拟合后的参数、范围与最优方案

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模型拟合后仍须守住观测口径、参数是否共用和决策可行域。只有所有约束能同时实现，最值才是实际方案而不仅是代数界。

一、知识点概念与依据

1. 时点不同不能冒充同点残差

同一年度的10月底人数与年末人数不同。模型在整数年末的预测，不能用较早观测直接判定“同点误差”；也不能倒过来宣称提前观测已经证实年末预测。

整数年数产生离散集合。换元后应保留这个集合；若借助更大的连续域求界，必须确认最大或最小候选在原离散域可达到。

2. 共用参数与独立参数是两种题意

参数关系	正确处理	不能做的事
明确共用	所有对象同时满足同一组值	各算一组却仍称共同模型
明确独立	用对象下标区分后分别拟合	把两组值混作同一个参数
原文字含糊	明说解释分歧并分别验证	为迎合答案暗改参数含义

同一组条件里的同一个字母表示同一个固定数。两个对象各自符合某种形式，不自动许可将同一个 $a,b$ 改成不同值。如果题目允许独立拟合，应明确写 $a_{\text{甲}},b_{\text{甲}}$ 与 $a_{\text{乙}},b_{\text{乙}}$ 。

若题意要求共用，先由一组数据求参数，再代入另一对象全部条件；发现矛盾应报告无共同模型，不能为了得到原答案暗中更换参数。含 $x^{\alpha}$ 的模型在0有原图点时，还要先检查0输入是否有定义。

3. 比例目标与总量目标分开

单位时间耗电量不是固定路程耗电量。速度 $v>0$ 、路程 $L$ 时，全程量是每小时量乘 $L/v$ 小时；0速度虽可作静止测试点，却不能用于完成正路程的时间公式。

多个决策变量可独立选择时，分别取得下界还不够，须核各取等点同时满足预算、区间等共同条件。换元如 $t=\sqrt m$ 必须同步转换可行域，不能把整个实数轴的顶点自动当作原题可行解。

二、考点方法与例题

1. 先用同口径点拟合，再处理离散全称约束

排除方向或增量变化不符的候选，用完整年末点求参。全体正整数年份都要满足的上界要求，转为右端最大值；必要性与充分性分别证明，取等年份不能遗漏。

例题 01 年末预测与整数年份容量界

题目

近几年，直播平台逐渐被越来越多的人们关注和喜爱．某平台从2021年初建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加．已知从2021到2024年，该平台会员每年年．末的人数如下表所示：（注：第4年数据为截止至2024年10月底的数据）

建立平台第 $x$ 年	1	2	3	4
会员人数 $y$ （千人）	16	28	52	86

(1)请根据表格中的数据，从下列三个模型中选择一个恰当的模型估算建立该平台 $x\left( x\in {N}^{*}\right)$ 年后平台会员人数 $y$ （千人），求出你所选择模型的解析式，并预测2024年年末会员人数：

① $y=\frac{b}{x}+c(b>0)$ ，② $y=d{\log }_{r}x+e(r>0$ 且 $r\ne 1)$ ，③ $y=t{a}^{x}+s(a>0$ 且 $a\ne 1)$ ；

(2)为了更好的维护管理平台，该平台规定会员人数不能超过 $k\cdot {4}^{x}(k>0)$ 千人，请根据（1）中你选择的函数模型求 $k$ 的最小值．

答案与解析

解析

（1）①在正输入上因 $b>0$ 严格递减，不合人数增长。②可写成 $C\ln x+e$ ；若递增则 $C>0$ ，相邻增量 $C\ln((x+1)/x)$ 递减，不能符合前两年增量12、24。选③。

前三个完整年末点给 $ta+s=16,ta^2+s=28,ta^3+s=52$ 。相减得 $ta(a-1)=12,ta^2(a-1)=24$ ；前式非零，可除得 $a=2$ ，再得 $t=6,s=4$ 。故 $y=6\cdot2^x+4$ ， $x\in\mathbb N^*$ ；第4年末预测100千人。

表中86千人截至10月底，不是第4年末，同年不同观测时点不能称为同点残差，也不能声称全部表格都在整数4处吻合。

（2）除以正的 $4^x$ ，条件为 $k\ge6\cdot2^{-x}+4\cdot4^{-x}$ 。令 $u=2^{-x}\in\{1/2,1/4,1/8,\ldots\}$ 。对 $0<u<v$ ，

(4v^2+6v)-(4u^2+6u)=(v-u)[4(v+u)+6]>0.

因此右端在原离散域最大为 $4(1/2)^2+6(1/2)=4$ ，在 $x=1$ 可达到。必要性由第一年给 $k\ge4$ ；充分性由全域上界说明 $k=4$ 对所有正整数年数都成立，所以最小值4。

本题结论

（1）③， $y=6\cdot2^x+4$ ，2024年末预测100千人；（2） $k_{\min}=4$ 。

2. 参数相容性优先于求最大值

先检查两模型是否真能共用参数；若原答案采用独立参数，只能在明确条件解释后继续计算。总预算减少一个变量，开方换元后保留实际区间，取等再还原资金。

例题 02 两种产品的利润模型与投入安排

题目

某工厂生产甲、乙两种产品所得的利润分别为 $P$ 和 $Q$ （万元），事先根据相关资料得出它们与投入资金 $x$ （万元）的数据分别如下表和图所示：其中已知甲的利润模型为 $P=ax+b$ ，乙的利润模型为 $Q=b+a{x}^{\alpha }$ ．（ $a,b,\alpha$ 为参数，且 $a\ne 0$ ）.

$x$	20	40	60	80
$P$	33	36	39	42

（1）请根据下表与图中数据，分别求出甲、乙两种产品所得的利润与投入资金 $x$ （万元）的函数模型

（2）今将 $300$ 万资金投入生产甲、乙两种产品，并要求对甲、乙两种产品的投入资金都不低于 $75$ 万元．设对乙种产品投入资金 $m$ （万元），并设总利润为 $y$ （万元），如何分配投入资金，才能使总利润最大？并求出最大总利润．

答案与解析

解析

按原题同一 $a,b$ 共用的字面读法：甲表给 $20a+b=33,40a+b=36$ ，得 $a=3/20,b=30$ 。乙图有合法零输入 $(0,40)$ ；模型在0的幂项需有意义，按正幂口径 $\alpha>0$ ，该点要求 $b=40$ ，与30矛盾。因此不能用同一组参数同时得到原答案。

（1）以下明确按原详解意图，把两对象参数解释为各自独立。甲得 $P=3x/20+30$ ，代60、80验证39、42。乙由零点给 $b_{\text{乙}}=40$ ；再由36、100点给 $a_{\text{乙}}36^{\alpha}=18,a_{\text{乙}}100^{\alpha}=30$ ，相除得 $(25/9)^{\alpha}=5/3$ ，所以 $\alpha=1/2,a_{\text{乙}}=3$ ，即 $Q=40+3\sqrt x$ ，两式 $x\ge0$ 。原方程组第三行的 $100\alpha$ 是幂号漏排，应为 $100^{\alpha}$ 。

（2）乙投入 $m$ 、甲投入 $300-m$ ，各至少75给 $75\le m\le225$ 。总利润

y=115-\frac3{20}m+3\sqrt m.

令 $t=\sqrt m\in[5\sqrt3,15]$ ，配方 $y=-3(t-10)^2/20+130$ 。 $t=10$ 在域内，故 $m=100$ ，甲200，两者同时满足下限和总额。最大总利润130万元。原解末尾写 $x=100$ ，这里回换的应明确为乙投入 $m$ 。以上最优结论以独立参数解释为前提，不能掩盖字面共参无解的缺口。

本题结论

字面共用参数无共同模型；按原解独立参数解释，甲200万元、乙100万元，总利润最大130万元。

3. 拟合逐小时量，再乘行驶时间

选择候选须覆盖所有测试输入，解参后回代未用点。真正行驶排除0速度，两路段用不同变量；分别求能实现的最小量，最后核两处选择是否相互独立。

例题 03 两个路段的耗电方案

题目

正值安顺市创建全国文明城市之际，某单位积极倡导“环保生活，低碳出行”，其中电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速 $60km/h$ .经多次测试得到该汽车每小时耗电量 $M$ （单位： $Wh$ ）与速度 $v$ （单位： $\frac{km}{h}$ ）的数据如表所示：

$v$	$0$	$20$	$30$	$40$
$M$	$0$	$2400$	$3375$	$4400$

为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择： $M\left( v\right)=\frac{1}{40}{v}^{3}+b{v}^{2}+cv$ ， $M\left( v\right)=1000{\left( \frac{2}{3}\right)}^{v}+a$ ， $M\left( v\right)=300{\log }_{a}v+b$ .

(1)当 $0\le v\le 60$ 时，请选出你认为最符合表格所列数据的函数模型，并求出相应的函数解析式；

(2)现有一辆该型号汽车从 $A$ 地驶到 $B$ 地，前一段是 $40km$ 的国道，后一段是 $50km$ 的高速路，若已知高速路上该汽车每小时耗电量 $N$ （单位： $Wh$ ）与速度 $v$ （单位： $km/h$ ）的关系是： $N\left( v\right)={v}^{2}-60v+6400\left( 60<v\le 120\right)$ ，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少?

答案与解析

解析

（1）对数候选在测试点 $v=0$ 无定义；指数候选因正系数1000、底数 $2/3<1$ 而递减，不合表中增长。选三次候选。代20和40得 $20b+c=110,40b+c=70$ ，故 $b=-2,c=150$ ，

M(v)=v^3/40-2v^2+150v,\quad0\le v\le60.

未用点30回代为 $675-1800+4500=3375$ ，0处为0，全部四点吻合。

（2）设国道速度 $u$ 、高速速度 $v$ 。真正完成国道路程要求 $0<u\le60$ ，不能沿原解把0留在 $40/u$ 的域。国道耗电

E_1=\frac{40}{u}M(u)=u^2-80u+6000=(u-40)^2+4400,

在合法 $u=40$ 取得4400 Wh。高速 $60<v\le120$ ，

E_2=\frac{50}{v}N(v)=50\left(v+\frac{6400}{v}-60\right)\ge5000.

这里两项正，和至少160，可由 $(\sqrt v-80/\sqrt v)^2\ge0$ 证明；等号需 $v=80$ ，在域内。两段速度可分别选择，因此两下界可同时达到，总最小9400 Wh。不能直接最小化每小时耗电，也不能强制两段同速。

本题结论

国道40 km/h、高速80 km/h，总耗电最少9400 Wh。