直线交点与交点个数

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共同点要同时满足方程；多线题还要分清相交、平行、重合与坐标去重。

一、知识点理解概念

设 $L_i=A_ix+B_iy+C_i$ ，每组 $(A_i,B_i)\ne(0,0)$ 。公共点是方程组 $L_1=L_2=0$ 的解：唯一解表示相交于一点，无解表示两条不同平行线，无穷多解表示重合。

记 $\Delta=A_1B_2-A_2B_1$ 。第一式乘 $B_2$ 、第二式乘 $B_1$ 相减，得

\Delta x=B_1C_2-B_2C_1.

第二式乘 $A_1$ 、第一式乘 $A_2$ 相减，得

\Delta y=A_2C_1-A_1C_2.

当 $\Delta\ne0$ ，可除以 $\Delta$ 解出唯一候选；同时回代两原式确认成立。当 $\Delta=0$ 不能除法，须统一非零法向系数后比较常数：相同则重合，不同则平行。

三条不同直线每对相交时，若共点，则三个方程组得到同一个坐标，只计一个点；若不共点，则三个交点各不相同。一对不同平行线被第三条线横截，产生两个不同交点；三线全平行则没有交点。

如果题目允许两条线重合，它们的公共点已是无穷多个，须另按题意解释，不能仍套三条不同线的计数。“三组联立”不等于“三个不同点”。

当且仅当两原线有唯一交点 $P$ ，才能把非全零组合 $\mu L_1+\nu L_2=0$ 解释成过 $P$ 的完整直线系。单参数 $L_1+\lambda L_2=0$ 会漏原线 $L_2=0$ ；完整证明与漏项核查见过交点的直线系，过原交点与原点的完整例题展示如何核查漏线。

判断三线能否围成非退化三角形，既要每对不同且相交，也要三个交点不同；三线共点不能围成三角形，详见三线成三角形的条件。

先核两式有效与 $\Delta$ 是否为零。非零时选便于消元的倍数，把求得的坐标同时代回原两式；若含参数使 $\Delta=0$ ，回到原式区分无解与重合，不把通式中的零分母硬算。

直线 $3x+2y-18=0$ 和 $-2x+5y-7=0$ 的交点坐标为（）

A． $\left( -4,-3\right)$ B． $\left( 4,3\right)$ C． $\left( -4,3\right)$ D． $\left( 3,4\right)$

答案与解析

方程组为 $3x+2y=18,-2x+5y=7$ ， $\Delta=3\cdot5-(-2)\cdot2=19\ne0$ 。

第一式乘 $5$ 、第二式乘 $2$ ，得 $15x+10y=90$ 与 $-4x+10y=14$ ；相减得 $19x=76$ ，所以 $x=4$ 。代第一式得 $12+2y=18$ ，所以 $y=3$ 。

同时回代： $12+6-18=0$ ， $-8+15-7=0$ ，选 B。A、C 的坐标代第一式分别为 $-36,-24$ ；D 的 $(3,4)$ 代第一式为 $-1$ ，都不是共同点。不要把坐标次序对调，也不要只检验一条线。

先找固定两线的位置与交点，枚举第三线平行、共点、一般相交三类。候选参数回代检查是否是不同平行线；最后把相同坐标去重，别把重合误作“两个交点”。

若三条直线 $2x+y-4=0$ ， $x-y+1=0$ 与 $ax-y+2=0$ 共有两个交点，则实数 $a$ 的值为（）

A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1

答案与解析

前两线是 $y=-2x+4$ 与 $y=x+1$ ，斜率不同，交于 $(1,2)$ 。第三线是 $y=ax+2$ ，始终有效，并且其截距 $2$ 不同于前两条的 $4,1$ ，不会与任何一条重合。

若第三线与两线都相交，不共点时共有三个不同交点，共点时只有一个，不会恰好有两个。因此要恰有两个交点，第三线必须与其中一条不同且平行。

斜率条件给 $a=1$ 或 $a=-2$ 。 $a=1$ 时 $y=x+2$ 与 $y=x+1$ 平行而不重合； $a=-2$ 时 $y=-2x+2$ 与 $y=-2x+4$ 平行而不重合。各有一对平行线被另一条横截，所以两值都有效，选 C。

A、B 各漏一个值；D 的 $a=-1$ 不平行，且代原交点得 $a\cdot1-2+2=-1\ne0$ ，不共点，故有三个交点。共点实际对应 $a=0$ ，也不符合“两个”。