裂项相消：系数、下标步长与最后端点

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裂项先要恒等，再看正负项能否对齐。分母的数值差决定系数，裂出数列的下标步长决定保留多少端点，这两件事不能混记。

一、知识点概念与依据

1. 通分回验，确定裂项系数

若u、u+h非零且h≠0，则

\frac1u-\frac1{u+h}=\frac{h}{u(u+h)},\qquad \frac1{u(u+h)}=\frac1h\left(\frac1u-\frac1{u+h}\right).

系数来自分母数值差h，不来自下标差。若分子为常数K，则系数为K/h；更一般可先设A，通分后令Ah与目标分子相等。看见分母乘积，只是尝试拆差的提示，不是已经证明恒等。

2. 相邻相消与隔步相消，端点不同

若bⱼ=cⱼ−cⱼ₊₁，展开得

\sum_{j=1}^n b_j=(c_1-c_2)+(c_2-c_3)+\cdots+(c_n-c_{n+1})=c_1-c_{n+1}.

中间每项恰好一正一负。一般正整数步长s满足

\sum_{j=1}^n(c_j-c_{j+s})=\sum_{j=1}^s c_j-\sum_{j=n+1}^{n+s}c_j.

可将两段求和分别看作同一前缀和的差证明。n<s时右边两区间有重叠，重叠项继续相消，公式仍成立，不要假定两组端点互不相交。所有出现的c下标都必须有定义。

3. 数值差与下标差分列检查

原式	裂项	c列的步长与保留端点
$1/[j(j+2)]$	$\tfrac12(1/j-1/(j+2))$	cⱼ=1/j，步长2，前后各2项，重叠再消
$1/[(2j-1)(2j+1)]$	$\tfrac12[1/(2j-1)-1/(2j+1)]$	cⱼ=1/(2j−1)，步长1，前后各1项

两式的分母数值差均为2，系数都为1/2，但相消端点数不同。对j=1,…,n，第二式的和为 $\tfrac12[1-1/(2n+1)]$ ；第一式的和为 $\tfrac12[1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)]$ ，n=1时中间的1/2正负抵消。

4. 根式与三因子也能拆成差

对正整数j，分母均合法，乘共轭式得

\frac1{\sqrt{j+1}+\sqrt j}=\sqrt{j+1}-\sqrt j,

因为两平方之差为1。三因子式可拆成

\frac1{j(j+1)(j+2)}=\frac12\left[\frac1{j(j+1)}-\frac1{(j+1)(j+2)}\right].

通分后右侧分子为[(j+2)−j]/2=1，系数成立。之后仍按裂出的数列对齐下标，而非只看原来有几个因子。若拆成和或没有对应的正负项，不会自动相消。

二、考点方法与例题

1. 先确定真实通项与合法倒数

原条件若含未知项作分母，先说明哪些下标非零；换成倒数列时要覆盖全部所需下标。求出原通项后再代入目标乘积，通分确定系数，最后保首尾。

已知数列 $\left\{ {a}_{n}\right\}$ 满足 $\frac{{a}_{n+1}-{a}_{n}}{{a}_{n}}=\frac{{a}_{n+2}-{a}_{n+1}}{{a}_{n+2}}\left( n\in {N}^{*}\right)$ ，且 ${a}_{1}=1,{a}_{2024}=\frac{2}{2025}$ ，则 ${a}_{1}{a}_{2}+{a}_{2}{a}_{3}+\cdots +{a}_{n}{a}_{n+1}=$ （）

A． $\frac{n}{2n+1}$ B． $\frac{n}{n+2}$ C． $\frac{2n}{2n+1}$ D． $\frac{2n}{n+2}$

答案与解析

解析

原等式对所有正整数n成立且有定义，其中aₙ作分母已保证每项非零。因此可整理并除aₙ₊₁：

a_{n+1}\left(\frac1{a_n}+\frac1{a_{n+2}}\right)=2,\qquad \frac1{a_{n+2}}-\frac1{a_{n+1}}=\frac1{a_{n+1}}-\frac1{a_n}.

所以倒数列等差，首项1，第2024项2025/2，公差

d=\frac{2025/2-1}{2024-1}=\frac12.

于是1/aₙ=(n+1)/2，即aₙ=2/(n+1)>0。回核原两边分别为−1/(n+2)，原初值及第2024项也吻合。

目标相邻乘积为

a_ja_{j+1}=\frac4{(j+1)(j+2)}=4\left(\frac1{j+1}-\frac1{j+2}\right).

从j=1加到n，留下首正项1/2与末负项−1/(n+2)，得到

T_n=4\left(\frac12-\frac1{n+2}\right)=\frac{2n}{n+2}.

选D。n=1时实际乘积为2/3，A、B给1/3而不合；C在n=1恰好相同，但n=2给4/5，实际前两项和2/3+1/3=1，因此也不合。不能只靠首项检验就证明整个通式。

本题结论

选D，前n项相邻乘积和为 $\dfrac{2n}{n+2}$ 。

2. 从前和恢复通项，再定位最后分母

先独立核a₁，再作n≥2的前和差。裂项后写出前两项、末两项，按c列下标而不是原分母数值判断端点，最后代入指定n。

例题 02 由前和求倒数乘积和

题目

已知数列 $\left\{ {a}_{n}\right\}$ 的前n项和 ${S}_{n}={n}^{2}$ ，记数列 $\left\{ \frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}\right\}$ 的前n项和为 ${T}_{n}$ ，则 ${T}_{2024}=$ （）

A． $\frac{4047}{4048}$ B． $\frac{2023}{4048}$ C． $\frac{4048}{4049}$ D． $\frac{2024}{4049}$

答案与解析

解析

a₁=S₁=1；n≥2时aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁=n²−(n−1)²=2n−1，代n=1也为1，所以统一为aₙ=2n−1，全部正数。

通分可得

\frac1{a_ja_{j+1}}=\frac1{(2j-1)(2j+1)}=\frac12\left(\frac1{2j-1}-\frac1{2j+1}\right).

定义cⱼ=1/(2j−1)，右边为(cⱼ−cⱼ₊₁)/2，步长1。相消得

T_n=\frac12\left(1-\frac1{2n+1}\right)=\frac{n}{2n+1}.

n=2024时末分母2×2024+1=4049，故T₂₀₂₄=2024/4049，选D。n=1时T₁=1/3也与a₁a₂=3吻合。

A、C均大于1/2，而此和式小于1/2；B的2023/4048与正确值不同，因为2023×4049=8191127，2024×4048=8193152，交叉乘积不等。末负项不能把分母误留为4047。

本题结论

选D， $T_{2024}=\dfrac{2024}{4049}$ 。