最值阈值与方程有解

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同一条基本不等式，可以提供恒成立的最不利点，也可以提供存在要求的有利见证。但等式有解还要求参数目标本身真正属于值域，不能只凭一个最小值就跳到全部可达。

一、知识点概念与依据

1. 参数固定，变量在真实范围中接受检验

将原允许变量及等式约束共同记为范围 $D$ ，先确认表达式有意义。全称要求同一个参数使每个允许点通过；存在只需一个允许点。 $D$ 为空时全称按逻辑为真、存在为假，不能谈其中的最值。

参数若改变范围或被比较函数，应分类后重新求界。分离参数要除某表达式时，先判正、负、零：正保向，负反向，零点回原式检查。参数在分母里也须先排零，不能直接同乘未知号参数。

2. 已取得最小值时，必要与充分分别证明

设 $F$ 在非空 $D$ 中最小值为 $L$ ，在合法点 $t$ 取到，门槛 $T$ 只依赖参数。

目标	充要条件	理由
每个 $F\ge T$	$T\le L$	最低点须通过；其他点均不低于它
每个 $F>T$	$T<L$	最低点也须严格通过
存在 $F<T$	$T>L$	必要 $L\le F<T$ ；充分选 $t$
存在 $F\le T$	$T\ge L$	必要 $L\le F\le T$ ；充分选 $t$

方向反过来时可能要最大值，不是“恒成立一律最小”或“存在一律最大”。例如每个 $F\le T$ 应比较实际最大值；存在 $F>T$ 应寻找大的值。

求基本式的形式下界以后，仍需解所有取等方程，与原约束、真实换元范围联立。若下界根本取不到，上表不能机械套用。

3. 未取得的最佳下界怎样处理

假设 $L$ 是最佳下界：每个 $F\ge L$ ，且任意比 $L$ 大的数都能被某个合法 $F$ 压低。如果 $L$ 未取得，所有实际值都大于 $L$ 。

此时全称 $F>T$ 在 $T=L$ 仍成立； $T>L$ 时可找 $F<T$ ，全称失败。全称 $F\ge T$ 仍恰需 $T\le L$ 。存在 $F<T$ 仍恰需 $T>L$ ，但其见证来自逼近性，不是一个不存在的最低点；存在 $F\le T$ 也须 $T>L$ ，不再收入等于界的情形。

仅证明一个较弱下界并不足以使用这些结论，必须证明它确实最佳。上界方向对称。本单元原题都给实际取等点，不借未讲导数来假定可达性。

4. 两个严格有解短例，保留系数与参数根

正数 $x,y$ 满足 $1/x+4/y=1$ 时，令 $v=y/4>0$ ，则 $1/x+1/v=1$ 。目标

x+\frac y4=(x+v)(1/x+1/v)=2+\frac xv+\frac vx\ge4.

取等 $x=v=2$ ，即 $x=2,y=8$ 。因此 $x+y/4<m$ 有解恰需 $m>4$ ：较小或相等门槛对所有点失败，较大门槛可选这同一见证。原候选 $m>2$ 误收 $m=3$ ，两个“小于”范围方向相反。

若改为 $2/x+1/y=1$ ，目标为 $2x+y$ ，不能沿用前一组系数。展开

2x+y=(2x+y)(2/x+1/y)=5+\frac{2x}y+\frac{2y}x\ge9.

取等 $x=y=3$ 符合原约束。 $2x+y<m^2-8m$ 有解恰需 $m^2-8m>9$ ，即 $(m+1)(m-9)>0$ ，所以 $m<-1$ 或 $m>9$ 。端点右边等于 $9$ ，严格小于失败； $-9,1$ 不是本式的根， $(-1,9)$ 则选了反方向。知识库记录此题负号曾在提取中修复；本轮按现有正文与因式复算，不声称见过原 DOCX/PDF。

5. 方程有解要证明全部值域

等式 $F=T$ 要求 $T$ 本身是实际可取值。“有最小值 $L$ ”只排除 $T<L$ ，不能保证每个 $T\ge L$ 都能实现。对 $t>0,c>0$ 且 $t$ 能遍历全部正数的结构，才可这样完整证明：

基本式给 $t+c/t\ge2\sqrt c$ ，等号 $t=\sqrt c$ 。任取 $s\ge2\sqrt c$ ，方程 $t+c/t=s$ 在正域等价于

t^2-st+c=0.

判别式 $s^2-4c\ge0$ ，两实根和正、积正，所以同号且都正；常数 $c>0$ 排除零根，重根也正。任选一个根即可恢复，故全部值域是 $[2\sqrt c,+\infty)$ 。

目标为 $A(t+c/t)+B$ 时， $A>0$ 得 $[2A\sqrt c+B,+\infty)$ ； $A<0$ 得 $(-\infty,2A\sqrt c+B]$ ； $A=0$ 只取 $B$ 。若真实 $t$ 限在较窄区间或要求整数，不可直接套全正域结论。

6. 双向恢复与不等式见证的要求不同

存在 $F<T$ 时，只要最低点合法，它可对每个 $T>L$ 充当见证，无须证明所有中间值都可取。等式 $F=T$ 则必须恢复那个指定值。换元并非一定要一一对应，但每个用于证明充分性的新元都必须至少能恢复一个原合法对象。

参数端点是否收入来自原严格性与实际取得，不是照搬变量区间括号。多小问的额外限制互不自动承接；共同约束继续保留，各自重新找取等点。

二、考点方法与例题

方法一：先求真实极值，再双向证明参数阈值

用正性、固定结构和取等方程证明最低或最高点真实存在。必要性代最不利点或用整体界，充分性用全范围界或实际见证。最后解参数式，排分母零值、查正负支与严格边界。

方法二：等式要求指定目标值，补上正根构造

先写双向换元与完整新域。求出下界以后，任取候选目标值，转成二次方程，检查判别式、根和根积，再将正根恢复到原变量。不能用几个样本代替全部可达性。

例题 01 开区间中的非严格全称阈值

题目

若对于任意 $x\in (0,2)$ ，不等式 $\frac{1}{x}+\frac{1}{2-x}\ge {m}^{2}+m$ 恒成立，则实数m的取值范围为（）

A． $m\le -2$ 或 $m\ge 1$ B． $-2\le m\le 1$

C． $\frac{-1-\sqrt{17}}{2}\le m\le \frac{-1+\sqrt{17}}{2}$ D． $m\le \frac{-1-\sqrt{17}}{2}$ 或 $m\ge \frac{-1+\sqrt{17}}{2}$

答案与解析

解析

$0<x<2$ 保证两个分母正。用 $(x+2-x)/2=1$ 展开：

F=\frac1x+\frac1{2-x}=\frac12\left(2+\frac{2-x}{x}+\frac{x}{2-x}\right)\ge2.

取等两比值相等，正性得 $x=2-x$ ，即 $x=1$ 合法，最小值确为 $2$ 。也可直接通分 $F=2/[x(2-x)]$ ，由 $0<x(2-x)\le1$ 得相同界。

必要性将 $x=1$ 代原式，得 $m^2+m\le2$ ；充分性若此条件成立，每个 $F\ge2\ge m^2+m$ ，确为恒成立。

解 $(m+2)(m-1)\le0$ 得 $-2\le m\le1$ 。两个端点允许等号，均收入。A 取外侧方向相反；C、D 的根来自错误常数 $4$ 而不是实际最小值 $2$ ，D 又选外侧；B 正确。

本题结论

B， $m\in[-2,1]$ 。

例题 02 共同正数和下的最值与参数

题目

已知 $x,y>0$ 满足 $x+y=6$ .

(1)求 $\frac{y}{x}+\frac{3}{y}$ 的最小值；

(2)若 ${x}^{2}+4{y}^{2}\ge m\left( x+4y\right)$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围.

答案与解析

解析

（1）由 $x+y=6$ ， $y/x=6/x-1$ ，所以

\frac yx+\frac3y=3\left(\frac2x+\frac1y\right)-1 =\frac12(x+y)\left(\frac2x+\frac1y\right)-1 =\frac12\left(3+\frac{2y}x+\frac xy\right)-1\ge\frac12+\sqrt2.

交叉项正且积为 $2$ ，取等 $x^2=2y^2$ ，正性给 $x=\sqrt2y$ 。接和为 $6$ 得 $x=6(2-\sqrt2),y=6(\sqrt2-1)$ ，均正，下界可取。原先 $y/x$ 与 $3/y$ 的积 $3/x$ 随变量改变，不能直接当定积。

（2）重新找本问的最不利点。 $x+4y>0$ ，故原全称等价于

m\le R=\frac{x^2+4y^2}{x+4y}.

消元 $x=6-y$ ，真实范围 $0<y<6$ 。令 $t=y+2\in(2,8)$ ，分母 $3t>0$ ，分子逐步展开

5y^2-12y+36=5(t-2)^2-12(t-2)+36=5t^2-32t+80.

因此

R=\frac53\left(t+\frac{16}t\right)-\frac{32}3\ge\frac83.

取等 $t=4$ 位于真实范围，回到 $y=2,x=4$ ；原比值 $(16+16)/(4+8)=8/3$ 。必要性代这个点，充分性用整个范围的下界，故 $m\le8/3$ 。端点非严格允许，不继承第一问的另一组最优变量。

本题结论

（1）最小值 $\frac12+\sqrt2$ ；（2） $m\le\frac83$ 。

例题 03 变号、平移与严格全称的三问

题目

求解下列各题：

(1)求 $y=\frac{{x}^{2}+3x+4}{2x}\left( x<0\right)$ 的最大值.

(2)求 $y=\frac{{x}^{2}+8}{x-1}\left( x>1\right)$ 的最小值.

(3)已知 $x>0$ ， $y>0$ 且 $4x+y=xy$ ，若 $x+y>{m}^{2}+8m$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

答案与解析

解析

（1）逐项除分母，得 $y=3/2+x/2+2/x$ 。令 $u=-x>0$ ，则

y=\frac32-\left(\frac u2+\frac2u\right)\le\frac32-2=-\frac12.

两正项积为 $1$ ，取等 $u/2=2/u$ 得正根 $u=2$ ，即 $x=-2$ ，原式值 $-1/2$ 。负项必须先转成正项和再反向，不能直用正项下界。

（2）令 $t=x-1>0$ ，分子 $(t+1)^2+8=t^2+2t+9$ ，故 $y=t+9/t+2\ge8$ 。取等 $t=3$ ，即 $x=4>1$ ，原值 $24/3=8$ 。

（3）除正 $xy$ ，原约束等价于 $1/x+4/y=1$ 。于是

x+y=(x+y)(1/x+4/y)=5+\frac{4x}y+\frac yx\ge9.

取等 $y=2x$ ，联立倒数和给 $x=3,y=6$ 。原式 $4x+y=18=xy$ ，和为 $9$ ，最小值确能取得。

要求所有允许点 $x+y>m^2+8m$ ，因此必须且只需 $m^2+8m<9$ 。必要性代最低点；充分性用 $x+y\ge9>m^2+8m$ 。解 $(m+9)(m-1)<0$ 得 $-9<m<1$ ，端点在最低点处违反严格号。

三问分别使用各自所给变量范围，不相互强加前问条件。

本题结论

（1）最大值 $-\frac12$ ；（2）最小值 $8$ ；（3） $m\in(-9,1)$ 。

例题 04 倒数参数的定义域与符号分支

题目

若对任意正实数a，b；不等式 ${a}^{2}+4{b}^{2}\ge \frac{1}{k}ab$ 恒成立，则实数k的取值范围为 .

答案与解析

解析

$k=0$ 使原式无定义，先排除。由 $ab>0$ ，可等价除得

\frac ab+\frac{4b}a\ge\frac1k.

左边两正项积为 $4$ ，最小值为 $4$ ，在 $a=2b$ 取得，任取正 $b$ 均可。因此全称恰需 $1/k\le4$ 。

$k<0$ 时倒数负，自动满足； $k>0$ 时同乘正 $k$ ，得 $1\le4k$ ，即 $k\ge1/4$ 。两支合并，不能不分符号直接得一个正区间。

$k=1/4$ 时取等允许； $0<k<1/4$ 代 $a=2b$ 就失败。负支中原右侧为负、左侧为正，也可直接核验充分性。

本题结论

$k\in(-\infty,0)\cup[\frac14,+\infty)$ 。

例题 05 平移量范围中的严格存在阈值

题目

若两个正实数 $x,y$ 满足 $x+y=1$ ，且存在这样的 $x,y$ 使不等式 $\frac{1}{x+1}+\frac{4}{y+2}<{m}^{2}+\frac{9}{4}m$ 有解，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A． $\left\{ m\left| -3<m<\frac{3}{4}\right.\right\}$ B． $\left\{ m\left| -\frac{3}{4}<m<3\right.\right\}$

C． $\{m\mid m<-3\text{或}m>\frac{3}{4}\}$ D． $\{m\mid m<-\frac{3}{4}\text{或}m>3\}$

答案与解析

解析

令 $u=x+1>1,v=y+2>2$ ，约束给 $u+v=4$ 。真实范围不只是两数正。目标乘 $(u+v)/4=1$ ：

F=\frac1u+\frac4v=\frac14\left(5+\frac vu+\frac{4u}v\right)\ge\frac94.

两交叉项积为 $4$ 。取等 $v=2u$ ，接和为 $4$ 得 $u=4/3,v=8/3$ ，恢复 $x=1/3,y=2/3$ ，正性与和为 $1$ 均通过。因此最低点确实合法。

若有 $F<m^2+9m/4$ ，由 $F\ge9/4$ 必须 $m^2+9m/4>9/4$ ；反向若此条件成立，选上述最低点即有见证。所以

4m^2+9m-9=(m+3)(4m-3)>0,

得到 $m<-3$ 或 $m>3/4$ 。端点的门槛恰等于最小值，不能严格小于。C 正确；A 用正确根却取内侧，B、D 的根不符本式，B 又取了内侧。

本题结论

C， $m\in(-\infty,-3)\cup(\frac34,+\infty)$ 。

例题 06 最小值与完整值域的不同证明

题目

已知正实数x，y，满足 $x+2y-xy=0$ ．

(1)求xy的最小值；

(2)若关于x的方程 $x(y+1)-4\sqrt{2}={m}^{2}-m$ 有解，求实数m的取值范围．

答案与解析

解析

（1） $xy=x+2y$ ，除正 $xy$ 得 $2/x+1/y=1$ 。两正项定和，乘积 $2/(xy)\le1/4$ ，故 $xy\ge8$ 。取等两项各为 $1/2$ ，得到 $x=4,y=2$ ，原约束与目标均符合。

原方法也可写 $p=xy>0$ ，由 $p=x+2y\ge2\sqrt{2p}$ ，两边非负平方后 $p^2\ge8p$ ，再除正 $p$ 得 $p\ge8$ 。

（2）先建立双向换元。由 $y(x-2)=x>0$ 且 $y>0$ ，得 $x>2$ ；由 $x(y-1)=2y>0$ 得 $y>1$ 。原约束等价于 $(x-2)(y-1)=2$ 。令 $t=y-1>0$ ，恢复 $x=2+2/t,y=1+t$ 。

任取正 $t$ 都得正变量，且

xy=4+2t+2/t=x+2y,

所以 $t$ 确能走遍全部正数。完整目标为

V=x(y+1)-4\sqrt2=2(t+2/t)+6-4\sqrt2\ge6,

在 $t=\sqrt2$ 取得。也可沿原约束写 $xy+x=2(x+y)$ ，乘倒数和 $2/x+1/y=1$ ，得到 $2(3+x/y+2y/x)-4\sqrt2\ge6$ ；取等 $x=\sqrt2y$ 恢复同一组 $x=2+\sqrt2,y=1+\sqrt2$ 。

等式还需要所有候选值可达。原解析仅给下界和取等点就直接写参数范围，须补这一充分性：任取 $v\ge6$ ，设

s=\frac{v-6+4\sqrt2}{2}\ge2\sqrt2.

解 $t^2-st+2=0$ 。判别式 $s^2-8\ge0$ ，两根和正、积正，所以两根均正，重根也合法。任选一根恢复 $x,y$ ，原约束成立且目标恰为 $v$ 。因此全部值域确为 $[6,+\infty)$ ，而不只是已知最小值为 $6$ 。

方程有解当且仅当 $m^2-m\ge6$ ，即 $(m-3)(m+2)\ge0$ ，得 $m\le-2$ 或 $m\ge3$ 。端点由 $t=\sqrt2$ 实现，等式允许，均收入。

本题结论

（1）最小值 $8$ ；（2） $m\in(-\infty,-2]\cup[3,+\infty)$ 。