双曲线的定义、分支与轨迹

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绝对差给两支，有向差给一支；边界与反向构造决定真实轨迹。

一、知识点理解概念

平面内两不同定点 $F_1,F_2$ ，焦距 $2c>0$ 。满足 $|PF_1-PF_2|=2a$ ，且 $0<2a<2c$ 的全部点组成双曲线。差常数为 $D$ 时 $a=D/2$ 。焦半径为非负距离，外层绝对值允许远近焦点随分支互换。

取 $F_1=(-c,0),F_2=(c,0)$ ，有向差 $PF_1-PF_2=2a>0$ 只给右支，反差只给左支，不能擅自扩大成两支。

以焦点中点为原点、焦点连线为横轴、同单位垂线为纵轴，标准式为

\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,\qquad a,b>0,\qquad c^2=a^2+b^2.

纵焦轴交换 $x,y$ 。 $a$ 为实半轴，由右侧化为 $1$ 后的正项分母平方决定， $b$ 为虚半轴，二者无必须谁大的关系。原坐标不在标准位置时须先平移或说明方向变换；参数符号见标准式与半轴。

右支设 $r_1-r_2=2a$ ，两距离平方差为 $4cx=2a(r_1+r_2)$ ，故 $r_2=cx/a-a$ 。又 $r_1+r_2\ge2c$ ，所以 $x\ge a$ 。代距离式得

\left(\frac{cx}{a}-a\right)^2=(x-c)^2+y^2 \ \Longrightarrow\ \frac{(c^2-a^2)x^2}{a^2}-y^2=c^2-a^2.

$c>a$ ，设 $b^2=c^2-a^2>0$ ，整体除以它即标准式；左支由原点反射交换远近。

反向任取标准式上 $x\ge a$ 的点，两焦半径平方分别为 $(cx/a+a)^2$ 、 $(cx/a-a)^2$ 。因 $cx/a-a\ge c-a>0$ ，非负根给 $r_1=cx/a+a,r_2=cx/a-a$ ，差确为 $2a$ 。左支反射同理，故平方未多收点。

反向三角不等式给 $|PF_1-PF_2|\le2c$ 。非负常数 $D=0$ 时是垂直平分线， $D=2c$ 时是焦点连线外侧两条射线且含焦点， $D>2c$ 无点。只有 $0<D<2c$ 才是真双曲线。焦点重合时差恒零，不满足定义；负绝对差常数也无点。

两定点距离差或动圆相切题，先列非负距离式，区分有向差与绝对差，核焦点不同及常数范围；再读 $2a,2c$ 、算 $b^2=c^2-a^2$ 、认正项焦轴。真圆半径正、分母非零、指定支与点范围都要保留。

候选方程只是必要性；任取候选点恢复原对象并验全部条件才给充分性。退化集合如实分类。给曲线点而未知焦轴，可设 $mx^2+ny^2=1,mn<0$ 同时覆盖两型，再回代全部给定点。

已知一距离 $r$ ，另一先列 $r\pm2a$ ，再核非负、和至少 $2c$ 、绝对差至多 $2c$ 。非退化焦点三角形要求和严格大于 $2c$ ；顶点允许共线等号。由焦半径式，到任一焦点的全曲线最小距离为 $c-a$ ，近侧顶点达到。

双曲线 ${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{16}=1$ 上一点 $P$ 到它的一个焦点的距离为4，那么点 $P$ 到另一个焦点的距离为（）

A．2 B．6 C．2或6 D．4

答案与解析

$a=1,b^2=16,c=\sqrt{17}$ ，由 $|4-d|=2$ 得另一距离候选 $d=2,6$ 。

若为 $2$ ，两距离和 $6<2\sqrt{17}$ ，违三角不等式。原解用全体焦半径下界 $c-a=\sqrt{17}-1>3>2$ 也能排除。

若为 $6$ ，差 $2$ ，和 $10>2\sqrt{17}$ ，有非退化三角形。还可取 $P=(5/\sqrt{17},8\sqrt{2/17})$ ，回代双曲线为 $1$ ，焦半径式给 $6,4$ ，实际存在。选 B；A/C 含无效距离 $2$ ，D 不满足差 $2$ 。

外切关系转成有向差后，仍须保留原方向与真圆半径正。

若动圆过定点 $A\left( 2,0\right)$ ，且和定圆 $C:{\left( x+2\right)}^{2}+{y}^{2}=1$ 外切，则动圆圆心 $P$ 的轨迹方程为（）

A． ${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1\left( x\ge \frac{1}{2}\right)$ B． ${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1\left( x\le -\frac{1}{2}\right)$

C． $4{x}^{2}-\frac{4{y}^{2}}{15}=1\left( x\le -\frac{1}{2}\right)$ D． $4{x}^{2}-\frac{4{y}^{2}}{15}=1\left( x\ge \frac{1}{2}\right)$

答案与解析

定圆心 $C=(-2,0)$ 、半径 $1$ ；动圆半径 $r=PA>0$ ，外切给 $PC=r+1$ ，故 $PC-PA=1$ 。两固定点距离 $CA=4$ ， $0<1<4$ ，远焦点在左侧，故只取右支。

$2a=1,2c=4$ ，得 $a=1/2,c=2,b^2=15/4$ ，所以

4x^2-\frac{4y^2}{15}=1,\qquad x\ge\frac12.

反向任取此右支点，定义恢复 $PC-PA=1$ 。 $A=(2,0)$ 不在候选曲线上，故 $r=PA>0$ ；以 $P$ 为心、 $r$ 为半径的真圆过 $A$ ，且圆心距 $PC=r+1$ 保证外切，充分性成立。选 D。A/B 给错差常数，C 给反向支。

已知双曲线经过点 $A\left( 2\sqrt{2},\sqrt{3}\right),B\left( -2\sqrt{3},-\sqrt{6}\right)$ ，则其标准方程为（）

A． $\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$ B． $\frac{{x}^{2}}{3}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$

C． $\frac{{y}^{2}}{3}-\frac{{x}^{2}}{4}=1$ D． $\frac{{x}^{2}}{3}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$ 或 $\frac{{y}^{2}}{4}-\frac{{x}^{2}}{3}=1$

答案与解析

按题目所求中心原点且轴重合的标准位置，未定焦轴，设 $mx^2+ny^2=1,mn<0$ 。代两点得 $8m+3n=1,12m+6n=1$ 。首式乘二减次式，得 $m=1/4$ ，回代 $n=-1/3$ ，异号合法，故 $x^2/4-y^2/3=1$ ，选 A。

两点回代为 $8/4-3/3=1$ 、 $12/4-6/3=1$ 。B 首点给 $8/3-3/4\ne1$ ；C 左侧为 $-1$ ；D 两式也不符给点。未知焦轴不代表最终两型都收。