别为${A}_{1}$，${A}_{2}$，直线$l:x=my+\frac{5}{2}$与C的右支交于$M$，$N$两点.

(1)求实数$m$的取值范围；

(2)若直线${A}_{1}M$，${A}_{2}N$的斜率分别为${k}_{1}$，${k}_{2}$，证明：$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$是定值.

答案与解析

（1）先求两个右支交点的完整参数域。 设 $M=(x_1,y_1),N=(x_2,y_2)$。代入 $x=my+5/2$ 并乘 $4$，得

$$(m^2-4)y^2+5my+\frac94=0.$$

$m=\pm2$ 降为一次，只有一个点，先排。其它参数 $\Delta=16m^2+36>0$，确两不同点。记

$$S=y_1+y_2=\frac{-5m}{m^2-4},\qquad T=y_1y_2=\frac{9/4}{m^2-4}.$$

原解利用过点 $(5/2,0)$ 与纵根异号识别构型，这里补齐其与横坐标支的联系：

$$x_1+x_2=mS+5=\frac{20}{4-m^2},$$

$$x_1x_2=m^2T+\frac{5m}{2}S+\frac{25}{4} =\frac{4m^2+25}{4-m^2}.$$

$|m|<2$ 时两式均正，两横坐标都正，由曲线迫使 $x_i\ge2$，确同右支；且 $T<0$，上下各一点。$|m|>2$ 时横积负，两支各一，不符。故完整范围为 $-2<m<2$，不能仅凭纵积负在一般情形下判右支。

（2）在完整合法域证明定值，并核每次除法。 两顶点为 $A_1=(-2,0),A_2=(2,0)$。原线在 $y=0$ 时 $x=5/2$，不是顶点，所以两端都不是顶点；同右支进一步给 $x_i>2,y_i\ne0$。因此

$$k_1=\frac{y_1}{x_1+2},\qquad k_2=\frac{y_2}{x_2-2}$$

均有定义，且 $k_2\ne0$。保留原解的根和积配凑：

$$\frac{k_1}{k_2} =\frac{y_1(my_2+1/2)}{y_2(my_1+9/2)} =\frac{2mT+S-y_2}{2mT+9y_2}.$$

代 $S,T$ 后，分子为 $-m/[2(m^2-4)]-y_2$，分母为 $9m/[2(m^2-4)]+9y_2$，恰为分子的 $-9$ 倍。分母原为 $2y_2(x_1+2)\ne0$，故合法约分得

$$\boxed{\frac{k_1}{k_2}=-\frac19}.$$

没有除 $m$，所以竖直 $MN$ 的 $m=0$ 也覆盖。实际 $m=0$ 时 $M,N=(5/2,\pm3/4)$，两点均在右支，斜率比也为 $-1/9$，说明参数域非空；一般证明不是靠这一抽样。

同右支两点与顶点连线的原解图

原解中将右顶点偶写为 $A$，这里按题干统一为 $A_2$，不改变坐标或连线条件。

2. 中点在空隙内仍可给跨支弦

未限定同支的弦题，不能额外添加同支条件。完整四选项题、作差时的可除性与候选线存在检验见中点与候选直线。

三、坑点 辨析与纠错

1. 三层前提不能互相代替

二次项非零保障韦达可用，判别式正保障两个不同实根，坐标和积保障指定支；少任何一层都可能把无弦、切点、异支混进来。给了中点也不免除存在核验。

2. 提取缺项不等于原数学错误

上传知识库说明原左支判据在文字提取中缺公式，经其核验原式为 $\Delta>0,x_1+x_2<0,x_1x_2>0$。这里据上传文字补齐，并保二次项非零前提；不声称亲读其原OMML或WMF，也不把提取遗漏说成原件误植。

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