等差数列的定义与基本量

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等差的关键是所有相邻差都等于同一常数。首项与公差确定通项；两项之间经历多少个公差，要用下标差计算，而不是数中间隔了几项。

一、知识点概念与依据

1. 公差可以正、负或0

从第二项起，每项减去前一项都等于同一个常数d，即 $a_{n+1}-a_n=d$ 对全部允许相邻下标成立，称等差数列，d称公差。项本身可正、负或0，常数列d=0也包括在内。

无限列要求所有正整数n；有限列只检查实际相邻项。仅有一项的数据不能唯一确定公差。若只知道从第三项起的尾部差恒定，还须核a₂−a₁：一致才是全列等差，不一致才可否定，单凭尾部信息不能直接判断。

2. 从首项到第n项，有n−1个公差

从a₂−a₁=d到aₙ−aₙ₋₁=d相加，中间项抵消，得到

a_n-a_1=(n-1)d,\qquad a_n=a_1+(n-1)d.

推导对n≥2进行，n=1代回也符合。通项可写成 $a_n=dn+(a_1-d)$ 。反过来，若 $a_n=pn+q$ 对全部允许下标成立，则相邻差恒为p，是等差列；p=0时为常数列。

不能只看一个尾部公式为一次式就覆盖首项，公式的适用范围也是判定条件。

3. 两项作差，首项被消去

由通项相减，

a_n-a_m=(n-m)d.

当m≠n时， $d=(a_n-a_m)/(n-m)$ 。分子与分母的顺序要一致，同一项与自己比较不能除0来求d。

已知aₘ和d后，可用 $a_n=a_m+(n-m)d$ 求任一允许项，再取n=1恢复首项。下标差才是公差的个数，不是“中间隔着的项数”。

4. 等差中项来自两个相邻差相等

三个数a、A、b依次成等差，等价于A−a=b−A，因此 $2A=a+b$ ， $A=(a+b)/2$ 称等差中项。

对全列，如果逐个连续三项均满足 $2a_{n+1}=a_n+a_{n+2}$ ，就有 $a_{n+2}-a_{n+1}=a_{n+1}-a_n$ ，全部相邻差依次相同；只验某一组三项不够证明无限列。

5. 把条件统一成首项与公差

条件形式	基本量表示
第n项	$a_1+(n-1)d$
两项差	$(n-m)d$
两项和	$2a_1+(m+n-2)d$
前n项和	$na_1+\frac{n(n-1)}2d$

和式也可写为 $S_n=n(a_1+a_n)/2$ ：把同一和正着、倒着各写一遍，对应位置的两项和均为a₁+aₙ，n对相加得2Sₙ=n(a₁+aₙ)。再代通项便得表中形式。

项数n未知时保留正整数条件，再进行除n等变形。只给某一项时，通常不足唯一确定首项与公差。解a₁、d后须代回原条件。方程可能重复、无解或有额外正整数/正项/有限长度限制，不能只因有两条式子就断言唯一；除d前也要单列d=0。

二、考点方法与例题

1. 已给递推，先证明全体相邻差恒定

把原式移项得到差，核它是否与n无关且对全部下标成立。确定公差后，用首项与n−1个公差求通项；最后核初值与原递推。

例题 01 从递推直接得到公差

题目

在数列 $\left\{ {a}_{n}\right\}$ 中， ${a}_{1}=5$ ， $3{a}_{n+1}=3{a}_{n}-2\left( n\in {N}_{+}\right)$ ，则 ${a}_{n}$ 等于（）

A． $\frac{2}{3}n+\frac{17}{3}$ B． $-\frac{2}{3}n+\frac{17}{3}$ C． $-\frac{2}{3}n-\frac{17}{3}$ D． $\frac{2}{3}n-\frac{17}{3}$

答案与解析

解析

原式两边除以非零常数3，再移项，得 $a_{n+1}-a_n=-2/3$ ，对全部正整数n成立。因此公差d=−2/3，

a_n=5+(n-1)\left(-\frac23\right)=-\frac23n+\frac{17}{3}.

选B。n=1代回得5，相邻差也确为−2/3；A、C、D的首项分别为19/3、−19/3、−5，都与题设不符。

本题的判据不是只算几项，而是从完整递推得到所有相邻差为同一数。

本题结论

选B， $a_n=-2n/3+17/3$ 。

2. 两项和差先求项，再按下标差求公差

若条件直接给两项和与差，先加减求出这两项常常更短。然后用两项差除以下标差求d，最后退回a₁；检查和、差两条原条件都成立。

例题 02 第2项到第5项是三个公差

题目

已知等差数列 $\left\{ {a}_{n}\right\}$ 中， ${a}_{2}+{a}_{5}=8$ ， ${a}_{2}-{a}_{5}=-6$ ，则 ${a}_{1}=$ （）

A． $-2$ B． $-1$ C．0 D．1

答案与解析

解析

两条条件相加得2a₂=2，故a₂=1；代回得a₅=7。两项之间下标差为5−2=3，所以

a_5-a_2=3d=6\implies d=2.

a₁=a₂−d=−1，选B。完整通项为aₙ=−1+2(n−1)=2n−3，回代有a₂=1、a₅=7，和为8、差为−6。

d已唯一为2，此时A、C、D所列首项会使a₂分别为0、2、3，不符合a₂=1。不是把下标差3再减1来算公差个数。

本题结论

选B， $a_1=-1$ ， $d=2$ 。

3. 由前n项和先锁定对称中央项

奇数项数时，对称下标的项和相同，可以把总和化为项数乘中央项。也可直接用a₁、d方程，选择更简洁的路线，但求出后仍须核原和。

例题 03 前五项和与第三项

题目

已知等差数列 $\left\{ {a}_{n}\right\}$ 中， ${a}_{2}=3$ ，前5项和 ${S}_{5}=10$ ，则数列 $\left\{ {a}_{n}\right\}$ 的公差为（）

A． $-2$ B． $-\frac{5}{2}$ C． $-1$ D． $-4$

答案与解析

解析

前五项中a₁+a₅=2a₃，a₂+a₄=2a₃，所以S₅=5a₃=10，得a₃=2。又a₂=3，故d=a₃−a₂=−1，选C。

由a₁=a₂−d得a₁=4，前五项为4、3、2、1、0，其和确为10，且a₂=3。题目没有要求全部项正，零项可以保留。

另一种反查：由a₂=3得a₁=3−d，则 $S_5=5a_1+10d=15+5d$ 。令它等于10仍得d=−1；A、B、D代入分别给S₅=5、5/2、−5，都不符合。

本题结论

选C， $d=-1$ 。