集合关系与空集

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集合相等比较全部成员，子集要求每个内部成员都在外部集合，真子集还要求外部确有额外成员。从数、点、输入、输出的辨认，到空集的层次和任意成员证明，本章将这些关系放在同一条主线上。

一、知识点概念与依据

1. 相等是两个方向的成员一致

$A=B$ 表示 A 的每个成员都在 B，且 B 的每个成员也都在 A。仅有相同个数不够；找出一边有、另一边没有的一个对象，就足以否定相等。证明相等则需覆盖全部成员，不能只举几个共同例子。

有限集合可以列全；无限集合通常化为同一范围或分别证明两个方向。成员用 $x$ 、 $y$ 、 $t$ 命名不同，不影响其实际数值范围；集合书写位置也不决定成员配对。

2. 同一方程可能收集不同对象

在常见实数语境里， $\{x\mid y=f(x)\}$ 收可行输入数， $\{y\mid y=f(x)\}$ 收可实现输出数， $\{(x,y)\mid y=f(x)\}$ 收完整图象点。本章题目未另说明处按来源实数语境读取，实际遇到省略范围的表达仍应先检查题意，不假定辅助变量随意取值。

比如 $y=x^2$ 的输入是全部实数、输出为非负实数，而点集是抛物线。 $0$ 与 $(0,0)$ 不同； $\{(-1,3)\}$ 与 $\{(3,-1)\}$ 也不同。集合的无序性不能交换一个有序数对内部的坐标。

对象类型的比较要先确认是否存在成员：两个条件都没有合法对象时，同为空集，不能因一个原式写数、另一个写点便断言不等。

3. 输出范围要有“限制”和“实现”两向依据

平方非负能给输出下界，却不自动保证界内所有值均能产生。对 $A=\{1+a^2\mid a\in\mathbb R\}$ ，先有输出 $\ge1$ ；任取 $t\ge1$ ，选 $a=\sqrt{t-1}$ ，又能实现 $1+a^2=t$ ，才得到 $A=[1,+\infty)$ 。

对 $B=\{a^2-4a+5\mid a\in\mathbb R\}$ ，配方为 $(a-2)^2+1$ ，也不小于 $1$ ；选 $a=2+\sqrt{t-1}$ 可实现每个 $t\ge1$ ，故 $B=A$ 。两个生成参数各自独立遍历，不要求同一个参数使两式输出相等。

合法性同样参与范围： $x^2/x=x$ 仅在 $x\ne0$ 时成立，原分母禁值不能因约分解除。一般约去因子 U 前先保留 $U\ne0$ ，其他分母和根号条件也必须同时满足。

4. 子集、真子集及其传递性

若 A 的任意成员也属于 B，记为 $A\subseteq B$ 或 $B\supseteq A$ ；“A 包含于 B”与“B 包含 A”是同一方向。子集允许相等。若 B 还至少有一个成员不在 A 中，则 $A\subsetneq B$ ，是真子集。

每个集合都是自身的子集，却不是自身的真子集。若 $A\subseteq B$ 、 $B\subseteq C$ ，任取 $u\in A$ ，依次推出 $u\in B$ 、 $u\in C$ ，故 $A\subseteq C$ ；若两向包含，则成员完全相同，故相等。

证明包含要处理任意成员；否定包含只需一个内部成员越界；证明真包含还需额外对象。例如 $\{0\}$ 包含于 $(-4,2)$ ，外集合还有 $1$ ，所以真包含。 $(-1,3)$ 却不能包含于 $(-4,2)$ ，因为成员 $2.5$ 越界。找到共同成员不够，图画得短也不能代替证明。

有限集合真包含会使内部成员较少；无限集合仍按成员关系定义，不把“个数少”当作普遍判据。参数生成的集合要先求输出，例如 P 为 $\{1,2,3,4\}$ ，输出 $x+1$ 构成 $\{2,3,4,5\}$ ，因此 $\{3,4,5\}$ 是它的真子集，额外成员是 $2$ 。

5. 空集与外层花括号

$0$ 是一个数； $\varnothing$ 没有成员； $\{0\}$ 有一个数作为成员； $\{\varnothing\}$ 有一个集合对象作为成员。后两者虽然都是一元素集合，成员身份却不同，不能只凭个数判相等。

空集是任意集合的子集：若包含不成立，须找到空集内一个越界成员，但它根本没有成员。若外集合非空，它还有额外成员，所以空集是其真子集；若外集合也空，则仅相等。

这不是说空集属于所有集合。 $\varnothing\in\{\varnothing\}$ 为真，而 $\varnothing\notin\{0\}$ 。类似地， $\{0\}\notin\{0,1,2\}$ ，因为右边列的是数，不是集合对象；不能在解释这一式时把 $\{0\}$ 偷换为 $\varnothing$ ，原资料有此处对象替换错误。

判空仍依赖数域： $x^2+1=0$ 无实根， $(x+1)^2=0$ 却有成员 $-1$ ； $1<x<2$ 没有整数但有实数。闭条件 $l\le x\le r$ 在 $l=r$ 时给单点，至少一端严格时才无成员。非空外集合不能包含于空集；被包含方可能为空的参数分支不能漏掉。

二、考点方法与例题

1. 对象相同以后，再比较完整范围

从外层读完整元素，先核原范围和表达式合法性，再求实际成员。输出范围补反向构造，点按对应坐标比较。判相等给两个方向，判不等指出确切差异；最后按题目问法计数，不把必要下界直接当作全部范围。

例题 01 空集、输出范围与根式点集

题目

下列关于集合相等的说法正确的有（）

① $\left\{ x\left| {x}^{2}+1=0\right.\right\}=\left\{ x\left| \left\{ \begin{aligned}2x+4>0\\x+3<0\end{aligned}\right.\right.\right\}$ ；

② $\left\{ y\left| y=2{x}^{2}+1\right.\right\}=\left\{ x\left| y=2{x}^{2}+1\right.\right\}$ ；

③ $\left\{ x\left| x=\frac{1-{\left( -1\right)}^{n}}{2},n\in N\right.\right\}=\left\{ x\left| -1<x<2,x\in N\right.\right\}$ ；

④ $\left\{ \left( x,y\right)\left| y=\sqrt{x-1}+\sqrt{1-x}\right.\right\}=\left\{ 0,1\right\}$

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

答案与解析

解析

①实数平方非负， $x^2+1=0$ 无解。另一边要求 $x>-2$ 且 $x<-3$ ，也无解，两边同为空集，正确。

②左边输出满足 $y=2x^2+1\ge1$ ；任取 $u\ge1$ ，可由 $x=\sqrt{(u-1)/2}$ 实现，故左边恰为 $[1,+\infty)$ 。右边输入为任意实数，例如 $0$ 在右边而不在左边，错误。

③自然数 $n$ 为偶数给输出 $0$ ，为奇数给 $1$ ； $n=0,1$ 分别实现两值，故左边是 $\{0,1\}$ 。右边满足 $-1<x<2$ 的自然数也正好是 $0,1$ ，正确。

④两个根号要求 $x\ge1$ 且 $x\le1$ ，得 $x=1,y=0$ 。左边为单点集 $\{(1,0)\}$ ，不是右边的数集 $\{0,1\}$ ，错误。

本题结论

①③正确，共 2 个，选 C。

例题 02 不同生成式可以产生同一范围

题目

下列各组中的 $M$ 、 $P$ 表示同一集合的个数是（）

① $M=\left\{ 3,-1\right\}$ ， $P=\{(3,-1)\}$ ；

② $M=\{(3,1)\}$ ， $P=\{(1,3)\}$ ；

③ $M=\left\{ y\mid y={x}^{2}-1\right\}$ ， $P=\left\{ t\mid t=\sqrt{x}-1\right\}$

④ $M=\left\{ y\mid y={x}^{2}-1\right\}$ ， $P=\left\{ (x,y)\mid y={x}^{2}-1\right\}$ .

A． $0$ B． $1$ C． $2$ D． $3$

答案与解析

解析

①左边有 $3,-1$ 两个数，右边只有点 $(3,-1)$ ，不相等。②两个单点集对应坐标不同，不相等。

③对 $M$ ，平方非负给下界 $-1$ ；任取 $u\ge-1$ ，选 $x=\sqrt{u+1}$ ，可实现 $x^2-1=u$ ，所以 $M=[-1,+\infty)$ 。对 $P$ ，根号要求 $x\ge0$ ，于是输出也不小于 $-1$ ；任取 $u\ge-1$ ，选 $x=(u+1)^2$ ，则

\sqrt{(u+1)^2}-1=\lvert u+1\rvert-1=u,

最后一步用到 $u+1\ge0$ 。所以 $P=[-1,+\infty)$ ，两边相等。两端点都能由输入 $0$ 实现。

④左边收输出数，右边收完整点，例如 $-1$ 是左边成员， $(0,-1)$ 是右边成员，不能混同。

本题结论

只有③相等，共 1 组，选 B。

例题 03 原分母限制与变量改名

题目

下列每组集合是相等集合的是（）

A． $A=\left\{ x\in N\left| \left| x\right|\le 2\right.\right\}$ ， $B=\left\{ x\in Z|\left| x\right|\le 2\right\}$ B． $A=\left\{ \left( x,y\right)|y=x\right\}$ ， $B=\left\{ x|y=x\right\}$

C． $A=\left\{ x|y=x\right\}$ ， $B=\left\{ x\left| y=\frac{{x}^{2}}{x}\right.\right\}$ D． $A=\left\{ x|x>0\right\}$ ， $B=\left\{ y|y>0\right\}$

答案与解析

解析

A 左边自然数满足绝对值不超过 $2$ ，为 $\{0,1,2\}$ ；右边整数还含 $-2,-1$ ，不相等。B 左边是点集，右边是数集，不相等。C 左边允许所有实数，右边分母是 $x$ ，必须排除 $0$ ；约分不能恢复非法输入，故不相等。D 中 $x,y$ 只是成员名字，两边都收集全部正实数，故相等。

本题结论

选 D。

2. 按符号区分整体身份与内部成员

$S\in T$ 把 S 作为完整对象，与 T 的外层各成员比较； $S\subseteq T$ 则逐个检查 S 内部成员。空集真包含还须外集合非空。数外层成员时，不继续拆进成员内部，避免把“成员本身为空”误作“外层也空”。

已知六个关系式① $\varnothing \in \{\varnothing \}$ ；② $\varnothing {\subset }_{\ne }\{\varnothing \}$ ；③ $\{0\}{\supset }_{\ne }\varnothing$ ；④ $0\notin \varnothing$ ；⑤ $\varnothing =\{0\}$ ；⑥ $\varnothing \ne \{\varnothing \}$ ，它们中关系表达正确的个数为（）

A．3 B．4 C．5 D．6

答案与解析

解析

①右边唯一成员就是空集，真。②空集包含于任何集合，而右边有一个成员，与空集不同，故真包含成立。③ $\{0\}$ 非空，真包含空集，真。④空集无成员， $0$ 不属于它，真。⑤一边无成员，一边有一个数，不相等，假。⑥一边无成员，一边有一个集合对象，不相等，真。

因此①②③④⑥共五式正确。题中带“不等”下标的包含符号表示真包含，与 $\subsetneq,\supsetneq$ 同义。A、B 少计，D 多计了⑤。

本题结论

选 C，共 5 个。

3. 从任意成员证明包含，另给严格性的见证

有限集列全，条件集任取成员推出目标条件。要真包含，再给外集合一个内部没有的对象。生成式换参数时核对整数或正整数范围；几何集合用定义和合法反例，不按示意图比例判断。两方向均失败时明确写互不包含。

例题 05 数集、图形与整数生成式

题目

指出下列各对集合之间的关系.

(1) $A=\{-1,1\}$ ， $B=\{(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)\}$ ；

(2) $A=\{x\mid-1<x<4\}$ ， $B=\{x\mid x-5<0\}$ ；

(3) $A=\{x\mid x\text{是等边三角形}\}$ ， $B=\{x\mid x\text{是等腰三角形}\}$ ；

(4) $M=\{x\mid x=2n-1,n\in\mathbb N^*\}$ ， $N=\{x\mid x=2n+1,n\in\mathbb N^*\}$ ；

(5) $A=\{x\mid x=2a+3b,a\in\mathbb Z,b\in\mathbb Z\}$ ， $B=\{x\mid x=4m-3n,m\in\mathbb Z,n\in\mathbb Z\}$ .

答案与解析

解析

（1） $A$ 收两个数， $B$ 收四个完整点。 $1\in A$ 却不是 $B$ 中的点，故 $A\nsubseteq B$ ； $(-1,-1)\in B$ 却不是 $A$ 中的数，故 $B\nsubseteq A$ 。两边互不包含。

（2） $B$ 的条件等价于 $x<5$ 。任取 $-1<x<4$ ，必有 $x<5$ ，所以 $A\subseteq B$ ；又 $4\in B$ 、 $4\notin A$ ，故 $A\subsetneq B$ 。

图中三处空心点分别排除 $-1,4,5$ 在对应区间中的端点归属； $B$ 向左没有下界，不能把图面左端当作边界。包含结论由上述任意成员推理保证，不依赖图的比例。同样，韦恩图区域的面积或圆的大小不代表成员个数。

（3）采用“至少两边相等”的等腰定义，任何等边三角形当然是等腰三角形。边长 $3,3,4$ 为正，且两边之和均大于第三边，能组成非退化等腰三角形，却不等边，故 $A\subsetneq B$ 。

（4）任一 $N$ 成员写成 $2n+1=2(n+1)-1$ ，其中 $n+1$ 仍为正整数，因此在 $M$ 中。 $M$ 用 $n=1$ 产生 $1$ ； $N$ 若产生 $1$ 必须取 $n=0$ ，不合法。因此 $N\subsetneq M$ 。

（5）任一 $2a+3b$ 都是整数，故 $A\subseteq\mathbb Z$ ；任取 $k\in\mathbb Z$ ，选择 $a=-k,b=k$ ，便有 $2a+3b=k$ ，故 $\mathbb Z\subseteq A$ 。同理 $B\subseteq\mathbb Z$ ；取 $m=n=k$ ，得到 $4m-3n=k$ ，反向也成立。所以 $A=B=\mathbb Z$ 。这同时覆盖负整数、零和正整数。

本题结论

（1）互不包含；（2）（3） $A\subsetneq B$ ；（4） $N\subsetneq M$ ；（5） $A=B=\mathbb Z$ 。

4. 从子集定义列出全部可能

按子集所含成员数分层列举，必须包括一个也不选的空集和全部选入的自身。n 个不同成员各有选或不选两种状态，所以有 $2^n$ 个子集；仅问“一个子集”时则不必列全。下题同时展示数量判断与题目措辞的边界。

例题 06 题干中的“子集”与“全部子集”

题目

集合 $M=\left\{ 0,1,2\right\}$ 的子集为（）

A． $\left\{ 0\right\},\left\{ 1\right\},\left\{ 2\right\}$ B． $\left\{ 0\right\},\left\{ 1\right\},\left\{ 2\right\},\left\{ 1,2\right\}$

C． $\left\{ 0\right\},\left\{ 1\right\},\left\{ 2\right\},\varnothing$ D． $\left\{ 0\right\},\left\{ 1\right\},\left\{ 2\right\},\left\{ 1,2\right\},\left\{ 0,1\right\},\left\{ 0,2\right\},\left\{ 0,1,2\right\},\varnothing$

答案与解析

解析

按成员个数列出：零元子集为 $\varnothing$ ；一元子集为 $\{0\},\{1\},\{2\}$ ；二元子集为 $\{0,1\},\{0,2\},\{1,2\}$ ；三元子集为 $M$ 。共 $1+3+3+1=8=2^3$ 个。

若按资料解析意图“列出全部子集”，只有 D 完整，A、B、C 都有遗漏。不过原题只写“子集为”，没有写“所有子集”；A、B、C 中列出的每个集合也确实都是子集。不能将它们解释成不是子集，此处保留措辞缺口，并区分题意与数学事实。

本题结论

按“列全全部子集”的意图选 D；原题措辞未明确“全部”。