直线一般式、方向参数与定点

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一次项先保证是真直线，方向参数表示点的移动，族参数则表示直线的变化。

一、知识点理解概念

1. 一般式的第一项检查是能否表示直线

平面直线一般式为 $Ax+By+C=0$ ， $A,B,C$ 都是实数，且 $(A,B)\ne(0,0)$ 。三个系数同乘同一非零常数，不改变直线。

若 $B\ne0$ ，移项除以 $B$ 得 $y=-(A/B)x-C/B$ ，表示斜率 $-A/B$ 、纵截距 $-C/B$ 的直线；若 $B=0$ ，则 $A\ne0$ ，得到竖直直线 $x=-C/A$ 。这两类覆盖所有方向。

若 $A=B=0$ ，则 $C\ne0$ 时无点满足， $C=0$ 时整个平面都满足，两种都不是直线。常数不为零不能代替一次项非退化条件。

2. 法向量与方向向量各自承担什么

一般式的非零法向量为 $\vec n=(A,B)$ ，可取非零方向向量 $\vec d=(-B,A)$ ，因为 $\vec n\cdot\vec d=-AB+BA=0$ 。方向向量可以乘任意非零实数，反向仍沿同一直线；不能乘零后继续称为方向。

若 $P_0(x_0,y_0)$ 在直线上，另一点 $P(x,y)$ 同时满足方程，二式相减得

A(x-x_0)+B(y-y_0)=0.

沿 $(-B,A)$ 移动的点满足此式，因为代入差坐标给 $t(-AB+BA)=0$ 。反过来， $B\ne0$ 时取 $t=(x-x_0)/(-B)$ ，差等式使 $y-y_0=At$ ； $B=0$ 时 $A\ne0$ ，差等式使 $x=x_0$ ，取 $t=(y-y_0)/A$ 。所以这种方向表示既不漏点，也不添入别的点。

3. 直线上移动的参数不自动等于距离

给点 $P_0(x_0,y_0)$ 及非零方向 $(m,n)$ ，全部直线点满足

\begin{cases}x=x_0+mt,\\y=y_0+nt,\end{cases}\qquad t\in\mathbb R.

这是位移 $\vec{P_0P}=t(m,n)$ 的逐坐标形式。若两个参数 $t,s$ 给同一位移，则 $(t-s)(m,n)=(0,0)$ ；方向非零保证 $t=s$ ，所以每点参数唯一。

消去参数可用无除法式

n(x-x_0)-m(y-y_0)=0.

$m,n$ 不全零确保仍是直线； $m=0$ 是竖直， $n=0$ 是水平，都没有被漏掉。只有 $m\ne0$ 才能写斜率 $k=n/m$ 。

$t$ 遍历全体实数才覆盖整线；限制为 $[0,1]$ 给从 $P_0$ 到 $P_0+(m,n)$ 的线段， $[0,+\infty)$ 给对应正向射线。消去参数后仍须保留原范围。移动距离是 $|t|\sqrt{m^2+n^2}$ ，不是一般情况下的 $t$ 。

4. 直线族的定点是一条全参数恒等式

若直线族可写 $pF(x,y)+G(x,y)=0$ ，同一个定点坐标要对全部允许的族参数 $p$ 成立。允许集合至少有两个不同值 $p_1,p_2$ 时，两式相减得 $(p_1-p_2)F=0$ ，从而 $F=0$ ，再代得 $G=0$ 。解出候选后，还须代回原式证明对全部允许值都成立。

若允许参数只有一个值，不能这样比较两项；非线性含参式也须按原结构及允许集合另判。族参数 $p$ 用来选直线，移动参数 $t$ 用来选某条线上的点，不能混成一个意思。

二、考点方法与例题

1. 从方程读方向，先辨法向量

先核 $(A,B)\ne(0,0)$ ，再取 $(-B,A)$ ；用 $A\Delta x+B\Delta y=0$ 回验沿此方向移动不改变左侧。非竖直时也可从斜率读出横纵变化之比。

例题 01 一般式的一个方向向量

已知直线方程 $2x-y+c=0$ 的一个方向向量 $\vec{d}$ 可以是（）

A． $(2,-1)$ B． $(2,1)$ C． $(-1,2)$ D． $(1,2)$

答案与解析

原线的一次项系数为 $(A,B)=(2,-1)$ ，所以取方向 $(-B,A)=(1,2)$ ，选 D。检查 $2\cdot1-2=0$ ，沿此方向移动保持方程成立。

A 的 $(2,-1)$ 是法向量，其方向检验值为 $5$ ；B 的 $(2,1)$ 检验值为 $3$ ；C 的 $(-1,2)$ 检验值为 $-4$ ，均非零。原解也可将方程写成 $y=2x+c$ ，斜率 $2$ 表示横向走 $1$ 、纵向走 $2$ 。非零倍数都是合法方向，不是只有一个向量能表示这条线。

2. 给点与方向时，可不除分量直接建式

验方向非零，把它写成位移参数或直接用 $n(x-x_0)-m(y-y_0)=0$ 。若改用斜率，先核横分量非零；最后把已知点及方向都代回。

例题 02 一个点与给定方向确定方程

过点 $A\left( 1,-2\right)$ 且方向向量为 $\vec{v}=\left( 3,1\right)$ 的直线的方程为（）

A． $x-3y-7=0$ B． $3x-y-5=0$

C． $3x+y-1=0$ D． $x+3y+5=0$

答案与解析

方向 $(3,1)$ 的横分量非零，故斜率为 $1/3$ 。过 $(1,-2)$ 的点斜式是 $y+2=(x-1)/3$ ，乘 $3$ 得 $3y+6=x-1$ ，所以 $x-3y-7=0$ ，选 A。

参数式交叉验证：取 $x=1+3t,y=-2+t$ ，任意 $t\in\mathbb R$ 都使

x-3y-7=1+3t-3(-2+t)-7=0.

反过来，方程上的点取 $t=y+2$ ，有 $x=3y+7=1+3t$ ，所以参数表示恰好覆盖整条线。B、C、D 虽都通过给定点，还必须满足方向；其法向量与 $(3,1)$ 的数量积分别为 $8,10,6$ ，均不为零，故不能选。

3. 定点比较系数后，必须回代全参数

记录允许参数集合，检查每个允许值是否仍表示有效直线。把固定的 $x,y$ 留作未知数，按族参数分组，用两个不同参数求必要条件，再回代证明充分性。不是随意给某个参数求一个交点就叫定点。

例题 03 对所有实参数都经过的点

若直线 $\left( 3a+2\right)x+\left( a-1\right)y-a=0\left( a\in R\right)$ 恒过定点A，则点A的坐标为（）

A． $\left( \frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)$ B． $\left( 1,3\right)$ C． $\left( \frac{1}{5},\frac{2}{5}\right)$ D． $\left( \frac{1}{4},\frac{3}{5}\right)$

答案与解析

一次项系数 $3a+2$ 与 $a-1$ 不可能同时为零，所以对每个 $a\in\mathbb R$ 都为直线。

原式按 $a$ 分组为

a(3x+y-1)+(2x-y)=0.

取 $a=0$ 得 $2x-y=0$ ；再取 $a=1$ ，两式相减得 $3x+y-1=0$ 。于是 $y=2x$ ， $5x-1=0$ ，解得 $(x,y)=(1/5,2/5)$ 。

这组坐标使两括号都为零，因此对任意 $a$ 恒成立，选 C。A、B、D 至少有一个括号非零，不能对全部参数成立。这里只用了 $a=0,1$ 推出必要条件，最后由两括号恒零证明了全部参数的充分性，并非以两个数值抽样代替证明。