相关系数：中心化、总和式与抽样衔接

约 3196 字大约 11 分钟

先核配对和非恒定条件，再计算三项中心化和。相关系数描述线性关联，抽样估计还要独立核权重。

知识点

定义、正分母与解释

给定 $n$ 对数据， $\bar x=\sum x_i/n$ 、 $\bar y=\sum y_i/n$ ；中心化是各列减自己的均值， $X_i=x_i-\bar x$ 、 $Y_i=y_i-\bar y$ 。记

S_{xx}=\sum X_i^2,\quad S_{yy}=\sum Y_i^2,\quad S_{xy}=\sum X_iY_i,\qquad r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}}.

要求 $n\ge2$ 且两列分别不全相等，即 $S_{xx}>0,S_{yy}>0$ 。任一列恒定或仅有一对观测，分母0， $r$ 未定义，不赋值为0或正负1。

中心化比较同一对象相对各自常态的偏差，同号乘积正、异号负；分母再消去正单位缩放，使 $r$ 无量纲。 $r$ 正负给线性方向， $|r|$ 近1说明样本线性关联强；零仅表示中心化积和0，不证明独立或无曲线关联。0.8等强弱阈值是题给约定或经验口径，非各学科普适定理；样本系数也不证明总体相关已被精确测定。

原始总和式逐项推导

由 $\sum x_i=n\bar x$ ，

\begin{aligned} S_{xx}&=\sum(x_i^2-2x_i\bar x+\bar x^2)\\ &=\sum x_i^2-2\bar x\sum x_i+n\bar x^2=\sum x_i^2-n\bar x^2,\\ S_{yy}&=\sum y_i^2-n\bar y^2,\\ S_{xy}&=\sum x_iy_i-\bar y\sum x_i-\bar x\sum y_i+n\bar x\bar y\\ &=\sum x_iy_i-n\bar x\bar y. \end{aligned}

$S_{yy}$ 用同样平方展开将 $x$ 换 $y$ 即得。于是

r=\frac{\sum x_iy_i-n\bar x\bar y}{\sqrt{(\sum x_i^2-n\bar x^2)(\sum y_i^2-n\bar y^2)}}.

每个均值扣项在总和外只扣一次。若误写 $\sum(x_i^2-n\bar x^2)$ ，会扣成 $n^2\bar x^2$ ，并非展开结果；未中心化的积和除原点平方和，也不是本定义。三项和算完再开根近似，负“平方和”先查录入与舍入，不能承认作合法结果。

写法	适合信息	相同前提
列偏差平方、偏差乘积	均值容易、原数据较少	同批对象配对、两列非恒定
原始平方和与积和	已给汇总量	仍先减均值扣项、正分母

抽样估计与关联分析衔接

抽样估计用部分观测推总体，相关分析描述同对象两列样本变量。这两步不能混成总体真值或因果保证。先核抽样单位、总体单位、不同变量，再按题定规则估计，写估计值及单位。

相关信息可作为分层依据：按已知相关变量将总体分层，再各层内随机抽取。比例分配可保持层结构；非比例分配时，按总体层权重 $N_h/N$ 合并层均值，不能把所有样本等权平均。不知道层规模就不编分层总量。改进效果还取决于分层依据、层内差异、实际实施，不保证每次估计更近真值。

考点

五步计算与结果核对

核同一对象或年份配对和样本量，不能两列独立排序。实际年份统一减常数后，均值同减常数，偏差不变，故 $r$ 不变。
各自总和除 $n$ 得两均值，不共用均值，暂不粗舍入。
每对列两偏差平方和乘积，分别累加三项；乘积可负，平方不能负。给汇总量则用展开式。
核两平方和都正；否则在此停止，不对0分母硬约分。
最后代入、核 $-1\le r\le1$ 、解释符号和绝对值并取近似，保持样本与未来总体的范围界线。

例题 01 接待人数与年份编号

题目

某景区对2017-2022年景区内农家乐接待人数（单位：万人）进行了统计，得到数据如下表：

\begin{array}{c|cccccc} \text{年份} & 2017 & 2018 & 2019 & 2020 & 2021 & 2022 \\ \text{年份编号}x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \text{接待人数}y\text{万人} & 4.5 & 5.6 & 6.1 & 6.4 & 6.8 & 7.2 \end{array}

则接待人数与年份的相关系数约为（）（参考数据： $\sqrt{322}\approx 17.94$ ）

A．0.65 B．0.71 C．0.89 D．0.97

答案与解析

解析

两均值为3.5、6.1，按同一年份列出：

编号	$x_i-\bar x$	$y_i-\bar y$	偏差乘积
1	-2.5	-1.6	4
2	-1.5	-0.5	0.75
3	-0.5	0	0
4	0.5	0.3	0.15
5	1.5	0.7	1.05
6	2.5	1.1	2.75

两偏差平方和 $6.25+2.25+0.25+0.25+2.25+6.25=17.5$ ， $2.56+0.25+0+0.09+0.49+1.21=4.6$ ；乘积和8.7。均为合法非恒定列，

r=\frac{8.7}{\sqrt{17.5\times4.6}}=\frac{17.4}{\sqrt{322}}\approx0.9697,

选D。实际年份为编号加2016，均值也加2016，偏差全相同，所以不改 $r$ 。结论限这六年样本强正线性关联，不保证随后增长。

本题结论

D（约0.97）

例题 02 从平方和与积和计算

题目

为考察两个变量 $x$ ， $y$ 的相关性，搜集数据如表，则两个变量的线性相关程度（）

\begin{array}{c|ccccc} x & 5 & 10 & 15 & 20 & 25 \\ y & 103 & 105 & 110 & 111 & 114 \end{array}

（参考数据： $\sum _{i=1}^{5} {x}_{i}^{2}=1375$ ， $\sum _{i=1}^{5} {y}_{i}^{2}=59051$ ， $\sum _{i=1}^{5} {x}_{i}{y}_{i}$ $=8285$ ）

A．很强 B．很弱 C．无相关 D．不确定

答案与解析

解析

$\bar x=75/5=15$ ， $\bar y=543/5=108.6$ ，

S_{xx}=1375-5\times15^2=250,

S_{yy}=59051-5\times108.6^2=81.2,

S_{xy}=8285-5\times15\times108.6=140.

两平方和正，故 $r=140/\sqrt{250\times81.2}=140/\sqrt{20300}\approx0.9826$ ，正且绝对值很近1，选A。每个均值扣项只出现一次；较大平方和相减前过早舍入均值，可能放大误差。

本题结论

A（很强）

在一组样本数据 $\left( {x}_{1},{y}_{1}\right)$ 、 $\left( {x}_{2},{y}_{2}\right)$ 、 $\cdots$ 、 $\left( {x}_{n},{y}_{n}\right)\left( n\ge 2\right)$ 、 ${x}_{1}$ 、 ${x}_{2}$ 、 $\cdots$ 、 ${x}_{n}$ 不全相等）的散点图中，若所有的样本点 $\left( {x}_{i},{y}_{i}\right)\left( i=1,2,\cdots ,n\right)$ 都在直线 $y=-2x+1$ 上，则这组样本数据的相关系数为（）

A． $2$ B． $-2$ C． $-1$ D． $1$

答案与解析

解析

逐对有 $y_i=-2x_i+1$ ，平均也有 $\bar y=-2\bar x+1$ ，相减得 $y_i-\bar y=-2(x_i-\bar x)$ 。于是

S_{xy}=-2S_{xx},\quad S_{yy}=4S_{xx}.

原条件 $x_i$ 不全相等确保 $S_{xx}>0$ ，故两列都有正平方和，

r=\frac{-2S_{xx}}{\sqrt{4S_{xx}^2}}=\frac{-2S_{xx}}{2S_{xx}}=-1,

选C。斜率-2的大小被标准化抵消， $r$ 不是斜率。若所有 $x_i$ 相同，则两列恒定，不能以“点都在线上”便照搬-1。

本题结论

C（-1）

例题 04 地块调查与鸟数估计

题目

广阳岛，作为长江上游最大的江心岛，其面积在枯水期约为10平方公里.自2017年起，重庆市开始对广阳岛进行系统的生态修复，摒弃了曾经的商业开发计划，转而建设“长江风景眼，重庆生态岛”.经过数年的努力，广阳岛的生态得到了显著的改善，不仅植被丰富，生物多样性也得到了极大的提升.据监测，岛上的鸟类从生态修复前的124种增加到213种，其中包括中华秋沙鸭、游隼、白琵鹭等珍稀鸟类.为调查广阳岛某种鸟的数量，将其分成面积相近的50个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取5个作为样区，调查得到样本数据 $\left( {x}_{i},{y}_{i}\right)\left( i=1,2,\cdot \cdot \cdot ,5\right)$ ，其中 ${x}_{i}$ 和 ${y}_{i}$ 分别表示第 $i$ 个样区的植被覆盖面积（单位：平方公里）和这种鸟的数量.

\begin{array}{c|ccccc} i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ {x}_{i} & 0.171 & 0.152 & 0.192 & 0.189 & 0.196 \\ {y}_{i} & 12 & 10 & 16 & 14 & 18 \end{array}

(1)求广阳岛这种鸟数量的估计值（这种鸟数量的估计值等于样区这种鸟数量的平均数乘以地块数）；

(2)求样本 $\left( {x}_{i},{y}_{i}\right)\left( i=1,2,\cdot \cdot \cdot ,5\right)$ 的相关系数（精确到0.01）；

(3)根据统计资料，各地块间植物覆盖面积差异较大.为提高样本的代表性以获得广阳岛这种鸟数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.

附：相关系数 $r=\frac{\sum _{i=1}^{n} \left( {x}_{i}-\overline{x}\right)\left( {y}_{i}-\overline{y}\right)}{\sqrt{\sum _{i=1}^{n} {\left( {x}_{i}-\overline{x}\right)}^{2}\sum _{i=1}^{n} {\left( {y}_{i}-\overline{y}\right)}^{2}}}$ ， $\overline{x}=0.18$ ， $\sqrt{\sum _{i=1}^{5} {\left( {x}_{i}-\overline{x}\right)}^{2}\sum _{i=1}^{5} {\left( {y}_{i}-\overline{y}\right)}^{2}}\approx 0.232$ .

答案与解析

解析

（1）单位是地块，不是鸟类种数；总体50地块，五样区鸟数和70，平均14只。按题给估计规则，估计总量 $14\times50=700$ 只，并非已逐块清点的真值。

（2） $\bar x=0.18,\bar y=14$ ，保持同地块配对：

样区	覆盖面积偏差	鸟数偏差	乘积
1	-0.009	-2	0.018
2	-0.028	-4	0.112
3	0.012	2	0.024
4	0.009	0	0
5	0.016	4	0.064

积和0.218，两平方和0.001346、40，都正； $r=0.218/\sqrt{0.001346\times40}$ ，按题给近似根0.232， $r\approx0.94$ 。这五样区显示强正线性关联，不证明覆盖面积唯一决定鸟数。

（3）按已知植被覆盖面积把50个地块分层，各层内随机抽取，让不同覆盖情形进入样本；比极小简单随机样本可能集中一种情形更有设计上的理由。按各层地块数比例分配可保持总体层结构；非比例分配须用 $N_h/50$ 加权各层样本均值，再乘50估计总量，不直接等权平均所有样区。

题未给各层规模，不能虚构新分层估计，更不能保证每次误差比700小。五对样本的强关联也不足以证明所有地块鸟数差异一定大或分层必然提高每次精度，实际效果还取决于层内差异及抽样实施。

本题结论

（1）估计700只；（2）约0.94；（3）按覆盖面积分层并层内随机抽样，合并时核总体层权重。