两点分布与指示变量

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把一个事件发生记为1，否则记为0，就把复杂样本空间压缩成一个“是否”的数值记录。底层结果可以很多，记录值只有两个。

知识点

给事件 $A$ 定义 $I_A=1$ 当且仅当 $A$ 发生，否则 $I_A=0$ 。两分支必须分别是发生与不发生，不能把同一条件写在两行。因为每个结果恰属于 $A$ 或其对立事件之一，赋值单值且覆盖全空间。设 $p=P(A)$ ，则

$I_A$	0	1
概率	$1-p$	$p$

这叫0—1分布、伯努利分布，本页也称两点分布。 $0\le p\le1$ ；内点两值均正概率，端点退化成常量。成功事件可包含多个样本点，不要求整个试验只有两个结果；0和1只是记录标签，不表示等概率。

若 $X$ 取不同实数 $u,v$ ，令 $I=1$ 表示 $X=v$ ，则 $X=u+(v-u)I$ ，反过来 $I=(X-u)/(v-u)$ 。除法要求 $u\ne v$ 。原变量未必取0、1，不能未经变换就如此称呼；若 $u=v$ ，本身就是常量。

$E(I)=0(1-p)+1p=p$ ，且每次都有 $I^2=I$ ，故 $E(I^2)=p$ ， $D(I)=p-p^2=p(1-p)$ 。也可按偏差算 $p^2(1-p)+(1-p)^2p=p(1-p)$ 。

p(1-p)=\frac14-\left(p-\frac12\right)^2.

所以在固定0、1尺度下，越靠近 $1/2$ 波动越大，最大方差 $1/4$ 在 $p=1/2$ 达到；端点方差0。一般二值变量满足

E(X)=u+(v-u)p,\qquad D(X)=(v-u)^2p(1-p).

$u=v$ 时方差仍为0，但不再有两个不同值。不同尺度不能只比较 $p$ 。总个数可写成指标之和， $E(\sum I_i)=\sum P(A_i)$ 无需独立；方差求和则要核交叉项。

先写明哪件事记1。若 $p$ 放在0下面，则取1概率为 $1-p$ ，不是 $p$ 。已有一项用补集，含参先解概率和1，再核每项非负。一般允许端点，只有明确要求两种值都有正概率时才限制为内点。

题目

若随机变量X服从两点分布， $P\left( X=1\right)=0.33$ ，则 $P\left( X=0\right)=$ （）

A．0.5 B．0.57 C．0.67 D．0.77

答案与解析

解析

事件 $X=0$ 与 $X=1$ 互斥且完整，故 $P(X=0)=1-0.33=0.67$ ，选C。两种记录值不代表两种事件等概率，A的0.5没有根据；B、D也不满足概率和1。

本题结论

C，0.67。

题目

已知随机变量 $X$ 服从两点分布，且 $P\left( X=0\right)=2{a}^{2}$ ， $P\left( X=1\right)=a$ ，那么 $a=$ ______。

答案与解析

解析

由归一得 $2a^2+a=1$ ，即 $(2a-1)(a+1)=0$ 。候选为 $a=1/2$ 或 $-1$ 。由于 $a$ 本身是概率，须非负，排除 $-1$ ；代入 $a=1/2$ 得两个概率都 $1/2$ ，合法。

一般概率可以等于0，本题的正值是方程与非负共同筛出的，不是从“两点”一词擅加严格正。

本题结论

a=1/2。

同在 $[0,1/2]$ ，概率增大则方差增大；同在 $[1/2,1]$ ，概率增大则方差减小；跨越两侧时比到 $1/2$ 的距离。也可作差

p_1(1-p_1)-p_2(1-p_2)=(p_1-p_2)[1-(p_1+p_2)].

逐一判两因子符号，并检查严格不等式是否因端点或对称而变成等号。

题目

已知随机变量 ${ξ}_{i}$ 服从两点分布，且 $P\left( {ξ}_{i}=1\right)={p}_{i}(i=1,2)$ ，若 $\frac{1}{2}<{p}_{1}<{p}_{2}<1$ ，则下列判断正确的是（）

A． $E\left( {ξ}_{2}\right)<D\left( {ξ}_{2}\right)$ B． $E\left( {ξ}_{1}\right)>E\left( {ξ}_{2}\right)$

C． $E\left( {ξ}_{1}\right)<D\left( {ξ}_{1}\right)$ D． $D\left( {ξ}_{1}\right)>D\left( {ξ}_{2}\right)$

答案与解析

解析

均值分别为 $p_1,p_2$ ，所以 $E(\xi_1)<E(\xi_2)$ ，B错误。对每个 $i$ ， $p_i>0$ 且 $1-p_i<1$ ，故 $E(\xi_i)=p_i>p_i(1-p_i)=D(\xi_i)$ ，A、C错误。

方差之差为 $(p_1-p_2)[1-(p_1+p_2)]$ ，两个因子均负，所以差正，D正确。题给两者都大于 $1/2$ 是关键，不能仅凭 $p_1<p_2$ 在任意区间推出这一方差顺序。

本题结论

D。