选择直线方程：点斜、斜截与两点式

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选形式之前先核分母与特殊方向，求出方程后再回验全部条件。

一、知识点理解概念

1. 点斜式的乘法形式保留了基点

过 $P_0(x_0,y_0)$ 、斜率存在且为 $k$ 的直线是

y-y_0=k(x-x_0).

对线上不同于 $P_0$ 的点，非竖直保证 $x\ne x_0$ ，两点斜率给 $(y-y_0)/(x-x_0)=k$ ，乘横差得到上式。基点本身也使等式成立；反过来，满足此式而横坐标为 $x_0$ 时必有 $y=y_0$ ，其余解点与基点的斜率都为 $k$ 。所以等式既补回基点，也不添入别的方向。

水平线允许 $k=0$ ，得到 $y=y_0$ ；竖直线没有有限斜率，须另外写 $x=x_0$ 。一般过一点的全部直线不能只设点斜式。

2. 斜截式中的截距是坐标，不是距离

取基点为 $y$ 轴交点 $(0,b)$ ，点斜式成为 $y=kx+b$ 。一般基点展开则给 $b=y_0-kx_0$ 。

$b$ 是有符号纵坐标，可正、负或零； $b=0$ 时仍是合法斜截式，并不需要直线远离原点。水平直线也适用；竖直线不适用。负坐标代入 $y-y_0$ 时要保留括号，例如 $y_0=-2$ 应写成 $y+2$ 。

3. 两点式：分式有条件，无分母式需另验特例

过不同两点 $P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)$ ，传统分式两点式为

\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1},\qquad x_2\ne x_1,\ y_2\ne y_1.

两个分母都须非零，不能只查横差。更通用的无分母形式为

(y_2-y_1)(x-x_1)-(x_2-x_1)(y-y_1)=0.

横差非零时，由斜率代点斜式并乘横差得到它；再要求纵差非零，才可除出传统分式。横差为零但两点不同时，纵差非零，上式直接给 $x=x_1$ ；纵差为零而横差非零时给 $y=y_1$ 。这两个特例是另行验证，不是允许原分式除以零。

两点重合时所有系数为零，得到恒等式，不再确定一条直线。一个点写两遍不等于给了两个独立的方向条件。

4. 一般式只允许非零整体倍数

将方程整理为 $Ax+By+C=0$ ，须 $A,B$ 不全零。同乘非零常数不改变解点集合，所以一般式没有唯一的系数组；乘零却会使它变成恒等式，丢失原直线。

涉及两轴截距时，还须核交点是否存在、唯一且有限，再决定能否用截距式。截距关系可能包含零，不应仅为形式方便提前删掉这类直线。

二、考点方法与例题

1. 由已知条件选择最少的合法未知系数

一点加有限斜率用点斜式；有限斜率加纵截距用斜截式；两不同点可用无分母两点式；两个有限非零截距可用截距式。给倾斜角先查 $90^\circ$ ，给两点先查横差，含参分母先查零值。需要竖直、水平或零截距分支时先另解，再在其余支设式、代条件、回验所有给定点与方向。

例题 01 一点与倾斜角确定直线

已知直线l倾斜角为 $\frac{2\pi }{3}$ ，且过点 $A(4,1)$ ，则直线l的方程为（）

A． $y-1=-\frac{\sqrt{3}}{3}(x-4)$ B． $y-1=\frac{\sqrt{3}}{3}(x-4)$

C． $y-1=-\sqrt{3}(x-4)$ D． $y-1=\sqrt{3}(x-4)$

答案与解析

$2\pi/3$ 不是竖直角， $k=\tan(2\pi/3)=-\tan(\pi/3)=-\sqrt3$ 。代过 $A(4,1)$ 的点斜式，得 $y-1=-\sqrt3(x-4)$ ，选 C。

四个选项都经过给定点，但只有 C 的斜率是 $-\sqrt3$ 。A 的大小不符；B、D 符号不符。不能把 $120^\circ$ 的方向误作 $60^\circ$ 。

例题 02 一点与纵截距确定直线

过点 $P\left( 1,1\right)$ ，且在 $y$ 轴上的截距为 $2$ 的直线方程为（）

A． $2x+y-2=0$ B． $2x-y+4=0$ C． $x+y-2=0$ D． $x-y+2=0$

答案与解析

纵截距 $2$ 表示直线经过 $Q=(0,2)$ ，不是到 $y$ 轴的距离为 $2$ 。 $P=(1,1)$ 与 $Q$ 横坐标不同，故方向非竖直，允许设 $y=kx+2$ 。

代入 $P$ 得 $1=k+2$ ，所以 $k=-1$ ，方程为 $y=-x+2$ ，即 $x+y-2=0$ ，选 C。回代 $P,Q$ 都成立；其余三式均不能同时经过这两点。

例题 03 从两个坐标点建立方程

经过点 $\left( 1,3\right)$ ， $\left( -2,4\right)$ 的直线方程为（）

A． $x+3y-10=0$ B． $3x+y-10=0$ C． $x-3y+10=0$ D． $3x+y+10=0$

答案与解析

取 $P_1=(-2,4),P_2=(1,3)$ ，横差 $3$ 、纵差 $-1$ 均非零，所以原分式合法：

\frac{y-4}{3-4}=\frac{x+2}{1+2}.

交叉相乘得 $3(y-4)=-(x+2)$ ，展开 $3y-12=-x-2$ ，移项为 $x+3y-10=0$ ，选 A。两个给定点代回均为零；其余选项不能同时经过两点。也可直接代无分母式，结果只差一个非零整体倍数。

2. 一道多问中分别选择形式，截距零支不可省

多问分别读取条件，不把某一问选用的形式当成下一问的前提。要求一般式时展开移项，检查一次项不全为零，并将所有合法特殊分支一并报告。

例题 04 按不同条件求一般式

根据下列条件，写出直线方程的一般式：

(1)经过点 $\left( 0,2\right)$ ，且倾斜角为 $\frac{\pi }{3}$ ；

(2)经过点 $\left( -2,3\right)$ 和点 $\left( -1,0\right)$ ；

(3)经过点 $\left( 2,1\right)$ ，在x，y轴上有相等的截距．

答案与解析

（1）倾斜角 $\pi/3$ 非竖直，斜率 $\sqrt3$ ；已知点在 $y$ 轴上，纵截距为 $2$ 。因此 $y=\sqrt3x+2$ ，一般式为

\boxed{\sqrt3x-y+2=0}.

（2）横差 $-2-(-1)=-1\ne0$ ，斜率为 $3/(-1)=-3$ 。用点 $(-1,0)$ ， $y=-3(x+1)$ ，故

\boxed{3x+y+3=0}.

代另一个点 $(-2,3)$ 得 $-6+3+3=0$ ，验证通过。

（3） “两截距相等”包括两个都为零，需完整分类。

截距都为零时，直线通过原点及 $(2,1)$ ，方向非竖直， $k=1/2$ ，得到 $x-2y=0$ 。
共同截距 $a\ne0$ 时，设 $x/a+y/a=1$ 。代 $(2,1)$ 得 $3/a=1$ ，所以 $a=3$ ，得到 $x+y-3=0$ 。

经过 $(2,1)$ 的水平线与竖直线均不能与两轴各有交点，不另产生满足截距条件的直线。这两类覆盖共同截距为零或非零的全部可能，故

\boxed{x-2y=0\quad\text{或}\quad x+y-3=0}.

前者两截距均零，后者两截距均为 $3$ ，且都经过给定点。所有答案的一次项均不全为零，确实表示直线。