按规则选值与判图：取整、最大最小组合和图象筛选

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特殊记号仍然定义明确的函数：每个合法输入只能选出一个输出。先把规则化成不等式或分段式，再证明值域、计数交点和筛选图象，不把示意图比例当作新条件。

一、知识点概念与依据

1. 向下取整先写整数与半开区间

题设 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数。令 $n=[x]$ ，等价于 $n\in\mathbb Z$ 且 $n\le x<n+1$ 。方括号在这里是函数记号，不是区间。

负数也向数轴左侧取整： $-2\le-1.2<-1$ ，所以 $[-1.2]=-2$ ，不是向0删掉小数位得到的 $-1$ 。整数 $n$ 满足 $[n]=n$ 。

解关于 $[x]$ 的条件时，先令整数 $n$ ，求实数范围后筛出所有整数，再对每个整数还原 $[n,n+1)$ 。没有整数就无解，有多个整数就合并相应半开区间，不能直接把 $n$ 的范围当作 $x$ 的范围。

2. 小数部分的完整值域与最小正周期

按本题数学定义，小数部分为 $x-[x]$ 。由夹逼式减 $n$ 得 $0\le x-[x]<1$ ；任意 $y\in[0,1)$ ，取 $x=y$ 即有 $[x]=0$ 、输出 $y$ ，所以完整值域恰为 $[0,1)$ 。每个整数输入给0，输出1永远取不到；负数的小数部分也按这个定义，不是直接抄小数点后的数字。

对于任意整数 $k$ ，夹逼式同加 $k$ 给 $[x+k]=[x]+k$ ，从而 $(x+1)-[x+1]=x-[x]$ ，1确为周期。再设任意正周期 $T$ ，由0与 $T$ 输出相等，得 $T-[T]=0$ ，所以 $T$ 为正整数。所有正周期至少1，且1已验证，因此最小正周期是1。

不能先假定最小正周期存在。整数平移恒等也不能直接用于任意实数位移；取整函数 $[x]$ 自身平移1会增加1，并不是周期1函数。每段 $[n,n+1)$ 上小数部分从0增加但不到1，进入下一段又从0开始。

3. max、min 比较的是同一输入的两个输出

$\max\{F(x),G(x)\}$ 每次取当前较大输出， $\min$ 取较小输出，并不是求某个函数在全域的最大或最小值。两式必须同时有意义，组合定义域取交，分母禁值不能补入。

比较 $F-G$ ：非负时 max 选 $F$ ，负时选 $G$ ；min 相反。等值点任选一支登记一次，不能变成两个输出。先判断分母正负和根号条件，再乘除不等式；未知符号因子不可直接移过。

4. 嵌套先内后外，交点只数真正保留的分支

先分段确定内层选择，再拿内层实际输出与外层另一式比较，得到完整分段式。不能把三条原函数的完整图象放在一起直接数交点，因为许多曲线段没有被最终规则选中。

求水平交点时，在每段反解 $h(x)=m$ ，候选输入必须落在该段；连接点两式虽然同值，几何上仍是一个点。各段输出范围合并时核开闭、禁值与峰值是否真正取得。开区间也可能保留内部峰，不能一概否定最大值。

5. 判图先核域、对称和符号，再核关键点

从式子选大致图象，或从图选解析式，都只用能严格核对的条件：自然域与禁值、明确刻度、实空点、对称、零点、分段正负以及关键合法输入。图画得宽或窄、角度像多少，未被题设标明就不能当精确数值。

在对称域计算 $f(-x)$ ，判断应关于纵轴还是原点对称。不同候选可能同为奇或同为偶，通过这一项仍不能定答案。非零函数才可用“不是另一种奇偶性”排除，恒零例外不能忘。

再按分子分母符号确定曲线在横轴哪一侧，绝对值须在实际段展开。最后核零点是否合法、禁值位置是否与明确刻度一致。原图若标禁值 $\pm1$ ，不能拿禁值 $\pm2$ 的候选以“形状相似”代替。

6. 定性趋势也要由表达式支持

对 $1/(x^2+|x|)$ ，自然域排0，分母在所有合法输入上正，函数偶。正侧分母 $x^2+x$ 严格增，倒数严格减，负侧再按偶性反射。

“靠近0正侧输出可任意大”可明确证明：任给 $M>0$ ，取 $0<x<\min\{1,1/(2M)\}$ ，则 $x^2+x<2x<1/M$ ，输出大于 $M$ 。任给 $\varepsilon>0$ ，取 $x>1/\sqrt\varepsilon$ ，则分母大于 $x^2>1/\varepsilon$ ，输出小于 $\varepsilon$ ，但一直为正，0不是实际输出。

这些是定性依据，不是从示意图测数。0若原式无定义，就不能先代0再说过原点。

二、考点方法与例题

方法一：先写实际规则，再处理输出与计数

取整先设整数并还原半开段；max/min 按差号分支，嵌套由内到外。每段输出、根和取等点都带输入限制，连接点去重后再合并。

方法二：候选图逐条件取交，不只看一个特征

列原域与明确刻度，核奇偶，再核每段符号和关键合法点。逐个指出错误候选违反哪一条，正确候选则同时吻合所有已证特征。完整选项图保留供逐图核对。

题干所附人物与年代介绍仅按原资料保留，本轮未独立历史核验；数学结论完全依据题设取整定义，不依赖该介绍。

例题 01 取整规则下的四项性质

题目

对于任意的 $x\in R$ ， $[x]$ 表示不超过x的最大整数，例如： $[1.2]=1$ ， $[-1.2]=-2$ ．十八世纪， $y=[x]$ 被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列说法正确的是（）

A．函数 $y=[x]$ 是奇函数 B．函数 $y=x-[x]$ 的值域为 $[0,1]$

C．函数 $f(x)=x-[x]$ 最小正周期为1 D．不等式 $2{[x]}^{2}+[x]-1<0$ 的解集为 $\left\{ x\left| 0<x<1\right.\right\}$

答案与解析

解析

统一使用 $n=[x]\in\mathbb Z$ 与 $n\le x<n+1$ 。

A： $[0.5]=0$ ， $[-0.5]=-1\ne-[0.5]$ ，一组合法反例即可否定奇函数，A 错。

B：夹逼式给 $0\le x-[x]<1$ ；反向每个 $y\in[0,1)$ 用 $x=y$ 取得。完整值域 $[0,1)$ ，B 多收不可能输出的1。

C：先由整数平移验证1是周期，再设任意正周期 $T$ ，代0得 $T-[T]=0$ ，所以 $T$ 是正整数，不小于1。于是最小正周期1，C 正确。这不是尚未证明存在就设“最小周期”。

D：先解整数 $n$ 的不等式：

2n^2+n-1=(2n-1)(n+1)<0\iff-1<n<1/2.

筛整数只有 $n=0$ ，再还原得到 $0\le x<1$ 。原选项漏 $x=0$ ，而该输入原左边为 $-1<0$ ，所以 D 错。原详解直接写 $0\le[x]<1/2$ ，已将实数范围中的整数筛选合在一起，本解析分两步展开，最终答案 C 不变。

本题结论

C。

例题 02 两式取大后的水平交点

题目

已知函数 $f\left( x\right)=x-1,g\left( x\right)=\frac{2}{x}$ ，记

\max \left\{ a,b\right\}=\left\{ \begin{aligned}a,a\ge b\\b,a<b\end{aligned}\right.

，若 $y=m$ 与 $y=\max \left\{ f\left( x\right),g\left( x\right)\right\}\left( x\ne 0\right)$ 的图象恰有两个不同的交点则实数 $m$ 的取值范围是 .

答案与解析

解析

原域 $x\ne0$ 。比较 $x-1-2/x=(x+1)(x-2)/x$ ，分母正负分开后，直线较大用于 $[-1,0)\cup[2,+\infty)$ ，倒数较大用于 $(-\infty,-1)\cup(0,2)$ 。所以

h(x)=\begin{cases}x-1,&x\in[-1,0)\cup[2,+\infty),\\2/x,&x\in(-\infty,-1)\cup(0,2).\end{cases}

等值输入 $-1,2$ 各只登记一次。下面是原资料对最终所选曲线的图示，不把未选中的原曲线计入。

负侧两支在横坐标负1处接合，纵坐标负1处为空点；正侧两支在横坐标2、纵坐标1处接合，水平线用于核对交点。

负侧倒数支值域 $(-2,0)$ ，直线支值域 $[-2,-1)$ 。每支都严格单调，水平高度落在各自范围内时各有唯一输入：分别为 $x=2/m$ 与 $x=m+1$ 。同时覆盖的高度为 $(-2,-1)$ ，因此两交点。 $m=-2$ 只有接合点 $x=-1$ ； $m=-1$ 直线反解为禁值0，只余倒数支一处。

正侧倒数支值域 $(1,+\infty)$ ，直线支值域 $[1,+\infty)$ ，所以 $m>1$ 有两处； $m=1$ 只有接合点 $x=2$ 。负、正输出分开，不跨侧重复计数， $m=0$ 没有交点。其他高度最多一处或无交点。

故全部范围 $(-2,-1)\cup(1,+\infty)$ 。交点判定来自逐段反解与合法范围，图的高度比例不是额外依据。

本题结论

$(-2,-1)\cup(1,+\infty)$ 。

用 $\max \left\{ f\left( x\right),g\left( x\right)\right\}$ 表示 $f\left( x\right)$ ， $g\left( x\right)$ 中的最大者，用 $\min \left\{ f\left( x\right),g\left( x\right)\right\}$ 表示 $f\left( x\right)$ ， $g\left( x\right)$ 中的最小者，若函数 $ℎ\left( x\right)=\min \left\{ \max \left\{ {x}^{2},{x}^{3}\right\},\frac{1}{x}\right\}$ 在 $\left( 0,a\right)$ 上有最大值，则（）

A． $ℎ\left( x\right)$ 是奇函数 B． $ℎ\left( x\right)$ 在 $\left( 0,a\right)$ 上最大值是2

C． $ℎ\left( x\right)$ 的值域是 $\left( -\infty ,-1\right)\cup \left[ 0,1\right]$ D． $a$ 的取值范围是 $\left( 1,+\infty \right)$

答案与解析

解析

自然域为 $\mathbb R\setminus\{0\}$ ，先内层、再外层：

$x<0$ 时 $x^2>x^3$ ，内层取 $x^2$ ；它正， $1/x$ 负，外层取 $1/x$ 。
$0<x\le1$ 时 $x^2\ge x^3$ ，且 $x^2\le1/x$ ，故取 $x^2$ 。
$x>1$ 时 $x^3>x^2$ ，且 $1/x<x^3$ ，故取 $1/x$ 。

所以 $h(x)=1/x$ 在负侧与 $x>1$ ， $h(x)=x^2$ 在 $(0,1]$ 。1处两式同值只登记一次。

A：不能用恰巧符合的 $h(2)=1/2,h(-2)=-1/2$ 证明奇性。真正反例是 $h(1/2)=1/4$ ，而 $h(-1/2)=-2\ne-1/4$ ，故非奇。

B、D：正侧先增至内部输入1，后减，整体最高为1而非2。若 $0<a\le1$ ，开区间 $(0,a)$ 上严格增，右端不含，任何输入后面还有更大合法输入，故无最大值； $a\le0$ 时该开区间为空，也无最大值。若 $a>1$ ，输入1属于区间，最大1取得。因此 D 的 $a\in(1,+\infty)$ 正确，B 错。

C：负侧倒数取遍 $(-\infty,0)$ ：任意负 $y$ 可用 $x=1/y<0$ ；正侧取遍 $(0,1]$ ：任意该范围 $y$ 可用 $x=\sqrt y\in(0,1]$ 。整体自然域值域为 $(-\infty,0)\cup(0,1]$ ，0未取得，C 既漏负值又添0。若将值域特指题中 $(0,a)$ （此时 $a>1$ ），则是 $(0,1]$ ，也不支持 C。

所以唯一正确选项 D。

本题结论

D。

例题 04 绝对值分式的四幅候选图

题目

函数 $y=\frac{\left| x\right|}{{x}^{2}-1}$ 的图象大致为（）

A．

B．

C．

D．

答案与解析

解析

域为 $\mathbb R\setminus\{-1,1\}$ ，关于原点对称； $f(-x)=f(x)$ ，非零函数为偶，图必须关于纵轴对称。A、D 原图中央两侧一正一负，呈原点中心对称而不关于纵轴，排除。

$0<|x|<1$ 时分子正、分母负，输出负； $|x|>1$ 输出正。C 把中央画在横轴上方，方向相反，排除。B 中央负、外侧正且纵轴对称，符合； $x=0$ 分母为 $-1$ 合法，输出0，与图中原点相接也吻合。

故选 B。没有用候选曲线绘制的高度比例计算函数值，所有四幅图仍完整可核。

本题结论

B。

例题 05 由明确刻度与对称关系辨认解析式

题目

函数 $f\left( x\right)$ 的大致图象如图所示，则 $f\left( x\right)$ 可能是（）

给定图：虚线标出横坐标负1与1，中央曲线穿过原点，外侧左支在横轴下方、右支在横轴上方。

A． $f\left( x\right)=\frac{1}{{x}^{2}-1}$ B． $f\left( x\right)=\frac{{x}^{2}}{x-1}$

C． $f\left( x\right)=\frac{x}{{x}^{2}-1}$ D． $f\left( x\right)=\frac{x}{{x}^{2}-4}$

答案与解析

解析

给定图明确标出竖直缺口 $-1,1$ ，中央经过原点，整体关于原点中心对称。候选必须同时满足这些信息，不能仅看奇性。

A 的域去 $\pm1$ 虽吻合，但整体偶且 $f(0)=-1$ ，与图中原点冲突。B 只有禁值1，原域不对称，不能匹配成对的两禁值。C 的禁值恰 $\pm1$ ， $f(-x)=-f(x)$ 且 $f(0)=0$ ； $0<x<1$ 内段负， $x>1$ 外段正，再按奇性反射，与全部明确特征一致。D 虽奇且过原点，禁值却为 $\pm2$ ，与图上刻度不符。