实际函数模型的量、单位与可行域

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实际模型既要说明怎样算，也要说明哪些输入能实施。先从量和单位理清关系，再把资源、区间和整数要求写进可行域。

一、知识点概念与依据

1. 表达式与可行域一起构成模型

设输入 $x$ 、输出 $y$ ，必须交代各自含义、单位、时间起点和连续或离散口径。一次式能代入所有实数，不表示采购量可以为负；消耗率公式能代零速，不表示零速能完成正路程。

真实可行域是四类条件的交集：运算条件（分母非零等）、实际资源条件（现金、正边长、容量）、题设区间及其开闭端点、离散要求（人数、件数、明确整数档数）。每项限制要指出来源，不私加“必不亏本”或“售价一定高于成本”。

千台、万件只是单位转换，不会使整数数量变成任意实数。若实际数量 $N$ 为整数而 $x=N/1000$ ，输入步长是 $0.001$ 。连续近似可帮助分析，但完整实际值域应写 $\{f(N/1000):N\text{为允许整数}\}$ ，不能用两个极值把中间实数全填满。

2. 固定变化率给一次模型

每增加一个单位输入，输出改变固定量 $k$ ，对应 $y=kx+b$ 。 $k$ 的单位是“输出单位/输入单位”， $b$ 是固定项。零输入未必实际允许，截距仍有代数含义。

已知两个不同输入数据 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ ，两式相减消去 $b$ ，得

k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},\qquad b=y_1-kx_1.

除法要求输入不同。拟合后要核其余数据，有限数据符合某式不证明所有现实对象或范围外都遵循它。

剩余量是原量减消耗量；收入为单价乘数量；利润还要扣总成本。固定支出只扣一次，不要把起购门槛当单价，也不要把单位变化率当初始量。

3. 累计量从本段起点继续增长

一段匀速运动从时刻 $t_0$ 开始，已有累计路程 $S_0$ ，本段速率为 $v$ ，则

S(t)=S_0+v(t-t_0).

只有第一段从零时刻、零路程起步时才可写 $vt$ 。停留段保持 $S_0$ ，本段终值成为下一段初值。

累计路程、距出发点的距离、有方向的位移是不同输出。返程仍会增加累计路程；速率非负，带方向速度则可为负，必须按题设和图的口径说明。理想瞬时变速可使速率跳变，但已走过的累计路程不会突然跳变。非匀速又没有更多规律时，不能直接套常速乘时间。

二、考点方法与例题

方法一：先写守恒关系，再给输入上下界

按单位确定系数，起购门槛给下界，资源给上界。“不少于”“不超过”允许等号，除非题设另有约束。最后用两端输出核验范围。

例题 01 采购量与剩余现金

题目

果蔬批发市场批发某种水果，不少于 $100$ 千克时，批发价为每千克 $2.5$ 元，小王携带现金3000元到市场采购这种水果，并以此批发价买进，如果购买的水果为 $x$ 千克，小王付款后剩余现金为 $y$ 元，则 $x$ 与 $y$ 之间的函数关系为（）

A． $y=3000-100x (100<x<1200)$

B． $y=3000-100x (100\le x\le 1200)$

C． $y=3000-2.5x (100\le x\le 1200)$

D． $y=3000-2.5x (100<x<1200)$

答案与解析

解析

购买费用为 $(2.5\text{元/千克})(x\text{千克})=2.5x$ 元，故 $y=3000-2.5x$ 。使用该批发价需要 $x\ge100$ ，现金足够需要 $2.5x\le3000$ ，相交为 $100\le x\le1200$ 。

买100千克符合门槛，买1200千克花尽现金也合法；输出依次从2750元降到0元。质量按题设连续量，不添加整千克条件。A、B把门槛100当单价；D漏合法端点。

本题结论

选 C。

方法二：改变哪个参数，就追踪哪个几何量

用 $y=kx-B$ 表示单位收入 $k$ 乘数量减固定支出 $B$ 。保持 $k$ 改 $B$ 只改变截距；保持 $B$ 改 $k$ 只改变斜率。先比较同一输入的新旧输出，不凭示意直线角度猜具体价格。

例题 02 单价和固定支出的图象作用

题目

南通至通州的某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的函数关系如图所示（收支差额＝车票收入一支出费用）．由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议（Ⅰ）不改变车票价格，减少支出费用；建议（Ⅱ）不改变支出费用，提高车票价格．下面给出的四个图形中，实线虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则（）

A．①反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ）

B．②反映了建议（Ⅰ），④反映了建议（Ⅱ）

C．①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ）

D．④反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ）

答案与解析

解析

建议Ⅰ将支出从 $B$ 减为 $B_1<B$ ，同一输入下新差额比旧差额多 $B-B_1>0$ ；两线平行且整体上移，故为①，不是下移的②。

建议Ⅱ将单价从 $k$ 增为 $k_1>k$ ，截距仍是 $-B$ ，正输入处新输出更大，故为③，不是变缓的④。

A将Ⅱ错配②，B两图均不符，D两图也不符，C的①③正确。

本题结论

选 C。

方法三：逐段代起点和终点检接缝

先算各段时长及速率，再用“旧累计量＋本段速率×本段时间”。检每个接点和总终值；原公式若与图不一致，应指出错误而非直接照抄。

学校宿舍与办公室相距 $am$ .某同学有重要材料要送交给老师，从宿舍出发，先匀速跑步 $3\mathrm{min}$ 来到办公室，停留 $2\mathrm{min}$ ，然后匀速步行 $10\mathrm{min}$ 返回宿含.在这个过程中，这位同学行进的速度 $v\left( t\right)$ 和行走的路程 $S\left( t\right)$ 都是时间 $t$ 的函数，则速度函数和路程函数的示意图分别是下面四个图象中的（）

A．①② B．③④ C．①④ D．②③

答案与解析

解析

这里按原图和题解， $v$ 指行进速率而不是有方向速度。设 $a>0$ ，去程速率 $a/3$ ，返程速率 $a/10$ ，停留速率0；返程较慢，故速率图①正确，③量值不符。

累计路程从0到 $a$ ，停留后再增加 $a$ ，最后为 $2a$ 。正确模型为

S(t)=\begin{cases}at/3,&0\le t\le3,\\a,&3<t\le5,\\a+(a/10)(t-5),&5<t\le15.\end{cases}

在3和5分钟两侧都接到 $a$ ，15分钟得到 $2a$ ，符合②，④的各段高度不符。A给①②，其他选项配错函数或图。

原解末段写 $a+at/10$ ，误把总时间当返程时长，在5分钟会给 $3a/2$ 、15分钟给 $5a/2$ ，与累计量及原图均矛盾。须明确改成 $a+(a/10)(t-5)$ ，并不改变原选项答案。速率切换点按原理想分段约定处理，累计路程接点则唯一。

本题结论

选 A；返程公式必须减去起点时刻5。