函数值与分段规则：逐次输入、逐段筛选

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函数只识别当前送入的完整数。复合调用一次，就重新检查一次输入；分段求解一支，就将候选与本支范围取交。表格、递归式与现实折线看起来不同，都遵守同一套输入输出规则。

一、知识点概念与依据

1. 先把目标输入与已知括号对齐

已知 $f(u(x))=v(x)$ ，要算 $f(c)$ ，先解 $u(x)=c$ ，检原参数 $x$ 是否允许，再代右侧。若目标不可达，关系不能确定该值；若有多个原输入，它们的右侧值必须一致，否则同一输入出现矛盾输出。

原练习 $f(2x+3)=x^2-x+a$ 且 $f(5)=3$ ，应解 $2x+3=5$ 得 $x=1$ ，于是 $f(5)=1-1+a=a=3$ 。另外三个候选 $a=-3,-17,17$ 均使 $f(5)$ 不为 $3$ 。误代 $x=5$ 制造的是输入 $13$ ，不是目标 $5$ ；这是输入身份错误，不是单纯算术差错。

2. 复合查值，从内到外且每次重查

$f(g(c))$ 先要求 $c\in D_g$ ，算 $t=g(c)$ ，再要求 $t\in D_f$ ，最后算 $f(t)$ 。中间值是下一次的新输入，不沿用初始输入的规则。

列表查值先找输入行的当前值，沿同一列读输出，再在下一张表重新找这个输出所在的输入列。若中间数不在第二表而无其他规则，复合值无定义。完整有限表不补不存在的其他实数输入，也不随意连线。

$f(g(c))$ 与 $g(f(c))$ 的顺序不同，一般不能交换；某个目标偶然相等也不证明全域可交换。解析式代负数、和式时用完整括号；分段式则每次按新输入重判。

3. 分段函数是一套带条件的完整规则

每段都是“式子＋适用条件”，共同定义一个函数。定义域为各段合法输入的并集；每段须先把其范围与本段运算条件取交，不能要求同一输入同时进入所有互斥段。

边界等号归哪段，就由那段给值。若范围重叠，重叠处的输出必须相同，才能满足唯一性；若声称允许某输入，却没有任何合法分支覆盖，就出现定义缺口。段数来自题设，不为方便自行加阈值。

求值域时，先求每段在其实际输入范围内的输出集合，再取并集；不能先求延长公式的全部值域。

分段可表示绝对值、收费、阶段变化等；它成立是因为每个输入仍有唯一输出，不是另立公理，也不要求全域只有一条公式。延长某段的式子，不等于延长该段实际图象。

4. 解方程与不等式：一支内部取交，支间取并

设第 $i$ 段在 $I_i$ 上用 $F_i$ 。求 $f(x)=k$ ，该支贡献的是方程 $F_i(x)=k$ 的代数解与 $I_i$ 的交集；只有两个条件同时成立才算原函数解。未知输入可能在任何一段，须逐段求，最后并起所有合格集合。

$f(x)\le k$ 同理，候选区间先截回本支，不把延长公式的其他解收入。某数在一支不合法，但可能在另一合法支真满足，须按那个实际来源验证，而非借错支保留。

若目标是 $f(u(m))$ ，决定分支的是整个 $u(m)$ 。可先记 $t=u(m)$ ，求合法 $t$ ，再回解 $u(m)=t$ ；内层多对一时可能对应多个 $m$ ，都按原域核验。

5. 作图只画每段范围，端点归属看原式

先确定各段类型和实际范围。直线由明确点定，二次式可配方说明顶点及开口；倒数段先排分母零，只画规定半支。空心点表示该段不取，实心点表示确实取值，坐标轴与网格不计为函数。

两段在同一位置接合时，若前段开、后段闭，整体只保留一个真实点，由后段定义。若边界的延长值不同，就分别保留开端和实际值，不强行连线。原解析图点标不清楚时，正文按题设明确归属，不能用低清图反改公式。

6. 递归调用的有限算值，不是全域存在证明

某分支再次出现 $f$ 时，按当前输入继续展开，直到目标链到达明确的非递归式，再由内向外返回。每一层都重查分段范围，不把初始输入所属支传给后续数。

只成功算出某一个目标，说明这条调用链有值；不能据此宣称所有实数输入都会终止或整个递归关系唯一确定函数。循环关系若没有足够定值条件，需另外检查，不凭形式补答案。

7. 时间集合与持续时长是不同的量

实际模型先标输入、输出、单位和有效范围。给折线及准确点时，每段按两点建一次式；得到满足阈值的时间集合后，才按题意算时长。连通有效区间的时长是结束时刻减开始时刻，不是结束时刻本身。

若时间集合不连通，累计时长与一次连续持续时间不同，要看题目所问。开闭端点由“不少于”“超过”等语句决定；原图的近似药量模型只用于给定数学练习，不被当作真实用药方案。

二、考点方法与例题

方法一：把每次调用写成一行“输入→输出”

先制造目标输入，之后依次查表或判段。中间输入必须合法，负数和和式整体代入；回查每层，不只看最后数值似乎合理。递归只说明已完成的调用范围。

方法二：每段解、每段筛、最后合并

列分段条件和等号归属，解本段公式，再与本段区间相交；所有有效段取并。作图与求解互检端点，但不凭示意图读精确根；应用题最后回到单位和实际问的是时刻还是时长。

例题 01 列表中的四次嵌套调用

题目

已知函数 $f\left( x\right)\text{、}g\left( x\right)$ 列表法表示如下，则下列说法正确的是（）

两张完整函数表，输入均为1、2、3、4；f对应2、3、4、1，g对应2、4、1、3

A． $f\left( f\left( 1\right)\right)=4$ B． $g\left( g\left( 1\right)\right)=1$

C． $f\left( g\left( 1\right)\right)=3$ D． $g\left( f\left( 1\right)\right)=2$

答案与解析

解析

两表的完整输入均为 $1,2,3,4$ 。先读 $f(1)=2,f(2)=3,g(1)=2,g(2)=4$ ，第二次输入都是 $2$ ，确在相应表内。

A： $f(f(1))=f(2)=3$ ，不是 $4$ 。B： $g(g(1))=g(2)=4$ ，不是 $1$ 。C： $f(g(1))=f(2)=3$ ，成立。D： $g(f(1))=g(2)=4$ ，不是 $2$ 。

四次都合法但只有 C 数值相符。不能看到最里面是 $1$ ，就两次都停在输入 $1$ 的列； $f(g(1))$ 与 $g(f(1))$ 在本题甚至分别为 $3,4$ ，顺序不能交换。

本题结论

选 C。

例题 02 重新判段、作图与筛选方程根

题目

已知函数

f\left( x\right)=\left\{ \begin{aligned}-2x+1,x<1\\{x}^{2}-2x,x\ge 1\end{aligned}\right.

(1)求 $f\left( f\left( -3\right)\right)$ ；

(2)画出函数的图象；

(3)若 $f\left( x\right)=3$ ，求 $x$ 的值.

答案与解析

解析

（1）第一次输入 $-3<1$ ，用线性支得 $f(-3)=-2(-3)+1=7$ 。外层输入已是 $7\ge1$ ，改用二次支： $f(7)=49-14=35$ 。若继续用原线性支算出 $-13$ ，错在把输入 $-3$ 的范围误传给 $7$ 。

（2） $x<1$ 画 $y=-2x+1$ 的对应射线，过 $(0,1)$ ，其延长端点 $(1,-1)$ 不属于这段。 $x\ge1$ 画 $y=(x-1)^2-1$ 的右侧部分，从顶点 $(1,-1)$ 起，经过 $(2,0)$ 。

左侧下降直线与右侧开口向上的抛物线部分在(1,−1)接合，辅助线标出顶点，横轴另标2

原解析图保留完整接合形状，接合处没有醒目的另画实点符号；按题设 $x\ge1$ ，整体确实收入 $(1,-1)$ ，由二次支定义。原详解在射线叙述处写 $f(1)=-1$ ，数值恰与整体相同，但不能借此把 $1$ 收进第一段。

（3）在线性支， $-2x+1=3$ 得 $x=-1<1$ ，保留。在二次支， $x^2-2x=3$ 即 $(x-3)(x+1)=0$ ，候选 $3,-1$ ；与 $x\ge1$ 相交只留 $3$ 。

总解 $\{-1,3\}$ 。 $-1$ 在二次支被删，却在真实线性支给值 $3$ ，所以应按合法来源保留。两根分别回其真正分支都成立。

本题结论

（1） $35$ ；（2）图见解析；（3） $x=-1$ 或 $x=3$ 。

例题 03 三段的边界、方程与不等式

题目

已知函数

f\left( x\right)=\left\{ \begin{aligned}\frac{2}{x},x<0,\\-x,0\le x<2,\\\frac{1}{2}{x}^{2}-3x,x\ge 2.\end{aligned}\right.

(1)求 $f\left( 0\right)$ ， $f\left( 2\right)$ 的值；

(2)若 $f\left( m\right)=-1$ ，求 $m$ 的值；

(3)作出函数 $f\left( x\right)$ 的大致图象，并求 $f\left( x\right)\le 8$ 的解集．

答案与解析

解析

（1） $0$ 属中支， $f(0)=0$ ； $2$ 属末支， $f(2)=2^2/2-3\cdot2=-4$ ，不能用中支的延长值 $-2$ 。

（2）未知输入 $m$ 逐段检查：

$m<0$ ： $2/m=-1$ ，乘非零 $m$ 得 $m=-2$ ，符合。
$0\le m<2$ ： $-m=-1$ 给 $m=1$ ，符合。
$m\ge2$ ： $m^2/2-3m=-1$ ，乘正 $2$ 、配方得 $(m-3)^2=7$ ，候选 $3\pm\sqrt7$ 。 $1<\sqrt7<3$ ，故 $3-\sqrt7<2$ 不属末支，删； $3+\sqrt7>2$ 保留。

三合法值为 $-2,1,3+\sqrt7$ ，按各自分支回代都为 $-1$ 。

（3）作图。负支画 $2/x$ 在 $x<0$ 的部分，零处不属于它；中支是 $-x$ 在 $[0,2)$ 的线段， $(0,0)$ 收入、 $(2,-2)$ 不收；末支配方为 $(x-3)^2/2-9/2$ ，仅画 $x\ge2$ ，从 $(2,-4)$ 起，顶点 $(3,-9/2)$ ，在 $x=6$ 过横轴。

负半轴双曲线、从原点到(2,−2)空心端点的下降线段，以及从横坐标2起的二次曲线，标出顶点(3,−4.5)

原图明确画出 $(2,-2)$ 空点和顶点； $(2,-4)$ 的实点标记不清晰，按题设末支包含 $2$ ，正文明确应收入该点。网格仅辅助读数，不是函数图象。

求不等式。负支函数值负，中支不正，两段全满足 $f(x)\le8$ 。末支要求

\frac{x^2}{2}-3x\le8\iff x^2-6x-16\le0\iff(x+2)(x-8)\le0.

得候选 $[-2,8]$ ，交末支 $[2,+\infty)$ 得 $[2,8]$ 。三段合并

(-\infty,0)\cup[0,2)\cup[2,8]=(-\infty,8].

$x=8$ 回末式恰为 $8$ ，收入； $x>8$ 末式超界。负数输入虽在末式候选中，不能借末式解释它的真实函数值。

本题结论

（1） $f(0)=0,f(2)=-4$ ；（2） $m\in\{-2,1,3+\sqrt7\}$ ；（3）图见解析，解集 $(-\infty,8]$ 。

例题 04 含参数的完整输入

题目

设

f\left( x\right)=\left\{ \begin{aligned}-x-4,x\le 0\\x+\frac{1}{x},x>0\end{aligned}\right.

，若 $f(m+1)=2$ ，则 $m=$ （）

A． $0$ 或 $-7$ B． $2$ 或 $5$ C． $1$ 或 $-7$ D． $5$

答案与解析

解析

令实际输入 $t=m+1$ ，按 $t$ 而非 $m$ 分支。

$t\le0$ 时， $-t-4=2$ ，得 $t=-6$ ，符合本支，于是 $m=-7$ 。 $t>0$ 时， $t+1/t=2$ ，乘非零 $t$ 得 $t^2-2t+1=0$ ，即 $(t-1)^2=0$ ，故 $t=1$ 合法， $m=0$ 。

合并 $m=0$ 或 $-7$ 。B 的 $2,5$ 给输入 $3,6$ ，其正支值不为 $2$ ；C 的 $1$ 给输入 $2$ 、值 $5/2$ ，且漏掉 $0$ ；D 的 $5$ 不合格并漏合法值。只有 A 完整。

本题结论

选 A。

例题 05 沿当前输入展开递归关系

题目

设

f\left( x\right)=\left\{ \begin{aligned}f\left( f\left( x+5\right)\right),x<10\\2x-15,x\ge 10\end{aligned}\right.

，则 $f\left( 9\right)$ 的值为（）

A．9 B．11 C．28 D．14

答案与解析

解析

当前输入 $9<10$ ，先按递归支展开，随后每次按新数重判：

\begin{aligned} f(9)&=f(f(9+5))=f(f(14)),\\ f(14)&=2\cdot14-15=13\qquad(14\ge10),\\ f(9)&=f(13)=2\cdot13-15=11\qquad(13\ge10). \end{aligned}

A 的 $9$ 把原输入当输出；D 的 $14$ 只是下一层输入；C 的 $28$ 是 $2\cdot14$ ，既没完成减 $15$ ，也没完成外层；B 的 $11$ 完成了整条链。

这两个中间输入都进入明确一次支，有限调用已核实。结论只针对这个目标，不能由此声称该递归式在所有实数上都终止或唯一确定。

本题结论

选 B。

例题 06 折线模型中的有效时间

题目

某研究所开发一种新药，据监测，一次性服药 $t\left( 0\le t\le 12\right)$ 小时后每毫升血液中的含药量 $y$ （毫克）与时间 $t$ （小时）之间近似满足图中所示的曲线关系.据测定，每毫升血液中含药量不少于4毫克时治疗疾病有效，则12小时内药物在体内对治疗疾病一直有效所持续的时长为（）

含药量随时间的折线经过(0,0)、(3,6)、(12,0)，纵轴毫克、横轴小时，虚线标出峰点坐标

A．4小时 B．5小时 C．6小时 D．7小时

答案与解析

解析

按题给近似模型作数学判断。原折线明确通过 $(0,0),(3,6),(12,0)$ ；单位为小时与毫克，不从轮廓量猜数据。

第一段 $0\le t\le3$ 过原点且斜率 $6/3=2$ ，所以 $y=2t$ 。第二段设 $y=kt+b$ ，两标点给 $6=3k+b,0=12k+b$ 。相减得 $-6=9k$ ，故 $k=-2/3$ ，回代 $b=8$ 。选择等号归第一段，则

y=\begin{cases}2t,&0\le t\le3,\\-2t/3+8,&3<t\le12.\end{cases}

两式在接合处都给 $6$ ，不存在输出冲突。

“不少于4”要求 $y\ge4$ 。第一支 $2t\ge4$ 给 $t\ge2$ ，与本支交为 $[2,3]$ 。第二支 $-2t/3+8\ge4$ ，减 $8$ 再乘负 $3/2$ 反向，给 $t\le6$ ，与本支交为 $(3,6]$ 。

两支并为 $[2,6]$ ，中间无缺口，连续有效时长为 $6-2=4$ 小时。开始时刻 $2$ 、结束时刻 $6$ 、时长 $4$ 是三个不同量。两端代回均等于 $4$ ，由“不少于”收入。A 正确，其余 $5,6,7$ 小时都超过这个连续区间长度。

本题结论

选 A，持续4小时。