坐标缩放和平移可以精确追踪系数、拟合值及残差；变单位不是改善拟合质量。

01 · 知识点概念、关系与适用条件02 · 考点先归纳方法，再看例题03 · 坑点辨析错因，检查遗漏

知识点

从新偏差推新系数

同一组配对数据，原含截距OLS为 $\hat y=\hat a+\hat b x$，$S_{xx}>0$。变换

$$x^*=cx+d,\qquad y^*=uy+v,$$

其中常数 $c\ne0$，先取 $u\ne0$。新均值为 $c\bar x+d,u\bar y+v$，新偏差为 $c(x_i-\bar x),u(y_i-\bar y)$，所以

$$S_{xx}^*=c^2S_{xx},\quad S_{xy}^*=cuS_{xy},\quad\hat b^*=\frac u c\hat b.$$

再由新中心

$$\hat a^*=u\bar y+v-\frac{u\hat b}c(c\bar x+d)=u\hat a+v-\frac{u\hat b}c d.$$

也可从 $x=(x^*-d)/c$ 代入 $\hat y^*=u(\hat a+\hat bx)+v$ 展开，得到同样结果。此线仍是新含截距OLS，因为它满足新平方和与积和公式，不仅是表达式代换。

拟合值、残差和平方和一起变

每个 $\hat y_i^*=u\hat y_i+v$，故新残差

$$r_i^*=y_i^*-\hat y_i^*=u(y_i-\hat y_i)=ur_i,\qquad SSE^*=u^2SSE.$$

单纯平移不改中心离差与残差。响应单位改变使平方和数字改变，不能称模型改进；配对和样本不变才是这里的单位表达变换，两列独立排序不适用。

常见变换与退化边界

情形	斜率与截距
仅 $x$ 乘 $c\ne0$，原点不变	斜率除 $c$，截距不变
仅 $y$ 乘 $u\ne0$	斜率与截距均乘 $u$
两轴cm改m	$c=u=1/100$，斜率不变，截距除100
中心化两轴	新截距0，回原坐标须同时恢复两个平均
任一缩放负号	斜率按 $u/c$ 的符号变化
$c=0$	新解释列恒定，不能用新斜率公式
$u=0,c\ne0$	新响应恒为 $v$，OLS为常量，$SST^*=0$ 的 $R^2$ 比值无定义

对中心化 $U=x-\bar x,V=y-\bar y$，先求 $\hat V=\hat bU$，回代 $\hat y-\bar y=\hat b(x-\bar x)$，原截距为 $\bar y-\hat b\bar x$，通常非0。非线性变换不套仿射公式，逐点变换后另求均值及离差和。

考点

写清单位再还原两轴

1. 写新旧关系和单位，确认同一组对象配对、$c\ne0$，注意 $u=0$ 分支。
2. 反解原解释变量，再变换预测响应，两轴一起代入并展开。
3. 用新中心及平方和积和核斜率、截距。
4. 还原中心化坐标时两平均都恢复；最后核残差、平方和的单位，不把数字缩小当更准。

例题 01 已中心化的数据汇总

题目

一组样本数据$\left( {x}_{1},{y}_{1}\right),\left( {x}_{2},{y}_{2}\right),\cdots \cdots ,\left( {x}_{n},{y}_{n}\right)$在一条直线附近波动，拟合的回归直线记为$l$，满足：$\overline{x}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n} {x}_{i}=1,\overline{y}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n} {y}_{i}=1$.令${u}_{i}={x}_{i}-\overline{x},{v}_{i}={y}_{i}-\overline{y}(i=1,2,\cdots \cdots ,n)$，得到新样本数据$\left( {u}_{1},{v}_{1}\right),\left( {u}_{2},{v}_{2}\right),\cdots \cdots ,\left( {u}_{n},{v}_{n}\right)$，且$\sum _{i=1}^{n} {u}_{i}{v}_{i}=4,\sum _{i=1}^{n} {u}_{i}^{2}=2$，则直线$l$的方程为（    ）

附：$\hat{b}=\frac{\sum _{i=1}^{n} \left( {x}_{i}-\overline{x}\right)\left( {y}_{i}-\overline{y}\right)}{\sum _{i=1}^{n} {\left( {x}_{i}-\overline{x}\right)}^{2}}=\frac{\sum _{i=1}^{n} {x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum _{i=1}^{n} {x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}},\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}.$.

A．$\hat{y}=2x-1$ B．$\hat{y}=2x$

C．$\hat{y}=x$ D．$\hat{y}=x+1$

答案与解析

解析

$u_i=x_i-1,v_i=y_i-1$ 已中心化，均值0。题给 $S_{uu}=2>0,S_{uv}=4$，不再扣一次原均值项，因此中心坐标拟合式 $\hat v=2u$。

恢复两轴：$\hat y-1=2(x-1)$，即 $\hat y=2x-1$，选A。原截距 $1-2\times1=-1$，并非中心化坐标的0。B漏恢复常数项，C、D斜率不是4/2。代入中心(1,1)核A正确；正平方和也证原 $x$ 非恒定，除法合法。

本题结论

A

例题 02 脚长与身高的估计

题目

某市卫健委为了研究本市初中男生的脚长x（单位：cm）和身高y（单位：cm）的关系，从该市随机抽取100名初中男生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系.设其经验回归方程为$\hat{y}=4x+\hat{a}$，$\sum _{i=1}^{100} {x}_{i}=2250$，$\sum _{i=1}^{100} {y}_{i}=16000$，若该市某位初中男生的脚长为25cm，据此估计其身高为（   ）

A．166cm B．168cm C．170cm D．172cm

答案与解析

解析

总和除100得 $\bar x=22.5$ cm、$\bar y=160$ cm。中心满足 $160=4\times22.5+\hat a$，所以 $\hat a=70$ cm。代入 $x=25$ 得 $\hat y=4\times25+70=170$ cm，选C，另三项不等于代入结果。

斜率4表示脚长每增加1 cm，模型预测身高增加4 cm；截距70仅是拟合线在 $x=0$ 的值，零脚长不属现实适用范围，不能解释为某种实际身高。170 cm是估计，个体可偏离；仅知平均22.5而未知最小最大值，不能断言25必在样本范围内。

若两轴同时由cm改m，$x'=x/100,y'=y/100$，预测式变为 $\hat y'=4x'+0.7$，斜率仍4，截距0.7 m，不是70 m。

本题结论

C（模型估计170 cm）

坑点

不只变一轴却宣称斜率不变

斜率统一按 $u/c$ 倍变化；原斜率非零时，保持斜率要求 $u/c=1$；原斜率为0时仍为0。截距还受平移影响。中心化截距0属于新坐标，不是原坐标。

数字变小不等于误差结构改善

平方和随响应单位的平方缩放，样本信息没增加。非线性变换或更改对象配对不满足本页公式条件，必须重新分析。

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