幂函数的变化方向、完整值域与图象

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先判合法输入，再研究正侧方向；值域还要回答每一个候选输出能否真正取得。把这些代数事实落实到标准图上，比只背“哪条曲线更弯”更可靠。

一、知识点概念与依据

1. 正半轴的方向由指数符号决定

在 $(0,+\infty)$ ， $x^\alpha$ 在 $\alpha>0$ 时严格递增， $\alpha<0$ 时严格递减， $\alpha=0$ 时恒为1。正指数允许0且 $f(0)=0<f(x)$ （ $x>0$ ），补上0与任意正输入的比较后，在 $[0,+\infty)$ 仍递增；负指数不许把0写进单调区间。

先给有理指数的依据。对正整数 $n$ 及 $0<u<v$ ，

v^n-u^n=(v-u)(v^{n-1}+v^{n-2}u+\cdots+u^{n-1})>0.

两个因子均正，所以正整数幂保序。正 $q$ 次根也保序：若反而 $\sqrt[q]u\ge\sqrt[q]v$ ，再取正整数次幂便推出 $u\ge v$ ，矛盾。先开根再取正整数幂，证明正有理幂递增。负指数写成正幂倒数，若 $r>0$ ，

\frac1{u^r}-\frac1{v^r}=\frac{v^r-u^r}{u^rv^r}>0,

于是负有理幂递减。零指数的两个不同输入给相同输出，不满足任何严格方向。

上述初等证明只覆盖有理指数。任意实指数在正底数上有同样的教材性质；若已学指数、对数，也可用 $x^\alpha=2^{\alpha\log_2x}$ 把方向归结到两个已知单调函数。上述根式推导限于有理指数，无理指数须由实数幂的定义另行建立。

同一指数的两幂值可用同一函数比较输入；若指数不同，不能直接只比较底数，应先换成同一个函数，或用有依据的中间值分别连接。

2. 值域要同时给排除范围与每个输出的原像

在正半轴上，任何非零指数的幂值都正。给任意目标 $y>0$ ，取 $x=y^{1/\alpha}>0$ ，便有 $x^\alpha=y$ ，所以正侧值域恰为 $(0,+\infty)$ 。正指数若接入0，值域接入0；负指数的合法输出是非零幂值的倒数，不能等于0。零指数的值域是 $\{1\}$ 。

以上只说正侧，不等于整个自然域。比如立方还允许负输入与零，倒数还允许负输入；求全域值域必须查这些输入的输出，不能只取第一象限。

自然域中的幂类型	完整值域	取得依据
正奇整数，或正有理指数的最简分子、分母均奇	$\mathbb R$	正目标由正输入取得，负目标用奇性反射，0合法
正偶整数、奇根的正偶次幂、偶根的正幂	$[0,+\infty)$	输出非负，正目标由正输入取得，0合法
负奇整数，或负有理指数的最简分子、分母均奇	$\mathbb R\setminus\{0\}$	正负目标均可取得，倒数不输出0
负偶整数、奇根的负偶次幂、偶根的负幂	$(0,+\infty)$	输出总正，每个正目标均可取得
零指数	$\{1\}$	非零输入处恒为1

负输入的符号依据见实根与奇偶条件：对最简 $p/q$ 且 $q$ 奇， $p$ 奇时换输入符号也换输出符号， $p$ 偶时输出不变。这里不把分子奇偶推广到无理指数。

3. 限定区间先求界，再反解检验取遍

先用自然域筛合法区间。若跨非法点须分支；合法各支求值域后取并。递增时左端对应下界，递减时顺序反过来。有限且合法的端点只有允许输入时，才允许相应输出；趋近0或无穷不是已经取得的输入。

但“上下界之间”不自动等于完整值域。纯幂可反解 $x=y^{1/\alpha}$ ，检验它确落在该支区间；常见有理幂可以直接用根式核验。这也说明中间输出没有遗漏。离散输入则逐个看输出，不能把两端之间全填成连续区间。

若新函数是 $g(x)=(x-c)f(x)$ ，必须先写出 $g$ 并重新判断方向，不能因为 $f$ 递减就把 $g$ 也判减。下面的区间题将同时给作差证明与反解证明。

4. 直线与共同点给明确的图象参照

在第一象限，所有幂函数都过 $(1,1)$ 。正指数还过原点；负指数没有轴上点；零指数是水平线 $y=1$ ，但须去掉 $(0,1)$ 。正侧递增只说明指数正，并不能区分 $1/2$ 与3。

对 $x>0$ 比较直线 $y=x$ ，有

\frac{x^\alpha}{x}=x^{\alpha-1}.

当 $\alpha>1$ ，在 $x>1$ 时比值大于1、曲线在直线上方；在 $0<x<1$ 时比值小于1、曲线在下方。若 $0<\alpha<1$ ，位置反过来； $\alpha=1$ 就是直线。负指数在正侧下降，零指数水平，都与正指数类型不同。

两个不同指数曲线相比较也可看比值 $x^{\alpha-\beta}$ ：在1的两侧，上下次序会互换。先说明比较哪一侧，再读图的曲线编号。对给定标准候选作形状匹配，不从线条粗细、像素斜率或未标坐标猜精确指数；“上凸、下凸”的叫法不替代这些代数依据。

5. 五种标准图：全域、分支与零点一起看

下面原图只示意形状。负侧先看定义域，存在时再按已核奇偶性作轴反射或中心反射，不能任意给正侧曲线添一支。

$y=x$ ：自然域为实数，全域递增。

$y=x^2$ ：自然域为实数，负侧递减，非负侧递增。

$y=x^3$ ：自然域为实数，全域递增。

$y=\sqrt x$ ：自然域 $[0,+\infty)$ ，递增，没有负输入段。

$y=1/x$ ：自然域非零实数，两侧分别递减，不能合称全域递减。

原资料知识表曾把 $1/x$ 正侧列为“增”，应纠正为减：任意 $0<u<v$ 有 $(1/u)-(1/v)=(v-u)/(uv)>0$ 。全域又非递减，因为负输入在前、正输入在后，输出却由负变正；不要把两段结论拼成一段。

若两个幂函数的指数不同， $\alpha\ne\beta$ ，正输入等值时可除正数 $x^\beta$ ，得 $x^{\alpha-\beta}=1$ ；非零指数的正侧严格单调，唯一可能 $x=1$ 。若负侧对两函数都合法，取输出绝对值得 $\lvert x\rvert^\alpha=\lvert x\rvert^\beta$ ，迫使 $\lvert x\rvert=1$ ；还须核 $x=-1$ 时两输出符号一致。

0只有两指数都正时才是公共输入，且都输出0。因此不同幂函数的公共点只能来自 $x=-1,0,1$ ，至多3个，却不一定3个都存在。若指数相同，就是同一个自然域函数，与自己有无限多公共点。原资料没加“两个不同函数”的说法应补足。

二、考点方法与例题

1. 全域值域与限定值域分两步处理

先确认指数、根式口径和合法输入，再按输出符号与是否含0划定可能集合；每类给出反解输入，证明不是只有界。限定区间则重新判目标表达式的各支方向，逐端点核验，再证中间值可达。若问充分必要条件，两个方向分别证明或给反例，不能只看一种正偶指数情形。

2. 图象先域、再符号方向、最后看相对位置

若过点信息充分，先确定指数；候选明确时则区分负、零、介于0与1、等于1、大于1的指数。先查负输入段、零点与输出符号是否合法，再看正侧方向及共同点；然后用与直线或其他曲线在1两侧的关系筛选。最后按奇偶性核负侧。图上空实点不清时，以原式与已标条件为准，不能凭模糊像素补端点。

例题 01 自然域不同的函数能否有相同值域

题目

下列四组函数中，同组两个函数的值域相同的是（）

A． $f\left( x\right)={x}^{2}$ 与 $g\left( x\right)={x}^{3}$ B． $f\left( x\right)={x}^{-1}$ 与 $g\left( x\right)={x}^{-2}$

C． $f\left( x\right)={x}^{\frac{1}{2}}$ 与 $g\left( x\right)={x}^{\frac{2}{3}}$ D． $f\left( x\right)={x}^{-1}$ 与 $g\left( x\right)={x}^{3}$

答案与解析

解析

各函数都按完整自然域比较。除了排除不可能输出，还可逐一给每个目标 $y$ 一个合法原像：

函数	值域	原像核验
$x^2$	$[0,+\infty)$	$y\ge0$ 时取 $x=\sqrt y$
$x^3$	$\mathbb R$	取 $x=\sqrt[3]y$
$1/x$	$\mathbb R\setminus\{0\}$	$y\ne0$ 时取 $x=1/y$
$1/x^2$	$(0,+\infty)$	$y>0$ 时取 $x=1/\sqrt y$
$\sqrt x$	$[0,+\infty)$	$y\ge0$ 时取 $x=y^2$
$x^{2/3}$	$[0,+\infty)$	$y\ge0$ 时取 $x=(\sqrt y)^3$

平方、平方根、奇根的平方不能为负；倒数不能输出0，倒平方更只能输出正数。表中原像均在各自域中，代回确得目标值。

A中平方不能负、立方能，值域不同；B中倒数能负、倒平方不能，也不同；C两函数虽自然域不同，值域却都为非负实数；D中倒数漏0，立方在0处取得0。故只选C。

本题结论

C。

例题 02 指数条件与值域条件的推出关系

题目

已知 $f\left( x\right)={x}^{\alpha }$ 是幂函数，则“ $\alpha$ 是正偶数”是“ $f\left( x\right)$ 的值域为 $\left[ 0,+\infty \right)$ ”的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

答案与解析

解析

先证正向。若 $\alpha=2k$ 、 $k$ 为正整数，任意实输入的偶次幂非负；对每个 $y\ge0$ ，取 $x=\sqrt[2k]y$ 可得 $x^{2k}=y$ ，所以值域恰为 $[0,+\infty)$ ，条件充分。

反向取原资料反例 $f(x)=\sqrt x$ 。其域为非负实数，对任意 $y\ge0$ 取 $x=y^2$ 即取得 $y$ ，值域同样 $[0,+\infty)$ ，指数 $1/2$ 却不是正偶数，故条件不必要。

A吻合；B把两个方向颠倒，C被平方根反例否定，D的不充分说法与正向全称证明冲突。不能从“输出非负”直接省略“全部非负输出可达”。

本题结论

A，充分不必要条件。

例题 03 过点确定函数后的变形区间值域

题目

已知幂函数 $f(x)$ 的图象经过点 $\left( 3,\frac{1}{3}\right)$ ．

（1）求函数 $f(x)$ 的解析式；

（2）设函数 $g(x)=(x-2)\cdot f(x)$ ，求函数 $g(x)$ 在区间 $[\frac{1}{2}$ ， $1]$ 上的值域．

答案与解析

解析

（1）设 $f(x)=x^\alpha$ ， $3^\alpha=1/3=3^{-1}$ ，固定底数幂值唯一对应指数，得 $\alpha=-1$ 。所以 $f(x)=1/x$ ， $x\ne0$ 。

（2） $g(x)=(x-2)/x=1-2/x$ ，原禁值0仍保留，不过题定 $[1/2,1]$ 全部合法。任取 $1/2\le u<v\le1$ ，

g(v)-g(u)=\frac2u-\frac2v=\frac{2(v-u)}{uv}>0.

故 $g$ 递增，与原 $f$ 的递减方向并不相同。两端取得 $g(1/2)=-3,g(1)=-1$ 。

对每个 $y\in[-3,-1]$ ，反解 $x=2/(1-y)$ ；因 $1-y\in[2,4]$ ，所以 $x\in[1/2,1]$ ，代回确输出 $y$ 。这补齐中间值可达，完整值域为 $[-3,-1]$ 。

本题结论

（1） $f(x)=1/x,x\ne0$ ；（2） $[-3,-1]$ 。

例题 04 三条第一象限曲线的候选指数

题目

图中 ${C}_{1}$ 、 ${C}_{2}$ 、 ${C}_{3}$ 为三个幂函数 $y={x}^{\alpha }$ 在第一象限内的图象，则指数 $\alpha$ 的值依次可以是（）

A． $\frac{1}{2}$ ，3， $-1$ B． $-1$ ，3， $\frac{1}{2}$

C． $\frac{1}{2}$ ， $-1$ ，3 D． $-1$ ， $\frac{1}{2}$ ，3

答案与解析

解析

三条曲线都经过 $(1,1)$ ，共同点本身不能区分指数。 $C_1$ 在正侧下降，因此在题给三个候选 $-1,1/2,3$ 中只能对应−1；A、C的第一项是正指数，先排除。

对另两正候选，比较 $x^3/x^{1/2}=x^{5/2}$ 。在 $x>1$ 时大于1，立方曲线较高；在 $0<x<1$ 时小于1，立方曲线较低。原图 $C_3$ 在1右侧高于 $C_2$ 、左侧低于 $C_2$ ，符合 $C_3=x^3,C_2=\sqrt x$ 。B将这两者对换，不合；D全符合。