事件关系与运算：把整句话翻成样本点条件

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先把所有事件放进同一次试验的同一个样本空间，再检查每个结果是否满足条件。并、交、补表达逻辑关系，不是可以直接相加或相乘的概率。先修：试验与完整记录、集合运算。

一、知识梳理

1. 包含与相等，看每个可能结果

同一试验的事件 $A,B$ 都是同一个样本空间 $\Omega$ 的子集。

$A\subseteq B$ ： $A$ 每个结果都属于 $B$ ，即 $A$ 发生一定导致 $B$ 发生，反向未必。箭头不可颠倒。
$A=B$ ：每个结果下，两者同发生或同不发生。既要 $A\subseteq B$ ，也要 $B\subseteq A$ ，或直接核样本点集合相同。

反驳 $A\subseteq B$ ，找一个实际允许、属于 $A$ 却不属于 $B$ 的结果即可。说法不同但结果集合相同，仍是同一事件；说法相近但边界不同，也可能不是同一事件。概率大小不能倒推包含，相同概率不能代替事件相等的双向逻辑。

2. 并、交、补与日常语言的对应

事件记号	发生条件	结果集合
$A\cup B$ ，也记 $A+B$	至少一个发生，包括同时发生	属于 $A$ 或属于 $B$
$A\cap B$ ，也记 $AB$	两者同时发生	同时属于 $A,B$
$\overline A=\Omega\setminus A$	$A$ 不发生	在 $\Omega$ 内但不属于 $A$

$A+B,AB$ 是事件记号，不是数字的加法和乘法。写出 $AB$ 不等于已经有 $P(AB)=P(A)P(B)$ ；后式需要另核独立性。“或”在并事件里是包含两者都发生的“至少一个”，不是“恰好一个”。

并事件包含两圈全部区域，包括共同部分。

交事件只包含两个条件同时满足的公共区域。

3. 否定整个条件，保留次数边界

“ $A$ 发生且 $B$ 不发生”是 $A\cap\overline B$ ；“都不发生”是 $\overline A\cap\overline B$ 。逐个结果检查可得

\overline{A\cup B}=\overline A\cap\overline B,\qquad \overline{A\cap B}=\overline A\cup\overline B.

前式说“不是至少一个发生”就是“两个都不发生”；后式说“不是两个都发生”就是“至少一个不发生”。恰好一个发生则为

(A\cap\overline B)\cup(\overline A\cap B).

它分成“ $A$ 是、 $B$ 否”与“ $A$ 否、 $B$ 是”两个不能同时发生的情形。不能直接写 $A\cup B$ ，除非两事件本来互斥。

对整数次数，“恰好 $k$ 个”的否定是“不是 $k$ 个”，包括比 $k$ 少和比 $k$ 多；“至少 $k$ 个”的否定是“至多 $k-1$ 个”；“至多 $k$ 个”的否定是“至少 $k+1$ 个”。始终按允许次数范围理解，不能丢边界等号。

4. 互斥检查交集，对立还须覆盖整个空间

$A,B$ 互斥，指不能同时发生，即 $A\cap B=\varnothing$ 。互为对立事件则要求每次恰好发生其中一个：既不能同时发生，也不能同时不发生，所以

A,B\text{ 对立}\iff A\cap B=\varnothing\ \text{且}\ A\cup B=\Omega.

对立事件 $B=\overline A$ ，相对于既定 $\Omega$ 唯一。对立一定互斥，互斥未必对立：交空仍可能有圈外结果，使两者都不发生。

两事件互斥；框内两圈之外仍有结果，因此图示两者不对立。

蓝色为A，框内余下全部区域为B；二者不重叠且合起来覆盖整个样本空间。

空事件与任何事件互斥，只与 $\Omega$ 对立，定义并不要求两事件都非空。两事件概率和为1也不自动证明对立，还需检查重叠与遗漏。不同试验的陈述，未先建立共同试验空间时，不直接拿来判断互斥或对立。

二、考点与方法

方法 1：列出集合，逐点判断包含与相等

先分清时间、身份与数量范围，再比较结果集合。证明相等要双向；证明不包含，给一个实际可行反例。无需先求概率，也无需额外假定各点等可能。

例题 01 两枚硬币中的两个事件

题目

同时掷两枚硬币，“向上的面都是正面”为事件 $A$ ，“向上的面至少有一枚是正面”为事件 $B$ ，则有(　　)

A． $A=B$ B． $A\supseteq B$ C． $A\subseteq B$ D． $A$ 与 $B$ 之间没有关系

答案与解析

解析

用两枚硬币的身份区分记录，样本空间为

\Omega=\{(\text{正},\text{正}),(\text{正},\text{反}),(\text{反},\text{正}),(\text{反},\text{反})\}.

$A=\{(\text{正},\text{正})\}$ ， $B=\{(\text{正},\text{正}),(\text{正},\text{反}),(\text{反},\text{正})\}$ 。 $A$ 中每个结果都在 $B$ ，故 $A\subseteq B$ ，选 C； $B$ 多出一正一反，所以不相等，也不是 $A\supseteq B$ 。D“没有关系”不正确。

只判断包含，不需要两币独立或每个样本点等可能。

本题结论

C，即 $A\subseteq B$ 。

方法 2：先拆完整条件，再用并、交、补组装

核准事件定义：如“第 $i$ 发击中”与“击中 $i$ 发”不是一回事。目标提到几个位置，就保留几个位置的状态；“都”用交，“至少一个”用并，“不满足整个事件”用补。写完逐点翻回原话，确认没有漏限定或改变边界。

例题 02 三次跳远的成绩条件

题目

某同学参加跳远测试，共有3次机会．用事件 ${J}_{i}$ （ $i=1,2,3$ ）表示随机事件“第i（ $i=1,2,3$ ）次跳远成绩及格”，那么事件“前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格”可以表示为（）

A． ${J}_{1}\cap {J}_{2}$ B． $\overline{{J}_{2}\cup {J}_{3}}$ C． ${J}_{1}\cap {J}_{2}\cap \overline{{J}_{3}}$ D． $\overline{{J}_{1}}\cap \overline{{J}_{2}}\cap \overline{{J}_{3}}$

答案与解析

解析

$J_i$ 按第几次测试定义。目标要求 $J_1$ 真、 $J_2$ 真、 $J_3$ 假，三条同时满足，因此是 $J_1\cap J_2\cap\overline{J_3}$ ，选 C。

A 只限定前两次及格，没有限定第三次；B 是后两次都不及格，且没有规定第一次；D 是三次全不及格。三种都不等于目标事件。

题目只问逻辑表达式，没有提供独立条件，不可顺便把该事件概率改写成三个概率的乘积。

本题结论

C。

例题 03 两颗骰子的奇偶条件

题目

掷两颗骰子，观察掷得的点数.设A：至少有一个是偶数，B：至少有一个是奇数，C：两个点数的乘积是偶数，D：两个点数的和是奇数.讨论：

(1)A与B的关系；

(2)A与C的关系；

(3)A、B、D之间的关系；

(4)C与D的关系

答案与解析

解析

（1）一奇一偶时 $A,B$ 同时发生，所以不互斥。两点均偶属于 $A$ 不属于 $B$ ，均奇属于 $B$ 不属于 $A$ ，因此也互不包含。注意“互不包含”本身不推出不互斥，关键是存在一奇一偶的共同结果。

（2）两个整数乘积为偶数，当且仅当至少一个因数为偶数，因此 $A=C$ ，不是只证单向。

（3）两数和为奇数，当且仅当一奇一偶，这恰好同时满足至少一偶与至少一奇，所以 $D=A\cap B$ 。

（4）一奇一偶一定乘积为偶数，因此 $D\subseteq C$ 。两点均偶属于 $C$ 却不属于 $D$ ，例如 $(2,2)$ ，故 $D\ne C$ 。

原解用 $D\subset C$ 表示严格包含；这里写 $D\subseteq C$ 且 $D\ne C$ ，避免不同资料对符号的约定差异。四问都只依赖奇偶性质和允许结果，无需概率计算。

本题结论

（1）不互斥且互不包含；（2） $A=C$ ；（3） $D=A\cap B$ ；（4） $D\subseteq C$ 且 $D\ne C$ 。

方法 3：先找共同结果，再找两者之外的结果

有共同结果就不互斥；有两者都不发生的结果就不对立。证明互斥须证明交空，证明对立还要证明并满，不能只换一个反义词。用反例时，确认该结果确实符合给定容量与试验规则。

例题 04 按等级取两支圆珠笔

题目

一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品，若从中任取2支.记事件A=“恰有1支一等品”，事件B=“2支都是二等品”，事件C=“没有三等品”，下列说法正确的是（）

A．事件A与事件B互斥 B．事件B与事件C互斥

C．事件A与事件C对立 D．事件B 与事件C对立

答案与解析

解析

选项 A：事件 $A$ 要求恰有一支一等品，事件 $B$ 要求两支二等品，不能同时发生，所以互斥。取两支一等品时二者都不发生，说明这对并不对立，但选项只说互斥，故正确。

选项 B： $B$ 的两支二等品当然没有三等品，因此 $B\subseteq C$ 且 $B$ 可发生，两者能同时发生，不互斥。

选项 C：取一等、二等各一支， $A,C$ 同时发生；取二等、三等各一支， $A,C$ 都不发生，所以不对立。

选项 D：两支二等品使 $B,C$ 同时发生；一等、三等各一支使两者都不发生，所以不对立。上述反例均使用盒内实际存在的笔。

本题结论

A。

例题 05 一枚骰子的三个事件

题目

在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是1或3”，事件C表示“向上的点数是4或5或6”，则下列说法正确的是（）

A．A与B是对立事件 B．B与C是对立事件

C．A与C是互斥事件 D．A与B是互斥事件

答案与解析

解析

$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ ， $A=\{2,4,6\}$ ， $B=\{1,3\}$ ， $C=\{4,5,6\}$ 。

A、B 的交为空，所以选项 D 正确。但并集缺5，点数为5时两者都不发生，所以选项 A 错。
B、C 的并缺2，点数为2时两者都不发生，所以选项 B 错。
A、C 的交含4、6，所以选项 C 错。

“偶数”与“1或3”不是完整的奇偶二分，遗漏的5在均匀骰子模型中概率为 $1/6$ ，不能忽略。

本题结论

D。

例题 06 两人不放回取球的事件

题目

一个袋子里装有2个红球和2个黑球，甲、乙每人随机不放回地取1个球，则互斥且不对立的两个事件是（）

A．“甲取出的球是红球”与“甲取出的球是黑球”

B．“甲取出的球是红球”与“乙取出的球是红球”

C．“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球都是黑球”

D．“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球中至少有1个红球”

答案与解析

解析

A：甲取红与甲取黑是甲结果的完整二分，互斥且对立，不满足题目要求的“互斥且不对立”。

B：有两颗不同红球，甲、乙都取红可以同时发生，所以不互斥；不同人不是互斥的依据。

C：全红与全黑不能同时发生，但一红一黑时两者都不发生，所以互斥且不对立，正确。

D：全红时两个事件同时发生，全红事件包含于至少一红事件，所以不互斥。全红的对立是“不是全红”，包含一红一黑与全黑，不是只剩全黑。

本题结论

C。

答案与解析

解析

（1）不能。 $P(A)=1/6\le2/6=P(B)$ ，但1属于 $A$ 不属于 $B$ ，故不包含。

（2）不能。两个概率各为 $1/2$ ，和为1，但交集为 $\{3\}$ ，并集还漏6；既有同时发生的结果，也有同时不发生的结果，不对立。

本题结论

两问都不能。