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外观

定义替换与折线路径最小值

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先得到所有合法点都满足的界，再证明等号位置真能在曲线上出现。

一、知识点 理解概念

1. 换成准线垂距，才有折线模型

当 PP 确在抛物线上，PFPF 才等于到准线 ll 的垂距 PDPD。右开口 y2=2pxy^2=2px，p>0p>0、x≥0x\ge0 时为 x+p/2x+p/2；其他方向用对应范围与非负焦半径。普通定点距离不自动等于焦半径。

若题中另一条线与准线平行，两垂距之差可能是加或减固定间距，也可能因点换侧而不能用同一符号；先用坐标范围核相应绝对值。

2. 距离和是整体折线路径，不是分别最小

对固定点 AA，PA+PF=PA+PD≥AD≥d(A,l)PA+PF=PA+PD\ge AD\ge d(A,l)。这里 DD 是 PP 到准线的垂足。要取等号，须 DD 也是 AA 到准线的垂足，且 PP 在闭线段 ADAD 上并在曲线上，折线不回折。

若是 PF+d(P,L)PF+d(P,L)，LL 必为有效直线。设 HH 是 PP 的垂足，KK 是 FF 到 LL 的垂足，则

PF+PH≥FH≥FK=d(F,L).PF+PH\ge FH\ge FK=d(F,L).

等号须 H=KH=K 且 PP 在闭线段 FKFK 上并在曲线上。若 F∈LF\in L 则 F=KF=K，等号只可能 P=FP=F，但焦点不在真抛物线上，所以该零下界不可达。不能仅得到下界就宣布最小，也不能分别取两项各自最小值后相加。

二、考点 方法与例题

1. 等号反构：垂足、线段、曲线三者都要核

先写焦准配置并确认点在曲线上，利用实际范围将焦半径或平行线距离换成一阶式。求坐标/轴距时区分准线与轴的固定间距，完整原题见焦半径与轴距。

求最值时先作全体合法点的整体下界，再计算相应垂足和垂线与曲线的实际交点，检查交点是否在所需闭线段中。只有不回折且曲线条件成立，才宣布达到；若几何等号不可取，改用距离平方或其他方法重新求真实最值，而非把普通下界冒充答案。

例题 01 动点到两条直线的距离和

已知直线l1:3x−4y−6=0{l}_{1}:3x-4y-6=0和直线l2:y=−2{l}_{2}:y=-2，抛物线x2=4y{x}^{2}=4y上一动点PP到直线l1{l}_{1}、直线l2{l}_{2}的距离之和的最小值是（    ）

A．2 B．3 C．115\frac{11}{5} D．4

答案与解析

x2=4yx^2=4y 的焦点 F=(0,1)F=(0,1)、准线 l:y=−1l:y=-1，曲线上 y≥0y\ge0。到 l2:y=−2l_2:y=-2 与 l:y=−1l:y=-1 的距离分别 d2=y+2d_2=y+2、d=y+1d=y+1，故 d2=d+1=PF+1d_2=d+1=PF+1，这里加1由点同在两线的上方保证。

到 l1:3x−4y−6=0l_1:3x-4y-6=0 的垂距记 d1d_1。焦点到 l1l_1 的距离为

d(F,l1)=∣3⋅0−4⋅1−6∣32+(−4)2=2.d(F,l_1)=\frac{|3\cdot0-4\cdot1-6|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=2.

因此所有曲线点均满足 d1+d2=d1+PF+1≥2+1=3d_1+d_2=d_1+PF+1\ge2+1=3。

还必须实际找等号点。FF 到 l1l_1 的垂足为 K=(6/5,−3/5)K=(6/5,-3/5)，可核 3xK−4yK−6=03x_K-4y_K-6=0，K−F=(6/5,−8/5)K-F=(6/5,-8/5) 与法向量 (3,−4)(3,-4) 平行。线段 FKFK 上点写

P(t)=(6t/5,1−8t/5),0≤t≤1.P(t)=(6t/5,1-8t/5),\qquad0\le t\le1.

代 x2=4yx^2=4y 得 9t2+40t−25=09t^2+40t-25=0，两根为 5/95/9、−5-5，仅 t=5/9t=5/9 在线段中，得 P′=(2/3,1/9)P'=(2/3,1/9)。此时 PF=10/9PF=10/9，到 l1l_1 距离 8/98/9，到 l2l_2 距离 19/919/9，目标为3。

故全局下界真实达到，最小值 3，选B。A与C低于已证下界，D高于已达值。原图中普通 PP 与等号点 P′P' 不同，不能将任意图示点都当等号点。

准线替换与最短折线路径的原解图
准线替换与最短折线路径的原解图

三、坑点 辨析与纠错

1. 曲线外点不能用定义偷换距离

替换焦半径前先核曲线条件。换一条平行线后，固定间距是加是减须由实际半平面决定；不能仅看线画在纸上的上下位置。

2. 最短路径还要落在可选曲线点上

点共线不够，次序须使折线不回折，且交点确在曲线上。若垂线与曲线无交点，或交点不在所需线段中，这个几何等号不能取。保留必要性与实际取点的证明，不拿示意图代替联立检验。