乘积与三项展开：找齐搭配，再合并系数

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同一个目标单项式可能由多条选择路线产生。每条路线先乘系数，全部路线再按符号相加；“位置选择数”不是最终系数。先修：二项通项与指数匹配、组合选择。

一、知识梳理

1. 乘积的目标系数来自所有指数搭配

若 $P(x)=\sum_i p_ix^i$ 、 $Q(x)=\sum_jq_jx^j$ 为有限多项式，则 $PQ$ 中 $x^m$ 的系数为

\sum_{i+j=m}p_iq_j.

乘法分配律让 $P$ 的每一项与 $Q$ 的每一项相乘，指数相加。只有 $i+j=m$ 的搭配贡献目标幂；不同搭配得到同一幂后必须合并，不能只保留最显眼的一路。每条系数的负号与常数因子都要保留，最后作带符号加法。

多变量时，每个变量的指数都要匹配：例如目标 $x^my^t$ ，外层 $cx^ay^b$ 应与内层 $x^{m-a}y^{t-b}$ 配对。总次数相同不代表同一单项式， $x^3y^3$ 不能当作 $x^2y^4$ 的贡献。

2. 三项幂的选择次数，有两个层次的条件

对 $(A+B+C)^n$ ， $n$ 为非负整数。每个因子选一部分，若三部分分别选 $i,j,\ell$ 次，则

i+j+\ell=n,\qquad i,j,\ell\ge0\text{ 且为整数}.

先选 $i$ 个位置放 $A$ ，再从剩下 $n-i$ 个选 $j$ 个放 $B$ ，其余全放 $C$ ，位置选择数为

C_n^iC_{n-i}^j=\frac{n!}{i!j!\ell!}.

该类贡献还要乘 $A^iB^jC^\ell$ ，包括其常数幂与负号。若三部分分别含 $x^u,x^v,x^w$ ，目标 $x^m$ 还要求 $ui+vj+w\ell=m$ ；仅满足目标幂却没有满足总选择次数，就不是原来 $n$ 个因子的合法选择。

这是一项由分配律与组合选择推导的拓展方法，不是只背一个阶乘式。也可把 $A+B$ 暂记 $U$ ，先展开 $(U+C)^n$ 再展开 $U$ 的幂；分层选择仍要找齐全部合法贡献。 $n=0$ 单独按常数多项式 $1$ 处理。

3. 先核合法幂，再决定是否重组

短多项式乘二项幂、两二项幂之积，都先检查外层每项所需内层幂是否真的存在，须以通项下标的整数范围为准。包含负指数或分数指数时，每个幂都要在原定义域内合法；不能照搬“目标次数以上的项一律无用”的非负整数幂截断理由。

若有已证完全平方结构，可先重组，省去三项分类。例如 $x-2\sqrt{x}+1=(\sqrt{x}-1)^2$ ，但仍须 $x\ge0$ 。代换新变量后，最后要换回题目所问的原变量幂；不为化简额外除以根变量而丢失零点。

二、考点与方法

方法 1：给每个外层项列一个“所需内层幂”

外层各项逐一检查，分别写出目标指数之差；内层用通项定位并核下标整数范围，不存在的幂贡献为零。每条贡献乘外层实际系数，再全部相加。若要由系数反求参数，对这个总和列方程，最后回核参数和原定义域。

例题 01 二变量乘积的指定单项式

题目

在 $\left( x-y\right){(x+y)}^{5}$ 的展开式中，含有 ${x}^{2}{y}^{4}$ 项的系数为（）

A． $-5$ B．0 C．5 D．10

答案与解析

解析

外层有 $x$ 与 $-y$ 两项，两条路线都要检查：

$x$ 要与内层 $xy^4$ 配对，内层系数 $C_5^4=5$ ，贡献 $5$ 。
$-y$ 要与内层 $x^2y^3$ 配对，内层系数 $C_5^3=10$ ，再乘负号，贡献 $-10$ 。

合并为 $5-10=-5$ ，完整项为 $-5x^2y^4$ 。B 错将不同系数抵消，C 只留第一路，D 只取第二路绝对值。两路选择不同，最后单项式相同，必须相加。

本题结论

A，即 $-5$ 。

例题 02 乘积的常数项与参数

题目

若 $\left( x+2\right){\left( \frac{1}{x}-ax\right)}^{7}$ 展开式的常数项等于 $-280$ ，则 $a=$ （）

A． $-3$ B． $-2$ C．2 D．3

答案与解析

解析

原式要求 $x\ne0$ 。内层通项为

T_{k+1}=C_7^k(-a)^k x^{2k-7},\qquad k=0,\ldots,7.

外层 $x$ 需要内层 $x^{-1}$ ，由 $2k-7=-1$ 得 $k=3$ ，贡献 $C_7^3(-a)^3=-35a^3$ 。外层常数 $2$ 则需要内层常数， $2k-7=0$ 给 $k=7/2$ ，不是整数，所以这一条贡献为零。

总常数项为 $-35a^3$ ，令它等于 $-280$ ，得 $a^3=8$ ，实数解 $a=2$ 。回代满足，其他选项均不符。

原思路“再乘以1”指外层 $x$ 的系数为1，真实单项式搭配是 $x\cdot x^{-1}$ ，不是省掉外层的 $x$ 。常数项也不表示原式可补代 $x=0$ 。

本题结论

C，即 $a=2$ 。

方法 2：三类选择次数，先证明枚举完整

设三类选取次数，联立总次数与目标幂条件；多变量要增加各变量的指数条件。利用非负性消元，列完所有合法整数解，再逐类计算位置数乘常数幂与符号，最后合并。分类完整来自整数约束，不是恰好试中了几个候选。

例题 03 三项幂中的指定系数

题目

${\left( {x}^{2}-x+2\right)}^{6}$ 的展开式中， ${x}^{5}$ 的系数为（）

A． $-252$ B． $-492$ C． $-720$ D． $-732$

答案与解析

解析

设选 $x^2,-x,2$ 的次数分别为 $i,j,\ell$ 。同时满足

i+j+\ell=6,\qquad2i+j=5,\qquad i,j,\ell\ge0\text{ 且为整数}.

于是 $j=5-2i,\ell=1+i$ ，非负性给 $i=0,1,2$ ，恰好只有三类：

$(i,j,\ell)$	位置数乘常数与符号	贡献
$(0,5,1)$	$C_6^0C_6^5(-1)^5 2^1$	$-12$
$(1,3,2)$	$C_6^1C_5^3(-1)^3 2^2$	$-240$
$(2,1,3)$	$C_6^2C_4^1(-1)^1 2^3$	$-480$

系数合计 $-12-240-480=-732$ 。A 漏了 $-480$ ，B 漏了 $-240$ ，C 漏了 $-12$ ；三条都必须计入，不能仅取最大的一条贡献。

本题结论

D，即 $-732$ 。

方法 3：恒等重组后，仍按原变量匹配

先辨认整体结构是否完全相等，保留定义域；再把新的二项通项转换成原变量的幂来定位，不能把 $\sqrt{x}$ 当 $x$ 。重组只改变计算路线，不改变目标系数，也不改变原式允许的自变量范围。

例题 04 含根式的三项幂

题目

${\left( x-2\sqrt{x}+1\right)}^{3}$ 的展开式中， ${x}^{2}$ 的系数为（）

A．20 B．15 C．6 D．3

答案与解析

解析

实数定义域为 $x\ge0$ 。由完全平方

(x-2\sqrt{x}+1)^3=(\sqrt{x}-1)^6.

通项为 $T_{r+1}=(-1)^rC_6^r x^{(6-r)/2}$ ， $r=0,\ldots,6$ 。目标为 $x^2$ ，故 $(6-r)/2=2$ ，得合法整数 $r=2$ ，系数为 $(-1)^2C_6^2=15$ ，完整项 $15x^2$ ，选 B。

也可令 $t=\sqrt{x}\ge0$ ，在 $(t-1)^6$ 中找 $t^4$ ；不是找 $t^2$ 。此过程不除以 $t$ ，允许 $x=0$ 的原定义域完整保留，其他选项均不是对应系数。

本题结论

B，即 $15$ 。

三、坑点辨析

1. 同一目标项要合并所有路线

例题 01 两路贡献为 $5$ 与 $-10$ ，既不能只留一路，也不能见符号相反就当作完全抵消。逐变量指数判断是否同类，总次数相同不够。外层所有项都必须先列出所需内层幂，证明某路不存在后才可省去。

2. 总选择次数、目标指数、系数符号缺一不可

例题 03 的三类来自两条等式与非负整数范围。位置选择数还不是系数，必须乘 $(-1)^j2^\ell$ 。把“是否枚举完整”交给整数约束，把“是否同类”交给各变量指数，不凭外观相近或偶然试值判断。

3. 负指数与根式不照搬多项式截断规则

有负指数时，高幂可与负幂搭配回目标；有根式时须把新变量的幂换回原变量。求常数项不等于原式可代零，重组也不能擅自扩大或缩小定义域。例题 02 保留 $x\ne0$ ，例题 04 保留 $x\ge0$ 。

辨析 01 自编辨析｜高幂能否预先删去

题目

在 $x\ne0$ 时求 $(x^3+x^{-1})(x^{-3}+1)$ 的常数项。能否因目标指数为零，先删掉 $x^3$ ？

答案与解析

解析

不能。 $x^3\cdot x^{-3}=1$ 正是常数贡献；另外三路为 $x^3,x^{-4},x^{-1}$ ，均非常数，所以常数项为1。若全是非负整数指数，高于目标幂的项不可能降回来；这里存在负指数，该截断理由失效。

本题结论

常数项为 $1$ ，不能先删 $x^3$ 。