圆切线、切点与切线段长度

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先分经过点与真正切点，再用非零半径或圆心距求解并检查方向完整性。

一、知识点理解概念

1. 经过点与切点不同，切线段与直线也不同

真圆半径 $r>0$ ，切线与圆恰有一个公共点 $T$ 。圆心 $O$ 到切线的垂足就是 $T$ ，所以半径 $OT$ 垂直切线。

过给定点 $P$ 的切线条数由点圆位置决定： $OP<r$ 无切线， $OP=r$ 唯一且 $P$ 就是切点， $OP>r$ 有两条不同切线。切线段长是外点 $P$ 到切点 $T$ 的 $PT$ ，不是无限直线的长度。

2. 真正的切点给出非零半径法向量

先确认 $T=(x_0,y_0)$ 满足 $(x_0-a)^2+(y_0-b)^2=r^2>0$ 。半径向量 $(x_0-a,y_0-b)$ 非零，因此切线为

(x_0-a)(x-x_0)+(y_0-b)(y-y_0)=0.

把 $x-x_0=(x-a)-(x_0-a)$ ， $y-y_0=(y-b)-(y_0-b)$ 代入，再用 $OT^2=r^2$ ，得到

(x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2.

圆心在原点时为 $x_0x+y_0y=r^2$ 。法向式同时覆盖水平与竖直切线，不必用 $-1/k$ 去除可能为零的斜率。此线过 $T$ 且垂直非零半径，其圆心距确为 $r$ ，所以真是切线。

3. 一般方程的切点式仍依赖切点在圆上

对真圆 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ ，圆心 $(-D/2,-E/2)$ ， $r^2=(D^2+E^2)/4-F>0$ 。将其代入切点式，得到

\left(x_0+\frac D2\right)\left(x+\frac D2\right)+\left(y_0+\frac E2\right)\left(y+\frac E2\right)=\frac{D^2+E^2}{4}-F.

展开后消去两边相同常数 $(D^2+E^2)/4$ ，再移项：

x_0x+y_0y+\frac D2(x+x_0)+\frac E2(y+y_0)+F=0.

这里 $T$ 必须是真切点。若将外点 $P$ 误放进切点位置，代 $X=P$ 会要求 $OP^2=r^2$ ，与外点条件矛盾，所得线甚至不经过 $P$ ，不能当作所求过 $P$ 的两条切线。

4. 切点定位也解释了零、一、两条的数目

先讨论 $P\ne T$ ，此时候选切点须满足 $OT^2=r^2$ 及 $OT\perp PT$ 。由 $\overrightarrow{PT}=\overrightarrow{OT}-\overrightarrow{OP}$ 得

\overrightarrow{OT}\cdot\overrightarrow{OP}=r^2.

当 $P\ne T$ 时，反过来圆上点满足这个等式，就有 $OT\perp PT$ ，于是 $PT$ 是切线。设 $s=OP>0$ ，上式是关于 $T$ 的直线，到 $O$ 的距离为 $r^2/s$ 。 $s>r$ 时该距离小于 $r$ ，有两切点，各给不同切线； $s=r$ 时只有 $T=P$ ，用该处非零半径定出唯一切线； $0<s<r$ 时距离大于 $r$ ，无切点。

$P=O$ 时点积左边恒为零，不可能等于 $r^2>0$ ，直接无解，不能拿零 $OP$ 作法向量。这也说明条数分类不是仅凭图记忆。

5. 外点两条切线段等长，来自同一勾股关系

当 $OP>r$ ，直角三角形 $OTP$ 给 $OP^2=OT^2+PT^2$ ，所以

PT=\sqrt{OP^2-r^2}.

两个切点都给同一非负长度。 $OP=r$ 时可把切点到自身的零段看作边界，但切线只有一条； $OP<r$ 根号负表示不存在切线，不是可取的实长度。

二、考点方法与例题

1. 给定切点用法向式，要求切点先作垂足

配方核正半径，把已知切点代圆，再用非零半径法向式写线，验过点与圆心距。若先求到切线、还要切点，就求圆心在该线上的垂足并代圆复核；两线夹角或相关面积也要先有真实切线、切点，才用半径垂切线的直角三角形。

2. 外点求线先计条数，再保留所有方向

先比较 $OP^2$ 与 $r^2$ ，判断应有几条。设过点 $P=(p_x,p_y)$ 的一般式

A(x-p_x)+B(y-p_y)=0,\qquad A^2+B^2>0,

令 $|A(a-p_x)+B(b-p_y)|/\sqrt{A^2+B^2}=r$ 求方向。若改用 $y-p_y=k(x-p_x)$ ，必须先单独检查竖直线 $x=p_x$ 是否满足 $|p_x-a|=r$ 。

分母正、绝对值与半径都非负时才等价平方；解后回代原距离条件及过点条件。方程整体成非零倍数只是同一条线，合并后按零、一、两条基准检查漏线或增根。

例题 01 过给定点的圆切线方程

已知圆 $C:{\left( x+1\right)}^{2}+{\left( y+1\right)}^{2}=4$ ，则过点 $\left( 1,2\right)$ 的圆C的切线方程为（）

A． $5x+12y-29=0$ B． $5x+12y-29=0$ 或 $x=1$

C． $5x-12y+19=0$ D． $5x-12y+19=0$ 或 $x=1$

答案与解析

圆心 $C=(-1,-1)$ ，半径 $2$ 。给定点 $P=(1,2)$ 满足 $CP^2=2^2+3^2=13>4$ ，应有两条不同切线。

先查竖直方向： $x=1$ 经过 $P$ ，圆心到它的距离 $|-1-1|=2$ ，确为切线。垂足与切点是 $T=(1,-1)$ ；代圆为 $2^2+0^2=4$ ，半径法向式 $2(x-1)=0$ 也直接给出这一线。

再求有限斜率：设 $y-2=k(x-1)$ ，即 $kx-y-k+2=0$ 。圆心代入为 $3-2k$ ，所以

\frac{|3-2k|}{\sqrt{k^2+1}}=2.

两边非负且分母正，平方得 $9-12k+4k^2=4k^2+4$ ，抵消后 $-12k=-5$ ， $k=5/12$ 。因此另一线为

5x-12y+19=0.

代 $P$ 得 $5-24+19=0$ ；圆心代入值 $-5+12+19=26$ ，除以法向量模 $13$ 得半径 $2$ ，确为切线。两条不同线完整列出，选 D。

A、B含的 $5x+12y-29=0$ 虽过 $P$ ，但圆心距 $46/13\ne2$ ，不切圆；C只给有限斜率线，漏 $x=1$ 。外点不能当切点代切点公式，所用法向量必须来自真正的半径。

3. 只求切线段长时，不必先解两条切线

先核外点 $OP^2>r^2$ ，用半径垂切线得勾股，取非负平方根。两个切点给同一长度，无需为这个长度重复解两条线；不要把点到圆心的距离当作答案。

例题 02 外点到切点的线段长度

过点 $P\left( 2,4\right)$ 的直线与圆 $O:{(x-3)}^{2}+{y}^{2}=1$ 相切于点 $A$ ，则切线段 $PA$ 长为（）

A．3 B．4 C． $\sqrt{17}$ D．5

答案与解析

圆心 $O=(3,0)$ ，半径 $r=1$ 。 $PO^2=(2-3)^2+(4-0)^2=17>1$ ，点 $P$ 确在圆外，存在两条切线。

对任一切点 $A$ ， $OA\perp PA$ ，直角三角形 $OAP$ 给

PA^2=PO^2-OA^2=17-1=16,\qquad PA=4.

选 B。C的 $\sqrt{17}$ 是 $PO$ 而非 $PA$ ；A、D不满足勾股。两条切线段同长，所求不是整条无限直线的“长度”。