空间基底：存在、唯一与换基

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先证明三方向不共面，再按同一有序基底展开与比较。

一、知识点理解概念

1. 基底的资格是不共面，不是正交

三个空间向量 $\vec a,\vec b,\vec c$ 不共面时，对每个空间向量 $\vec p$ ，存在唯一有序实数组 $(x,y,z)$ ，使

\vec p=x\vec a+y\vec b+z\vec c.

这就是空间向量基本定理。三者称为一个基底的基向量，记录系数时须指定顺序。不共面意味着每个都非零、任意两个不共线，但不要求两两垂直或模为 $1$ ；两两垂直且均为单位向量才是单位正交基底。

非退化四面体或平行六面体同一顶点的三棱向量可作基底。“三个不同”或“三个非零”都不足以保证不共面。

2. 为什么每个向量都能表示，而且唯一

存在性。把三向量移到共同起点 $O$ ， $\vec a,\vec b$ 确定过 $O$ 的方向平面 $\alpha$ 。设 $\vec{OP}=\vec p$ ，过 $P$ 作方向为 $\vec c$ 的直线；由于 $\vec c$ 不在该平面方向内，此线不平行 $\alpha$ ，与其交于唯一点 $Q$ 。

$\vec{QP}=z\vec c$ ，而 $\vec{OQ}$ 可由平面两向量表示为 $x\vec a+y\vec b$ 。首尾相接就有 $\vec{OP}=\vec{OQ}+\vec{QP}=x\vec a+y\vec b+z\vec c$ 。

唯一性。若两组系数表示同一向量，相减得 $r\vec a+s\vec b+t\vec c=\vec0$ 。若 $t\ne0$ ，就能把 $\vec c$ 写成前两者的组合，造成共面，矛盾；故 $t=0$ 。再由 $\vec a,\vec b$ 不共线得 $r=s=0$ 。三个差系数全为零，两组系数相同。

因此判断基底可检查：三者线性组合为零时，是否只有全零系数。若三者共面，有两个不共线时可用它们表示第三；若连两个不共线方向也没有，更不可能生成空间。这些退化都会使基底资格失败。

3. 坐标依赖基底与顺序，向量本身不变

固定有序基底下的系数可称在该基底下的坐标。改基底或调换顺序，坐标通常改变，向量本身不变。只有单位正交基底，才能直接用 $x^2+y^2+z^2$ 算模平方；一般斜基底的系数不是各方向的正交投影长度。

正向换基，将已知系数乘各基向量，再逐项代成目标基底。逆向换基，设新系数，展开到旧基底并比较唯一系数。例如 $\vec a=a_1\vec i+a_2\vec j+a_3\vec k$ ，其余类似，则 $x\vec a+y\vec b+z\vec c$ 的 $\vec i$ 系数为 $xa_1+yb_1+zc_1$ ，须按方向归项。

逆向对每个向量有唯一解的前提，是新三向量也不共面。可把旧基底反表示成新三向量的组合：若新三者共面，旧三者也共面，便矛盾。换基只用线性展开与唯一性，不必先算模、角或行列式。

二、考点方法与例题

1. 排除共面组合，再证明有效新基底

排除零向量、共线一对和只由两个方向生成的情形；要证明合格，给出反表示或唯一零组合的论证，不只说“看不出共面”。

例题 01 从原基底构造新基底

若 $\left\{ \vec{a},\vec{b},\vec{c}\right\}$ 构成空间的一个基底，则下列选项可构成空间的另一个基底的是（）

A． $\vec{c}+\vec{a},\vec{c},\vec{c}-\vec{a}$ B． $\vec{b},\vec{b}+\vec{c},\vec{b}-\vec{c}$

C． $\vec{b}+\vec{c},\vec{a}+\vec{b}+\vec{c},\vec{a}$ D． $\vec{b}+\vec{c},\vec{b}-\vec{c},\vec{a}$

答案与解析

A： $(\vec c+\vec a)+(\vec c-\vec a)=2\vec c$ ，三者都在 $\vec a,\vec c$ 的方向平面内，不能作空间基底。上传知识资料原选项 A 开头的 $c$ 漏了箭头，这里按向量 $\vec c$ 补正排字，未将其当实数改变原题。

B： $(\vec b+\vec c)+(\vec b-\vec c)=2\vec b$ ，三者共面。C：第二向量等于第一加第三，也共面。

D：令 $\vec u=\vec b+\vec c,\vec v=\vec b-\vec c$ ，则

\vec b=\frac12(\vec u+\vec v),\qquad \vec c=\frac12(\vec u-\vec v).

若 $\vec u,\vec v,\vec a$ 共面，则原 $\vec a,\vec b,\vec c$ 都在同一方向平面内，矛盾。因此 D 为新基底。

也可分两步：若 $\vec u=t\vec v$ ，比较原基底系数将得 $1=t$ 且 $1=-t$ ，矛盾；故 $\vec u,\vec v$ 不共线。 $\vec a$ 也不能由它们组合，因为这样的组合 $\vec a$ 系数为零。不是只凭三个向量不同就能判基底。

2. 向量分点条件先化为位置向量

把带不同起点的向量都改成共同基点位置向量，解出分点，再用终点减起点表示目标向量。基底保证所得系数唯一。

例题 02 三棱锥中的两个分点

如图，在三棱锥 $O-ABC$ 中， $\vec{OA}=\vec{a},\vec{OB}=\vec{b},\vec{OC}=\vec{c}$ ．若点 $M,N$ 分别在棱 $OA,BC$ 上，且 $\vec{OM}+3\vec{AM}=2\vec{BN}+\vec{CN}=\vec{0}$ ，则 $\vec{MN}=$ （）

A． $-\frac{3}{4}\vec{a}+\frac{2}{3}\vec{b}-\frac{1}{3}\vec{c}$ B． $\frac{3}{4}\vec{a}-\frac{2}{3}\vec{b}-\frac{1}{3}\vec{c}$

C． $-\frac{3}{4}\vec{a}+\frac{2}{3}\vec{b}+\frac{1}{3}\vec{c}$ D． $\frac{3}{4}\vec{a}+\frac{2}{3}\vec{b}+\frac{1}{3}\vec{c}$

答案与解析

$\vec{AM}=\vec{OM}-\vec{OA}$ ，所以 $\vec{OM}+3\vec{AM}=\vec0$ 化为 $4\vec{OM}=3\vec{OA}$ ，得 $\vec{OM}=3\vec a/4$ 。

$\vec{BN}=\vec{ON}-\vec{OB}$ ， $\vec{CN}=\vec{ON}-\vec{OC}$ ，故 $2\vec{BN}+\vec{CN}=\vec0$ 给

3\vec{ON}=2\vec{OB}+\vec{OC},\qquad \vec{ON}=\frac23\vec b+\frac13\vec c.

于是

\vec{MN}=\vec{ON}-\vec{OM}=-\frac34\vec a+\frac23\vec b+\frac13\vec c,

选 C。A 把 $\vec c$ 系数方向写反；B、D 把起点 $M$ 的 $\vec a$ 项写成正号。三棱锥非退化使三棱向量不共面，系数唯一。

也可用原路径： $\vec{CN}=\frac23\vec{CB}=\frac23(\vec b-\vec c)$ ，沿 $M\to O\to C\to N$ 相加，得到 $-3\vec a/4+\vec c+2(\vec b-\vec c)/3$ ，与上式一致。

3. 正向换基：按同一方向归项

有序系数先还原为向量等式，再展开每项。记录目标基底顺序，最后逐方向核对，不把原来的三个数字直接贴到新基底。

设 $\left\{ \vec{i},\vec{j},\vec{k}\right\}$ 是单位正交基底，已知向量 $\vec{p}$ 在基底 $\left\{ \vec{a},\vec{b},\vec{c}\right\}$ 下的坐标为 $\left( 8,6,4\right)$ ，其中 $\vec{a}=\vec{i}+\vec{j}$ ， $\vec{b}=\vec{j}+\vec{k}$ ， $\vec{c}=\vec{k}+\vec{i}$ ，则向量 $\vec{p}$ 在基底 $\left\{ \vec{i},\vec{j},\vec{k}\right\}$ 下的坐标是（）

A． $\left( 12,14,10\right)$ B． $\left( 10,12,14\right)$ C． $\left( 14,12,10\right)$ D． $\left( 4,3,2\right)$

答案与解析

题给坐标意味着 $\vec p=8\vec a+6\vec b+4\vec c$ ，代入后

\begin{aligned} \vec p&=8(\vec i+\vec j)+6(\vec j+\vec k)+4(\vec k+\vec i)\\ &=12\vec i+14\vec j+10\vec k. \end{aligned}

按 $(\vec i,\vec j,\vec k)$ 的顺序，坐标为 $(12,14,10)$ ，选 A。B、C 把方向顺序混淆，D 不能展开回原向量。

可反核组合三向量确为基底： $\vec i=(\vec a-\vec b+\vec c)/2$ ， $\vec j=(\vec a+\vec b-\vec c)/2$ ， $\vec k=(-\vec a+\vec b+\vec c)/2$ 。若组合三者共面，原单位正交三者也共面，矛盾。本题的换基并不需要计算模或夹角。

4. 逆向换基：设新系数，回到旧基底比较

核新基底资格，设未知有序系数，完全展开到已知旧基底，解齐方程，再代回原向量。

例题 04 和差基底中的坐标

已知 $\left\{ \vec{a},\vec{b},\vec{c}\right\}$ 是空间的一个单位正交基底，向量 $\vec{p}=\vec{a}+2\vec{b}+3\vec{c}$ ， $\left\{ \vec{a}+\vec{b},\vec{a}-\vec{b},\vec{c}\right\}$ 是空间的另一个基底，向量 $\vec{p}$ 在基底 $\left\{ \begin{aligned}\vec{a}+\vec{b},\vec{a}-\vec{b},\vec{c}\end{aligned}\right\}$ 下的坐标为（）

A． $\left( \frac{3}{2},-\frac{1}{2},3\right)$ B． $\left( -\frac{3}{2},\frac{1}{2},3\right)$ C． $\left( \frac{1}{2},-\frac{3}{2},3\right)$ D． $\left( -\frac{1}{2},\frac{3}{2},3\right)$

答案与解析

先核新基底： $\vec a=((\vec a+\vec b)+(\vec a-\vec b))/2$ ， $\vec b=((\vec a+\vec b)-(\vec a-\vec b))/2$ ， $\vec c$ 保留。若新三者共面，原三者也共面，矛盾。

设 $\vec p=x(\vec a+\vec b)+y(\vec a-\vec b)+z\vec c$ ，展开为 $(x+y)\vec a+(x-y)\vec b+z\vec c$ 。与原表达比较同一基底的唯一系数：

x+y=1,\quad x-y=2,\quad z=3.

相加得 $x=3/2$ ，再得 $y=-1/2$ 。故新坐标为 $(3/2,-1/2,3)$ ，选 A。回代 $x+y=1,x-y=2,z=3$ 全部符合；B、C、D 都有旧方向系数不符。

虽然原基底单位正交，新 $\vec a+\vec b,\vec a-\vec b$ 的模都是 $\sqrt2$ ，不是 $1$ 。不能因旧基底单位正交，就声称新基底也单位正交。