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外观

共轭复数：实轴反射、分量方程与模平方

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共轭只改变虚部的符号，不把整个复数取负。共轭乘积与复数自身的平方是不同运算，先分清对象，再选择分量或模的关系。

一、知识点 概念与依据

1. 共轭是关于实轴反射，不是原点对称

z=a+bi（a、b为实数）的共轭为 z‾=a−bi\overline z=a-bi，实部不变，虚部取相反数。复平面上对应(a,b)到(a,−b)的实轴反射；再次反射回到原来的点，即 z‾‾=z\overline{\overline z}=z。

实数的共轭仍为它自己；b≠0时，这对非实共轭数也称共轭虚数。定义允许z=0。

取相反数−z对应(a,b)到(−a,−b)，是关于坐标原点对称，一般不同于共轭。原实部为负时，共轭后仍保持该负号。

2. 共轭和、差、积直接由展开得到

实虚两部分分别抵消，给出

z+z‾=2a,z−z‾=2bi.z+\overline z=2a,\qquad z-\overline z=2bi.

共轭相乘时

zz‾=(a+bi)(a−bi)=a2−(bi)2=a2+b2=∣z∣2.z\overline z=(a+bi)(a-bi)=a^2-(bi)^2=a^2+b^2=\lvert z\rvert^2.

因此共轭乘积是非负实数，共轭与原数同模。以上恒等式允许z=0；只有将z或共轭用作除数时才须另外排除0。

和总为实数；差只有在b≠0时才是纯虚数，b=0时差为0。等模本身不足以推出共轭，还必须实部相同、虚部互为相反数。

3. 共轭判类型时别漏零的边界

z=z̅等价于b=0，即z为实数。z=−z̅只等价于a=0；若再加z≠0，才等价于纯虚数。不要因式子出现共轭就自动假定其非零。

对整个等式取共轭时，每一项都要取，特别i的共轭为−i。由实系数展开可验证：和的共轭是各共轭之和，积的共轭是各共轭之积；不能只对等式一边的某个因子变号。

4. 复数平方、模平方、模严格区分

所求对象由z=a+bi展开后的结果
复数自身的平方z²(a²−b²)+2abi
共轭乘积zz̅a²+b²
模的平方a²+b²
模√(a²+b²)，取非负根

平方展开中的(bi)²=−b²，交叉项不能漏；共轭乘积则是相反虚部相乘。特殊情况下某些数值碰巧相等，也不能把它们视为同一恒等式。对(a−bi)²同理，结果为(a²−b²)−2abi。

资料勘误：所附知识库已指出，原平方公式曾把实部误写成a²+b²。应由(±bi)²=−b²得实部a²−b²，不可与共轭乘积混用。

实数x有x²=|x|²，但这不能无条件扩到复数。题目说两个复数根时，不能未判实根就把模平方和换成两个根的平方和。

5. 按等式结构选择分量或提因子

z与z̅线性出现时，设z=a+bi，展开后比较两个实分量。能提成uz=v且u≠0时，可先求z=v/u；为避免除法，可直接设分量解实方程组。

已得z后，要问模平方就算a²+b²；问模再开非负平方根。已知模只能限制a²+b²，通常不能确定a、b的符号或唯一复数。最终代回原等式核查，尤其注意减去一个共轭会再次翻转虚部符号。

二、考点 方法与例题

1. 求共轭先保留实部，只改变虚部

把实部、虚部分开记录后再变号。若求点所在象限，先写共轭的坐标，再按两个坐标的正负判断。

例题 01 标准形式的共轭复数

题目

已知复数z=2+iz=2+i，则z‾=\overline{z}=（   ）

A．2−i2-i B．2+i2+i C．−2+i-2+i D．−2−i-2-i

答案与解析

解析

z=2+i，实部2保持，虚部1改为−1，故共轭为2−i，选A。B未改变虚部，C错误地只改实部，D把整个复数取负，都不符合本题共轭。

本题结论

A，z‾=2−i\overline z=2-i。

例题 02 共轭复数对应点的位置

题目

若z=−2+5iz=-2+5i，则复平面内复数z‾\overline{z}对应的点位于（   ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

答案与解析

解析

−2+5i的共轭为−2−5i，对应点(−2,−5)。两个坐标均负，在第三象限，选C。A、B要求纵坐标正，D要求横坐标正，都不符合。

本题结论

C，第三象限。

2. 含共轭的线性等式逐分量求解

设两个实未知量，展开时连同系数和外部负号一起处理。求出复数以后，还要继续计算题目真正所问的表达式。

例题 03 共轭等式与虚数单位的幂

题目

若复数zz满足z−2z‾=1+3iz-2\overline{z}=1+3i，则z⋅i2025=z\cdot {i}^{2025}=（ ）

A．1−i1-i B．−1+i-1+i C．−1−i-1-i D．1+i1+i

答案与解析

解析

设z=a+bi，a、b为实数，则z−2z̅=a+bi−2(a−bi)=−a+3bi。比较1+3i得−a=1、3b=3，故z=−1+i。

回验：(−1+i)−2(−1−i)=1+3i。又2025=4×506+1，故i²⁰²⁵=i，所求乘积为(−1+i)i=−i+i²=−1−i，选C。

B只是中间所得z，不是题目最后所求；A、D也不等于实际乘积。

本题结论

C，−1−i-1-i。

3. 先求复数，再分清要模还是模平方

提取z的系数若要除，先确认该系数非零。也可先用分量方程求解，再根据目标表达式选正确平方关系。

例题 04 复数方程中的共轭乘积

题目

若zi=z+2zi=z+2，则zz‾=z\overline{z}=（ ）

A．1 B．2 C．4 D．5

答案与解析

解析

由zi=z+2得(i−1)z=2，i−1非零。乘共轭化分母：

z=2−1+i=2(−1−i)(−1+i)(−1−i)=2(−1−i)2=−1−i.z=\frac{2}{-1+i}=\frac{2(-1-i)}{(-1+i)(-1-i)}=\frac{2(-1-i)}2=-1-i.

回代zi=1−i，z+2=1−i，成立。于是z̅=−1+i，zz̅=1+1=2，选B。A、C、D均非两个分量的平方和。若问模才会得到√2，本题问共轭乘积，不开根。

本题结论

B，zz‾=2z\overline z=2。

例题 05 运算后求共轭乘积

题目

已知ii为虚数单位，复数z=21+i−iz=\frac{2}{1+i}-i，则z⋅z‾=z\cdot \overline{z}=（ ）

A．5 B．3 C．5\sqrt{5} D．2

答案与解析

解析

1+i非零，乘其共轭得

z=2(1−i)(1+i)(1−i)−i=(1−i)−i=1−2i.z=\frac{2(1-i)}{(1+i)(1-i)}-i=(1-i)-i=1-2i.

因此z̅=1+2i，zz̅=1²+(−2)²=5，选A。C的√5是模，不是本题的共轭乘积；B、D也不等于5。

同一个z的自身平方为(1−2i)²=1−4i−4=−3−4i，和共轭乘积5不同。差别来自两个因子的虚部同号还是反号；不能把这两个运算混成同一“平方”。

本题结论

A，zz‾=5z\overline z=5。

三、坑点 边界与纠错

1. 共轭不等于取负，减共轭再核负号

a−bi的共轭为a+bi。z−2z̅的虚部为b−2(−b)=3b；对等式取共轭时，每项包括i都要处理。

2. 共轭乘积不能算成负数或非实数

zz̅=|z|²必非负；算出负数或非零虚部应检查符号。求模再开根，复数自身平方则用普通乘法展开。

3. 模条件不唯一，类型条件不自动排零

同模不能保证相等或共轭。共轭定义允许0，纯虚数需额外非零；除以z或共轭时也要单独检查分母。