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外观

空间向量：概念与线性运算

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把向量当作有方向的位移：看清起终点，靠平移、路径与中点关系运算。

一、知识点 理解概念

1. 自由向量：大小与方向共同确定

空间向量有大小和方向，可由从 AA 指向 BB 的有向线段表示，记作 AB⃗\vec{AB}；大小称模，记 ∣AB⃗∣|\vec{AB}|。保持长度和方向的平移不改变向量，因此不同起点的有向线段也可以表示同一自由向量。

非零向量相等，要同向且等长。单位向量只要求模为 11，方向未必相同。零向量模为 00，没有确定方向，仍与自身相等；“方向任意”的约定不能用来给它定义夹角。非零 a⃗\vec a 的相反向量 −a⃗-\vec a 反向等长，零向量的相反向量仍是零。

向量本身不按大于、小于排序；可比较的是作为非负实数的模。和、差、实数数乘的结果仍是向量；模与数量积是实数，不混用对象类型。

2. 从平移合成理解加减法

先平移 AB⃗\vec{AB} 再平移 BC⃗\vec{BC}，总位移是 AC⃗\vec{AC}，所以首尾相接时中间点消去：

AB⃗+BC⃗=AC⃗.\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}.

整条空间路径不必共面，闭合路径总位移为零。同起点相加可用平行四边形对角线；交换平移次序不改终点，给出交换律；三次平移先合哪两次不改终点，给出结合律。

减法定义为加相反向量，a⃗−b⃗=a⃗+(−b⃗)\vec a-\vec b=\vec a+(-\vec b)。因此同起点相减为

OA⃗−OB⃗=BA⃗,\vec{OA}-\vec{OB}=\vec{BA},

方向是从减去向量的终点 BB 指向被减向量的终点 AA，不能写反。

3. 数乘与中点平均的理由

实数 λ\lambda 数乘向量，模满足 ∣λa⃗∣=∣λ∣ ∣a⃗∣|\lambda\vec a|=|\lambda|\,|\vec a|。当 a⃗≠0⃗\vec a\ne\vec0，λ>0\lambda>0 同向，λ<0\lambda<0 反向；λ=0\lambda=0 或 a⃗=0⃗\vec a=\vec0 时结果为零。

两次有向伸缩倍率相乘，同方向的伸缩可相加，平行四边形也可整体伸缩，所以

λ(μa⃗)=(λμ)a⃗,(λ+μ)a⃗=λa⃗+μa⃗,λ(a⃗+b⃗)=λa⃗+λb⃗.\lambda(\mu\vec a)=(\lambda\mu)\vec a,\quad (\lambda+\mu)\vec a=\lambda\vec a+\mu\vec a,\quad \lambda(\vec a+\vec b)=\lambda\vec a+\lambda\vec b.

这些规律允许合并同一向量的系数，不能把不同方向只按长度相加。两个向量的数量积另有定义，不是实数数乘。

若 EE 为 BCBC 中点，EB⃗+EC⃗=0⃗\vec{EB}+\vec{EC}=\vec0。对任何共同起点 OO，

OB⃗+OC⃗=(OE⃗+EB⃗)+(OE⃗+EC⃗)=2OE⃗,\vec{OB}+\vec{OC}=(\vec{OE}+\vec{EB})+(\vec{OE}+\vec{EC})=2\vec{OE},

从而 OE⃗=(OB⃗+OC⃗)/2\vec{OE}=(\vec{OB}+\vec{OC})/2。这只用中点与向量加法，无需正四面体、垂直或等棱条件。

二、考点 方法与例题

1. 逐项检查完整定义，不只看长度

先辨对象是向量还是模，再检查方向、平移与零向量条件。单位仅约束长度，空间的全部方向不能只用一个平面里的圆表示。

例题 01 空间单位向量与相等关系

给出下列命题：

①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆；

②在正方体ABCD−A1B1C1D1ABCD-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}中，必有AC⃗=A1C1⃗\vec{AC}=\vec{{A}_{1}{C}_{1}}；

③若空间向量a⃗,b⃗,c⃗\vec{a},\vec{b},\vec{c}满足a⃗=b⃗,b⃗=c⃗\vec{a}=\vec{b},\vec{b}=\vec{c}，则a⃗=c⃗\vec{a}=\vec{c}；

④空间中任意两个单位向量必相等；

其中假命题的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

答案与解析

①同一基点 OO 出发的全部空间单位向量，其终点到 OO 的距离都为 11，并包括所有空间方向，构成球面，不是圆，更不是包含内部的球体。①假。

②正方体上下底面对应平移，AC⃗\vec{AC} 与 A1C1⃗\vec{A_1C_1} 长度和方向均相同；原起点不同不影响自由向量相等。②真。

③向量相等具有传递性，③真。④单位只规定模为 11，方向可不同，例如彼此相反的两个单位向量不相等。④假。

故假命题为①④，共 22 个，选 B，A、C、D 均不符合逐项判断。

2. 从起点走到终点，再检查方向

减某个向量先改为加其相反向量；选首尾相接路径，或用共同起点写 PQ⃗=OQ⃗−OP⃗\vec{PQ}=\vec{OQ}-\vec{OP}。图形只提供已知平移、中点和分点关系，不能按投影长短猜向量相等。平行四边形的对边取同向时向量相等；中点用同起点位置向量平均；一般分点比例先明确从哪一端出发，再按数乘分配律展开并合并同一方向的向量。

例题 02 四点之间的路径化简

已知HH，II，JJ，KK是空间中互不相同的四个点，则HI⃗+IJ⃗−HK⃗=\vec{HI}+\vec{IJ}-\vec{HK}=（   ）

A．HK⃗\vec{HK} B．KJ⃗\vec{KJ} C．KI⃗\vec{KI} D．IJ⃗\vec{IJ}

答案与解析

先接 H→I→JH\to I\to J，再将减 HK⃗\vec{HK} 改为加 KH⃗\vec{KH}：

HI⃗+IJ⃗−HK⃗=HJ⃗+KH⃗=KH⃗+HJ⃗=KJ⃗.\vec{HI}+\vec{IJ}-\vec{HK} =\vec{HJ}+\vec{KH}=\vec{KH}+\vec{HJ}=\vec{KJ}.

恒等化简选 B。不能仅因起终点不同便排除两个自由向量相等。A 只在 KK 为 HJHJ 中点等满足 HK⃗=KJ⃗\vec{HK}=\vec{KJ} 的特殊位置与结果同值，并非对任意四个不同点都恒成立；例如同一直线上坐标 H=0,K=1,J=2,I=3H=0,K=1,J=2,I=3，A 与 B 确可同值。C 若等于 KJ⃗\vec{KJ}，由共同起点推出 I=JI=J，与题设矛盾；D 若等于 KJ⃗\vec{KJ}，由共同终点推出 I=KI=K，亦矛盾。题目应按普遍恒等式选择，而非断言 A 在任何位置都不等。四点不论是否共面都可以这样计算，空间路径不影响首尾相接规则。

例题 03 四面体中的中点平均

在四面体ABCDABCD中，EE为棱BCBC的中点，则DA⃗−12(DB⃗+DC⃗)=\vec{DA}-\frac{1}{2}\left( \vec{DB}+\vec{DC}\right)=（    ）

A．−AE⃗-\vec{AE} B．−AB⃗-\vec{AB} C．AE⃗\vec{AE} D．AB⃗\vec{AB}

四面体ABCD中E为BC中点
四面体ABCD中E为BC中点
答案与解析

EE 为 BCBC 中点，所以 EB⃗+EC⃗=0⃗\vec{EB}+\vec{EC}=\vec0。将 DB⃗\vec{DB} 写成 DE⃗+EB⃗\vec{DE}+\vec{EB}，将 DC⃗\vec{DC} 写成 DE⃗+EC⃗\vec{DE}+\vec{EC}，得到

DB⃗+DC⃗=2DE⃗.\vec{DB}+\vec{DC}=2\vec{DE}.

因此

DA⃗−12(DB⃗+DC⃗)=DA⃗−DE⃗=EA⃗=−AE⃗.\vec{DA}-\frac12(\vec{DB}+\vec{DC}) =\vec{DA}-\vec{DE}=\vec{EA}=-\vec{AE}.

选 A。C 的方向相反，B、D 用了点 BB 而不是题设中点 EE。平均式中的两向量必须有同一个起点；四面体不必正，各棱也不必等长。

三、坑点 辨析与纠错

1. 等模不等于向量相等

单位向量可有不同方向，模相等不能推出向量相等；向量相等也不要求原起点相同。空间全部方向的单位终点形成球面，只有限定在过基点的同一平面内时才形成单位圆。零向量不用于需要非零方向的夹角、方向向量或法向量定义。

2. 减号、起点与中点依据缺一不可

OA⃗−OB⃗=BA⃗\vec{OA}-\vec{OB}=\vec{BA} 而非 AB⃗\vec{AB}。改变负号要同时改变方向；中点平均不是随意两条边的均值，须先统一起点并说明中点关系。若进一步要求三个展开系数唯一，还须说明三基向量不共面，不能仅凭式子长得相同便逐项比较。