同样的操作每天重复，边际概率却不一定相同。先找能决定下一步条件分布的状态，再按当前状态的概率加权。

01 · 知识点概念、关系与适用条件02 · 考点先归纳方法，再看例题03 · 坑点辨析错因，检查遗漏

知识点

状态必须保留下一步需要的信息

这是拓展，考试可用：有些过程在给定当前状态后，下一步分布只依当前状态。状态应包含足够信息，如袋内黑球数、昨日出行方式；交换题只记“甲是否有黑”会混合1黑、2黑的不同转移率。若规则还依上上步、余量或累计分数，就须一并纳入状态。

这是一种条件性质，不是无条件宣称未来与历史独立。各当前状态互斥完整，设其概率为 $w_j$，按规则转到目标状态的概率为 $t_j$，则下一步目标概率为 $\sum_jw_jt_j$。零概率状态的联合贡献0，可按机制说明其转移规则，不在零分母下强行定义条件比值。多状态只有在转移率相同或已有对称等证明时，才能合并消元为一元式。

两状态的全概率递推

记 $p_n$ 为第 $n$ 步处于目标状态的概率。若目标状态到下一步目标的转移率为 $a$，非目标到目标为 $b$，各步规则固定，$0\le a,b\le1$，则

$$p_{n+1}=ap_n+b(1-p_n)=b+(a-b)p_n.$$

两项分别是两个互斥来源与下一步目标同时发生的联合概率。每行完整转移概率应和1，不能不加权就平均两种率，也不能用昨日边际代替今日条件率。

减去不动点，得到全体步数的公式

令 $q=a-b$。若 $q\ne1$，不动点 $c$ 满足 $c=b+qc$，所以 $c=b/(1-q)$。相减得

$$p_{n+1}-c=q(p_n-c),\qquad p_n=c+q^{n-n_0}(p_{n_0}-c).$$

后一式由起点与递推归纳成立，不需要除可能为0的 $p_n-c$。若起点等于 $c$，以后恒等于 $c$；$q=0$ 时下一步起恒为 $b$，起点单列以避免 $0^0$。$q=1$ 在概率限制下只能 $a=1,b=0$，过程留在原状态，边际不变。$q<0$ 时偏差符号交替，不能说全列必定递减。合法转移使各步 $0\le p_n\le1$，解后仍须核此范围；$q=-1$ 可持续交替，不能无条件声称收敛。

考点

交换过程：完整转移表与对称性

1. 先看守恒量与容量，选足够细的状态。
2. 在每个状态下分别数下一步取球结果，核一行概率和1。
3. 用未知的当前状态概率作权重，全概率相加。
4. 只在合法消元后求一元递推，写清初值和步数范围。
5. 对称性须初态与规则都对称，不只容器外形相同；再核完整分布与期望。

例题 01 两个口袋的重复交换

题目

马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从'一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲､乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲､乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋重复进行$n\left( n\in {N}^{\ast}\right)$次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为${X}_{n}$恰有1个黑球的概率为${p}_{n}$.

(1)求${p}_{1},{p}_{2}$的值；

(2)求${p}_{n}$的值（用$n$表示）；

(3)求${X}_{n}$的数学期望$E\left( {X}_{n}\right)$.

答案与解析

解析

总黑球2个、每袋3球不变。给定甲当前黑球数 $i=0,1,2$，乙黑球数就是 $2-i$，足以决定下一步。按每步各袋均匀取球、两次取球在给定状态下独立的机制，得到转移表：

当前甲黑数	下一步0黑	下一步1黑	下一步2黑
0	$1/3$	$2/3$	0
1	$2/9$	$5/9$	$2/9$
2	0	$2/3$	$1/3$

当前1黑保持1黑，是交换同色，概率 $(1/3)^2+(2/3)^2=5/9$；变0黑是甲取黑、乙取白，概率 $(1/3)(2/3)=2/9$，不是 $1/9$。每行和1。

（1）初态 $p_0=1$，所以 $p_1=5/9$，另外两状态各 $2/9$。第二次

$$p_2=\frac59\frac59+\frac23\left(\frac29+\frac29\right)=\frac{49}{81}.$$

（2）0黑与2黑都以 $2/3$ 转到1黑，故可合并：

$$p_n=\frac59p_{n-1}+\frac23(1-p_{n-1})=\frac23-\frac19p_{n-1}.$$

不动点为 $3/5$，减去并从 $p_0=1$ 连续递推，得

$$p_n=\frac35+\frac25\left(-\frac19\right)^n.$$

起点和递推归纳说明对所有非负整数 $n$ 成立，也满足题问正整数范围；它等价于 $3/5-(2/45)(-1/9)^{n-1}$。

（3）初态与交换规则对调袋名均不变，所以甲0黑与甲2黑等概率。也可用表归纳：若当前两者相等，下一步分别为原0黑的 $1/3$ 加1黑的 $2/9$、原2黑的 $1/3$ 加1黑的 $2/9$，仍相等。故完整分布为

$X_n$	0	1	2
概率	$(1-p_n)/2$	$p_n$	$(1-p_n)/2$

由此 $E(X_n)=p_n+2(1-p_n)/2=1$。有限算几项只能检查，不代替全体 $n$ 的递推与对称证明。

本题结论

（1）5/9、49/81；（2）pₙ=3/5+(2/5)(−1/9)ⁿ；（3）E(Xₙ)=1。

日期问题先解递推，再筛合法整数

先写起点和允许范围。目标若是某方式比另一方式可能，转成 $p_n>1-p_n$ 即 $p_n>1/2$，不是只要求正概率。负递推系数先分奇偶；对 $0<|q|<1$ 的正幂分支，用严格递减证明后续均不满足，不能只试几个日期。最后核实际范围与严格号，极限不能替代有限日期计数。

例题 02 三人的首日与逐日出行

题目

“绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚.甲、乙、丙三人为响应“绿色出行，低碳环保”号召，他们计划每天选择“共享单车”或“地铁”两种出行方式中的一种.他们之间的出行互不影响，其中，甲每天选择“共享单车”的概率为$\frac{1}{2}$，乙每天选择“共享单车”的概率为$\frac{2}{3}$，丙在每月第一天选择“共享单车”的概率为$\frac{3}{4}$，从第二天起，若前一天选择“共享单车”，后一天继续选择“共享单车”的概率为$\frac{1}{4}$，若前一天选择“地铁”，后一天继续选择“地铁”的概率为$\frac{1}{3}$，如此往复.

(1)求3月1日至少有一人选择“共享单车”出行的概率；

(2)记甲、乙、丙三人中3月1日选择“共享单车”出行的人数为$X$，求$X$的分布、期望与方差；

(3)求丙在3月份第$n\left( n=1,2,\cdots ,31\right)$天选择“共享单车”的概率${P}_{n}$，并帮丙确定在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数.

答案与解析

解析

同日三人互不影响，但单车概率各不相同，人数 $X$ 不是同 $p$ 二项。

（1）三人都不用单车的概率为 $(1/2)(1/3)(1/4)=1/24$，至少一人为 $23/24$。

（2）将各人的成败概率逐项相乘，或展开生成多项式

$$(1/2+x/2)(1/3+2x/3)(1/4+3x/4)=\frac{1+6x+11x^2+6x^3}{24},$$

得到完整分布：

$X$	0	1	2	3
概率	$1/24$	$1/4$	$11/24$	$1/4$

总概率为1。期望由表或三个指示相加得 $E(X)=1/2+2/3+3/4=23/12$；同日独立使方差相加，$D(X)=1/4+2/9+3/16=95/144$。

（3）昨日单车时今日单车概率 $1/4$，昨日地铁时今日单车概率 $1-1/3=2/3$。因此

$$P_n=\frac14P_{n-1}+\frac23(1-P_{n-1})=\frac23-\frac5{12}P_{n-1},\qquad P_1=\frac34.$$

不动点 $c$ 满足 $17c=8$，即 $c=8/17$。减去不动点，从 $P_1-c=19/68$ 逐次代入，不除未知差，得

$$P_n=\frac8{17}+\frac{19}{68}\left(-\frac5{12}\right)^{n-1},\quad1\le n\le31.$$

单车概率更大要求 $P_n>1/2$，等价于 $(-5/12)^{n-1}>2/19$。偶数 $n$ 左边负，全部排除；奇数 $n$ 左边正且随 $n$ 增加而严格减小。$n=1$ 成立；$n=3$ 时 $25/144>2/19$；$n=5$ 时 $625/20736<2/19$，以后同奇数分支更小。因此仅3月1日和3日，共2天。

三人之间独立，不表示丙本人跨天独立，不能把首日 $3/4$ 沿用为整月固定率。

本题结论

（1）23/24；（2）分布见表，E=23/12、D=95/144；（3）通式见解析，满足条件2天。

坑点

操作相同不等于固定成功率独立重复

出行题应按昨日状态区分今日条件率，不能沿用首日边际概率。交换球各轮操作相同，但袋内构成改变。应按条件转移加权，不套固定成功率二项。

起点、奇偶和严格号会改变结果

起点0的偏差幂是 $n$，起点1的是 $n-1$；少一次会改首项与奇偶。负公比围绕不动点交替，不是整列单调。日期等号若发生，严格“更大”要排除；用完整范围及归纳、单调证明覆盖所有后续步，不能把有限验算说成一般证明。

上一页有限停止试验：路径、终值与平均费用

下一页方案比较：平均、稳定与达标概率