过交点的直线系与三线围成三角形

约 2685 字大约 9 分钟

先查唯一交点，再查完整成员；组合参数解决方向，回代还要确认位置。

一、知识点理解概念

1. 先有唯一交点，才谈过交点的完整直线系

设两条有效直线 $L_1=A_1x+B_1y+C_1=0$ 与 $L_2=A_2x+B_2y+C_2=0$ 满足 $\Delta=A_1B_2-A_2B_1\ne0$ ，唯一交于 $P$ 。完整直线系为

\mu L_1+\nu L_2=0,\qquad (\mu,\nu)\ne(0,0),\quad\mu,\nu\in\mathbb R.

两系数同时乘同一非零数，不改变直线。因为 $L_1(P)=L_2(P)=0$ ，每个组合都经过 $P$ ；两原法向量不共线，非全零组合不会得到零法向量，因此每个组合确实是直线。

为什么覆盖全部？任意过 $P$ 直线的非零法向量都可唯一写成 $\mu(A_1,B_1)+\nu(A_2,B_2)$ ，这是系数行列式非零的二元一次方程组。其常数由代入 $P$ 唯一确定，恰为 $\mu C_1+\nu C_2$ 。所以完整族既不添别的位置，也不漏任何过 $P$ 的方向。

2. 单参数式固定了一个系数，因此少一条成员

当 $\mu\ne0$ ，整体除以 $\mu$ 得 $L_1+\lambda L_2=0$ ， $\lambda=\nu/\mu$ ；当 $\mu=0$ ，只能由 $\nu\ne0$ 得原线 $L_2=0$ 。

某个有限 $\lambda$ 若能使 $L_1+\lambda L_2$ 表示 $L_2$ ，就会迫使 $L_1$ 是 $L_2$ 的非零倍数，与原两线相交矛盾。因此漏掉的成员不能靠某个有限参数找回来。可改用两系数完整形式，或者先单独核 $L_2$ 是否符合附加条件，再使用单参数式。

3. 非相交两线的组合要另作代数分类

原线不相交于唯一点时，写出组合并不能反向保证“过交点”的几何解释。

若两线不同且平行，可统一法向使 $L_1=cL_2+d$ ，其中 $c\ne0,d\ne0$ 。于是

\mu L_1+\nu L_2=(\mu c+\nu)L_2+\mu d.

当 $\mu c+\nu\ne0$ ，仍为同方向直线；当 $\mu c+\nu=0$ ，在 $(\mu,\nu)\ne(0,0)$ 下必有 $\mu\ne0$ ，故 $\mu d\ne0$ ，得到无解的常数矛盾式，不能得到恒等式。

若两原线重合，则 $d=0$ ，某个非全零系数组合可使 $\mu c+\nu=0$ ，得到恒等式 $0=0$ ，其解集是整个平面，不是直线。上传知识库把平行组合可能产生“恒等式”并列叙述，须补清此边界：不同平行线且组合系数非全零时没有恒等式；重合时才可能出现。若违规令两组合系数都为零，也会得到恒等式，但它从一开始就不属于合法直线系。

二、考点方法与例题

1. 用附加点或方向确定直线系中的成员

核原两线有效且 $\Delta\ne0$ 。先检查漏线 $L_2$ ：附加点就代点，附加方向就核方向，符合便单列，不符合写出依据。再展开

(A_1+\lambda A_2)x+(B_1+\lambda B_2)y+C_1+\lambda C_2=0.

过给定点便代坐标；方向 $(u,v)\ne(0,0)$ 便令 $(A_1+\lambda A_2)u+(B_1+\lambda B_2)v=0$ ；要求平行或垂直则用一般式位置判据，避免遗漏竖直方向。若选斜率法，须先核 $B_1+\lambda B_2\ne0$ 。对基线 $Ax+By+C=0$ ，记新法向为 $(a,b)$ ，同方向条件 $aB-Ab=0$ 后还须排除重合，垂直条件则为 $aA+bB=0$ 。

解参数后复核新式有效、过原交点并满足附加点或方向。附加点若恰是原交点，只给“再过此点”不能唯一确定目标线，还需额外条件。

例题 01 过原两线交点与原点的直线

过两直线 ${l}_{1}:x-3y+4=0$ 和 ${l}_{2}:2x+y+5=0$ 的交点和原点的直线方程为（　　）

A．3x-19y=0 B．19x-3y=0

C．19x+3y=0 D．3x+19y=0

答案与解析

原两线的 $\Delta=1\cdot1-2(-3)=7\ne0$ ，确相交，联立得 $P=(-19/7,3/7)$ ，代回 $x-3y+4$ 与 $2x+y+5$ 均为零。 $P$ 不是原点，两不同点唯一确定目标直线。

令 $L_1=x-3y+4,L_2=2x+y+5$ 。漏线 $L_2=0$ 在原点的值为 $5\ne0$ ，不符合条件，所以本题可用 $L_1+\lambda L_2=0$ 。代原点得 $4+5\lambda=0$ ，即 $\lambda=-4/5$ 。

乘 $5$ 展开得 $5x-15y+20-4(2x+y+5)=-3x-19y=0$ ，整体乘 $-1$ 得 $3x+19y=0$ ，选 D。

四个选项虽都过原点，但 A、B、C 代入 $P$ 分别为 $-114/7,-370/7,-352/7$ ，均不为零；D 给 $3(-19/7)+19(3/7)=0$ 。既检查方向形式，也检查具体位置。

2. 多个附加条件分小问处理，不混用参数

先求一次公共交点，各小问可用过点法独立求线，再用直线系交叉核验。每问都检查漏线与除法条件，不因前一问排除过某成员就自动替后一问排除。

例题 02 过同一交点并分别满足三个条件

求过两条直线 $y=2x+3$ 与 $3x-y+2=0$ 的交点，且分别满足下列条件的直线方程：

(1)斜率为 $-\frac{1}{2}$ ；

(2)过点 $P(2,3)$ ；

(3)平行于直线 $3x+y=1$ ．

答案与解析

原两线为 $L_1=2x-y+3=0,L_2=3x-y+2=0$ ， $\Delta=2(-1)-3(-1)=1\ne0$ 。两式相减得 $x=1$ ，代回得 $y=5$ ，所以公共点为 $Q(1,5)$ 。

(1) 先用过点法。 $y-5=-\tfrac12(x-1)$ ，整理得 $x+2y-11=0$ 。

再用原直线系法。漏线 $L_2$ 的斜率为 $3$ ，不等于 $-1/2$ ，可排除。展开

L_1+\lambda L_2=(2+3\lambda)x-(1+\lambda)y+3+2\lambda=0.

$\lambda=-1$ 时为竖直线，不符合本问有限斜率条件；其余可写 $(2+3\lambda)/(1+\lambda)=-1/2$ ，解得 $\lambda=-5/7$ 。代回乘 $-7$ ，得 $x+2y-11=0$ ，与过点法一致。

(2) 两点法。 $Q(1,5)$ 与 $P(2,3)$ 不同，斜率 $(3-5)/(2-1)=-2$ ，于是 $y-5=-2(x-1)$ ，得 $2x+y-7=0$ 。

原直线系法。 $L_2(P)=6-3+2=5\ne0$ ，漏线不符合本问；代 $P$ 到组合得 $4+5\lambda=0$ ，故 $\lambda=-4/5$ 。回代乘 $-5$ 得 $2x+y-7=0$ ，且该式代 $Q,P$ 都为零。

(3) 过点法。基线 $3x+y=1$ 的斜率为 $-3$ ，所以 $y-5=-3(x-1)$ ，得 $3x+y-8=0$ 。常数与基线 $3x+y-1=0$ 不同，确为平行而非重合。

原直线系法。漏线斜率 $3$ 不符合本问 $-3$ 。排除竖直成员 $\lambda=-1$ 后，令 $(2+3\lambda)/(1+\lambda)=-3$ ，得 $\lambda=-5/6$ 。回代乘 $-6$ 得 $3x+y-8=0$ 。

三问参数依次为 $-5/7,-4/5,-5/6$ ，均不为 $-1$ ；所有目标线都有效且经过 $Q$ 。上传知识库中的原解已逐问判断漏线不符条件，本题并不是随意忽略漏线；这里补写的是各排除理由与除法边界。

3. 围成三角形须排除方向退化和三线共点

三条不同直线围成非退化三角形，当且仅当每对相交且三个交点不同。先查任意一对平行或重合，再把前两线交点代第三线排除共点。若三线两两相交而不共点，三个交点必不同，形成三边；反之有平行、重合或共点便不能形成非退化三角形。

题目求“不能”时给这些排除参数的并集，求“能”时才取允许范围中去掉它们的部分。各候选回代原线，别把集合写反。

例题 03 三条含参直线能否围成三角形

已知三条直线 ${l}_{1}:y=x+1$ ， ${l}_{2}:y=-2x+4$ ， ${l}_{3}:mx+y+1=0$ 不能围成三角形，则实数 $m$ 的取值集合为（）

A． $\left\{ 1,-2\right\}$ B． $\left\{ 1,-2,3\right\}$

C． $\left\{ -1,2,-3\right\}$ D． $\left\{ -1,2\right\}$

答案与解析

前两线斜率为 $1,-2$ ，交于 $A(1,2)$ 。第三线为 $y=-mx-1$ ，始终有效，斜率是 $-m$ 而不是 $m$ ，纵截距恒为 $-1$ ，不同于前两线的 $1,4$ ，不会与它们重合。

不能围成三角形的情况逐项为：

与第一线平行： $-m=1$ ，得 $m=-1$ ，截距不同所以确为不同平行线。
与第二线平行： $-m=-2$ ，得 $m=2$ ，也为不同平行线。
三线共点：将 $A(1,2)$ 代第三线得 $m+2+1=0$ ，即 $m=-3$ 。

其余参数既不平行也不共点，三线两两相交于三个不同点，确能围成三角形。因此“不能”的完整集合为 $\{-1,2,-3\}$ ，选 C。D 漏了共点参数；A、B 把斜率 $-m$ 当成 $m$ ，符号反了。