二分法、误差保证与停机标准

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二分法不是不断猜数，而是始终保留一个有根的区间。把“区间缩短”“近似值合格”和“找到精确根”分开，才能正确更新端点、选择答案并计算次数。

一、知识点概念与依据

1. 每轮都保留连续异号的区间

先用零点存在定理建立 $a<b$ 、 $f$ 在 $[a,b]$ 连续且 $f(a)f(b)<0$ 。这些条件保证区间内部至少有一根，是二分过程始终保留的事实，称为括根不变量。

取旧区间中点 $m=(a+b)/2$ ，计算 $f(m)$ 。若精确为零，可立即结束。否则中点值与某一端同号，与另一端异号：

若 $f(a)f(m)<0$ ，保留 $[a,m]$ ，只更新右端及其函数值；
否则保留 $[m,b]$ ，只更新左端及其函数值。

新区间仍在连续域内、端点异号、长度减半，故仍有根。这不是“中点负就换左端”的口诀；递减函数的负端可以在右边。同一轮要用同一组旧端点，不能改完左端又重算一次本轮中点。

二分不要求先证唯一。若初始区间有多个根，过程中可能舍去其中一些，只保证保留某个根；若要逼近指定的那一根，应先隔离或证明唯一。连续但不变号的零点不能直接用这一异号流程启动，不代表它不存在或不能用别的方法求解。

图为原资料示意图，仅说明括根结构；曲线比例不替代符号计算。

2. 全宽、半宽与实际误差

设 $r$ 是当前 $[a_n,b_n]$ 内的真实根， $L_n=b_n-a_n$ ，报告的近似数为 $q$ ，允许误差为 $\varepsilon>0$ 。这些量都对应输入，其单位相同；输出 $f(q)$ 则不是输入误差。

若 $q\in[a_n,b_n]$ ，则 $|q-r|\le L_n$ 。若选中点 $q=(a_n+b_n)/2$ ，根无论在哪一侧，都有 $|q-r|\le L_n/2$ 。端点严格异号时根在内部，相应距离实际小于这些界；写不超过仍是有效的保守保证。

更一般，不论 $q$ 是否在区间内，都有

|q-r|\le\max\{|q-a_n|,|q-b_n|\}.

上界达标足以证明合格；上界未达标，只说明这条信息不足，不能推出真实误差不合格。区间外的数也可能离根很近，需要更细夹逼或精确根另查。

“当前区间内选数”“仅用该区间对所有可能根作最坏保证”“相对原函数真实根的实际误差合格”，是不同的要求。题目未限定前两种口径时，不能凭选项位置排除已经满足实际误差的候选。

3. 次数先约定缩短与停机口径

初长 $L_0$ ，没有提前命中精确根时，每次保留一半，因此真正缩短 $n$ 次后

L_n=\frac{L_0}{2^n},\qquad n\in\{0,1,2,\ldots\}.

全宽停机用 $L_0/2^n<\varepsilon$ 或 $\le\varepsilon$ ，按题设不等号；若只要求末区间中点的误差保证，半宽 $L_0/2^{n+1}\le\varepsilon$ 已够。

取满足要求的最小非负整数，回验前一整数不合。初长 $1$ 、精度 $0.001$ 时， $2^{-9}=0.001953125$ ， $2^{-10}=0.0009765625$ ，所以全宽规则需 $10$ 次缩短；末中点误差规则 $9$ 次缩短已足够。边界恰相等时按严格或非严格规则处理，不机械取整。

末中点可以由端点直接求出，未必还要算其函数值；“缩短次数”“求中点次数”“求中点函数值次数”不能默认相同。中途若精确算得零，实际计算可提前结束，长度公式给的是未提前结束时的保证，不是每个具体函数实际都必需的步数。

二、考点方法与例题

方法一：逐轮记录旧区间、中点符号、新区间

先核连续异号；每轮只算一次旧端点中点，保留异号半段并同步记录对应端点值。求若干次更新后的区间，不能把初始存在检验算成一次缩短。

例题 01 两次区间更新

题目

已知函数 $f\left( x\right)={x}^{3}-2x-1$ ，现用二分法求函数 $f\left( x\right)$ 在 $\left( 1,3\right)$ 内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在区间为（）

A． $\left( \frac{3}{2},2\right)$ B． $\left( 1,\frac{3}{2}\right)$ C． $\left( 2,\frac{5}{2}\right)$ D． $\left( \frac{5}{2},3\right)$

答案与解析

解析

多项式在 $[1,3]$ 连续， $f(1)=-2$ 、 $f(3)=20$ ，可以启动。

第一轮： $m=2$ ， $f(2)=8-4-1=3>0$ ，保留 $[1,2]$ 。

第二轮： $m=3/2$ ， $f(3/2)=27/8-3-1=-5/8<0$ ，保留 $[3/2,2]$ ，两端非零，根在内部。

B是第二轮舍弃的半段，C、D在第一轮已被舍弃的右侧。若要证明指定区间只有一根，对 $1\le u<v$ 作差得 $(v-u)(v^2+uv+u^2-2)>0$ ，所以函数严格递增。

本题结论

选 A，根在 $(3/2,2)$ 。

读已有符号表也执行同一个更新规则

对于 $\ln x+2x-4=0$ ，原资料给出 $f(1)<0,f(2)>0,f(1.5)<0,f(1.75)>0,f(1.625)<0$ 。该函数在正半轴连续严格递增；独立算得后三个值约为 $-0.5945,0.0596,-0.2645$ ，符号一致。

三次更新依次是 $[1.5,2]$ 、 $[1.5,1.75]$ 、 $[1.625,1.75]$ 。故原选项中 $(1.625,1.75)$ 合格； $(1,1.5)$ 、 $(1.5,1.625)$ 在负侧， $(1.75,2)$ 在正侧。记录最后一对异号端点，不从全表任取两个顺眼的小数。

方法二：先定误差标准，再给一个可证明的近似数

用全宽或中点半宽控制输入距离，停止时报告最新区间和所取数。表中函数值可作近似显示，但必须有足够精度保持符号，尤其不能把显示的零误认成精确零。

例题 02 逐次计算与近似数

题目

用二分法求函数 $f\left( x\right)={x}^{3}-x-1$ 在区间 $\left[ 1,1.5\right]$ 内的一个零点的近似值．（误差不超过0.01）

答案与解析

解析

多项式连续， $f(1)=-1$ 、 $f(1.5)=0.875$ 。对 $1\le u<v\le1.5$ ，

f(v)-f(u)=(v-u)(v^2+uv+u^2-1)>0,

故所夹根唯一。各中点的函数值用精确分数核过符号，下表显示舍入值：

旧区间	中点	中点函数值（约）	保留区间
$[1,1.5]$	$1.25$	$-0.296875$	$[1.25,1.5]$
$[1.25,1.5]$	$1.375$	$0.224609$	$[1.25,1.375]$
$[1.25,1.375]$	$1.3125$	$-0.051514$	$[1.3125,1.375]$
$[1.3125,1.375]$	$1.34375$	$0.082611$	$[1.3125,1.34375]$
$[1.3125,1.34375]$	$1.328125$	$0.014576$	$[1.3125,1.328125]$
$[1.3125,1.328125]$	$1.3203125$	$-0.018711$	$[1.3203125,1.328125]$

末宽为 $1/128=0.0078125<0.01$ 。选左端 $q=1.3203125$ ，有 $0<r-q<0.0078125<0.01$ ，符合题意；选末中点也可获得更强半宽保证。

原资料将“区间内任意数可作零点近似值”说成“可作零点”，术语不准确。所选 $q$ 代回仍为负，不是精确零；合格依据是输入距离小。

本题结论

一个合格近似值是 $1.3203125$ ，不是唯一答案，也不是精确根。

方法三：把候选数到真实根的距离逐个核验

如果题问实际误差，就用精确根或继续缩小根区间。候选在区间左边时，距离介于两端分别减候选之间；在右边反过来；在里面用最大端点距离。若当前界跨越精度阈值，继续夹逼，不作超出证据的排除。

例题 03 区间保证与实际误差

题目

若函数 $f\left( x\right)={x}^{3}+{x}^{2}-2x-2$ 的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：

$f\left( 1\right)=-2$	$f\left( 1.5\right)=0.625$
$f\left( 1.25\right)=-0.984$	$f\left( 1.375\right)=-0.260$
$f\left( 1.4375\right)=0.162$	$f\left( 1.40625\right)=-0.054$

那么方程 ${x}^{3}+{x}^{2}-2x-2=0$ 的一个近似解（误差不超过0.025）为（）

A．1.25 B．1.40625 C．1.4375 D．1.421875

答案与解析

解析

先按表格保留 $(1.40625,1.4375)$ ，宽 $0.03125$ 。D是中点 $1.421875$ ，对该区间内任意根有半宽 $0.015625<0.025$ 的保证，因此原答案D确实可取。

但题干只要求实际误差不超过 $0.025$ ，没有限定“必须仅按末区间给保证”。因式分解

x^3+x^2-2x-2=(x+1)(x^2-2),

所定位正根恰为 $\sqrt2$ 。由平方可核 $1.41421<\sqrt2<1.41422$ ，A误差大于 $0.164$ ；B小于 $0.008$ ；C小于 $0.024$ ；D小于 $0.008$ 。B、C、D均合格，不能因端点全宽保证不足就否定B、C。

同法变体的两种不同排除：对 $x^3+2x-9=0$ ，原表末区间为 $(1.75,1.8125)$ ，原选项是 $1.6,1.7,1.8,1.9$ ，精度 $0.1$ 。继续异号核验得根在 $(1.76249,1.76250)$ ： $1.7,1.8$ 均合格， $1.6,1.9$ 均不合格。原单选C的 $1.8$ 只是唯一处于末区间的选项。

对 $e^x+x-5=0$ ，原表末区间为 $(1.25,1.3125)$ ，原选项 $1.2,1.21,1.27,1.32$ ，精度 $0.1$ 。细夹得根在 $(1.30655,1.30656)$ ，只有 $1.2$ 误差大于 $0.10655$ 不合格；其余三个误差分别小于 $0.09656,0.03656,0.01345$ ，均合格。原单选C的 $1.27$ 仍只是唯一在末区间里的选项。三题原表舍入都保持符号；不同结论源于取数口径，不是表值算错。

本题结论

按题干实际误差，B、C、D均可；原单选D需附加口径才唯一。

三、坑点辨析与纠错

1. 缺连续条件，次数公式不能补救

只知道单调与两端异号不能保证有根。跳跃反例已给严格递增仍无根的情形。先确认可启动，再讨论长度保证，不能发现缺条件后静默把题目改成另一题。

辨析 01 条件与计数规则

题目

已知函数 $f\left( x\right)$ 在区间 $\left( 2,3\right)$ 内单调且 $f\left( 2\right)\cdot f\left( 3\right)<0$ ，用二分法求方程近似解时，至少需要求（）次中点值可以求得近似解（精确度为0.001）.

A．4 B．7 C．10 D．13

答案与解析

解析

原条件没有给 $[2,3]$ 连续。严格递增的跳跃函数也可能从负值跳到正值而不取零，因此按原题不能保证二分法求到零点。

若明确补上闭区间连续，并约定全宽不超过 $0.001$ 停机，且未提前命中根，则 $L_n=2^{-n}$ 。 $2^{-9}>0.001$ ， $2^{-10}<0.001$ ，所需最少长度保证是10次：A、B不足，D虽够却不是最少，原答案C对应这套约定。

若最终取中点，只要半宽不超过 $0.001$ ，9次缩短已够；若某中点恰为零，可更早停止。还应区分“求中点值”指中点本身还是中点函数值。

本题结论

原题条件与口径不足；补连续且采用全宽规则时选 C。

2. 有零点不一定能启动异号二分

标准流程要找连续异号两端。平方型零点可以只接触横轴而不变号，这与“没有零点”不同。也不能为制造异号把分式断点包进区间。

辨析 02 能否建立异号括根

题目

下列函数中，不能用二分法求其零点近似值的是（）

A． $f\left( x\right)=\ln x+2$ B． $f\left( x\right)={x}^{2}+2\sqrt{2}x+2$

C． $f\left( x\right)=x+\frac{1}{x}-3$ D． $f\left( x\right)={2}^{x}-3$

答案与解析

解析

A：定义域是 $x>0$ ，不是原解写的整个实数集。取 $e^{-3},e^{-1}$ ，函数值分别为 $-1,1$ ，在这段连续，可以二分。

B：配方为 $(x+\sqrt2)^2\ge0$ ，只有零点 $-\sqrt2$ ，两侧均正，没有异号括根区间，所以本题异号流程不能用；仍可直接配方求精确根。

C：原域排除零。负半轴令 $t=-x>0$ ，由 $t+1/t\ge2$ 得 $x+1/x-3\le-5$ ，无根。正半轴可分别取 $[1/4,1]$ 与 $[1,3]$ ，端点值依次为 $(5/4,-1)$ 、 $(-1,1/3)$ ，各连续异号。乘合法非零 $x$ 得 $x^2-3x+1=0$ ，两根 $(3\pm\sqrt5)/2$ 均为正；也可由差 $(v-u)(1-1/(uv))$ 知在 $(0,1)$ 减、 $(1,+\infty)$ 增，分别唯一。两段二分不跨零。

D：在 $[1,2]$ 连续，端点值 $-1,1$ ，可以二分。

本题结论

选 B。A的对数定义域须纠正为正半轴。

3. 小输出不是小输入误差的替身

$f(q)$ 很小是纵向输出接近零； $|q-r|$ 小才是横向输入误差小，缺少额外关系时不能互相替代。计算器显示 $0.0000$ 可能只是舍入，只有精确等式 $f(q)=0$ 才说明命中。

误差单位跟输入走。若输入是比例， $0.01$ 的误差相当于 $1$ 个百分点，不是 $0.01$ 个百分点。报告近似数须同时给误差口径，不把“数值可用”写成“等式精确成立”。