圆系参数、归一化与完整性

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保留共同点只是起点；特殊参数、原第二圆和半径条件决定结果是否完整。

一、知识点理解概念

1. 圆系是共同条件的一族圆，参数仍有真圆限制

圆系可以是同心、过一点或过两个固定点的一族圆，参数形式本身不保证每个值都是真圆。归一化为 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ 后，必须有 $r^2=(D^2+E^2)/4-F>0$ 。

同心 $(a,b)$ 可写 $(x-a)^2+(y-b)^2=t^2$ ，要求 $t\ne0$ ，半径是 $|t|$ ， $t$ 与 $-t$ 给同一个圆。一般式固定 $D,E$ 而改变 $F$ 时也要保正半径。
过固定点 $(a,b)$ 可写 $(x-a)^2+(y-b)^2+u(x-a)+v(y-b)=0$ 。圆心 $(a-u/2,b-v/2)$ ，半径平方 $(u^2+v^2)/4$ ； $u=v=0$ 只剩一个点，真圆要求 $u^2+v^2>0$ 。

2. 两圆线性组合先归一化，特殊值先分开

设 $S_1=0,S_2=0$ 为二次系数均为 $1$ 的两个不同真圆，且有两个不同公共点。公共点代入 $S_1+\lambda S_2$ 一定为零。展开为

(1+\lambda)(x^2+y^2)+(D_1+\lambda D_2)x+(E_1+\lambda E_2)y+F_1+\lambda F_2=0.

$\lambda\ne-1$ 时，整体除以 $1+\lambda$ ，得到

D=\frac{D_1+\lambda D_2}{1+\lambda},\quad E=\frac{E_1+\lambda E_2}{1+\lambda},\quad F=\frac{F_1+\lambda F_2}{1+\lambda}.

这时才能用圆心 $(-D/2,-E/2)$ 、半径平方 $(D^2+E^2)/4-F$ 。若确有两个不同实公共点，归一化式已含这两点，不可能退为单点或空集；仍把正半径验算写清，避免在并不相交的原料上盲套。

$\lambda=-1$ 时二次项全消，在上述相交前提下只是公共弦所在差直线，不是圆，不允许先除零再“补救”。

3. 有限参数遗漏原第二圆，完整形式可避免遗漏

若有限 $\lambda\ne-1$ 归一化后等于 $S_2$ ，则 $S_1+\lambda S_2=(1+\lambda)S_2$ ，推出 $S_1=S_2$ ，与不同圆矛盾。因此这个有限参数族不含第二原圆，解附加条件后必须单独检查它。

上传KB保留的原说明已经提醒“不含第二圆，注意检验”。不能误认为有限参数族自动完整，也不能误报原说明未作提醒。

另一种完整写法为

S_1+\mu(S_2-S_1)=0,\qquad \mu\in\mathbb R.

为何没有漏圆：任意另一个归一化圆 $S$ 若过这两点， $S-S_1$ 是一次式且在两点为零，故为公共弦差式 $S_2-S_1$ 的某个倍数（同一圆时取零倍数），于是必有上述表示。 $\mu=1$ 正好为第二原圆；与有限 $\lambda$ 的关系是 $\mu=\lambda/(1+\lambda)$ ，该变换取不到 $\mu=1$ 。

4. 圆加直线的构造，常数与半径都不能丢

设 $S=x^2+y^2+Dx+Ey+F$ 为真圆零式， $L=Ax+By+C$ 为真直线零式， $A^2+B^2>0$ 。则

S+tL=x^2+y^2+(D+tA)x+(E+tB)y+F+tC=0

过 $S=0,L=0$ 的公共点，二次系数始终为 $1$ 。圆心为 $(-(D+tA)/2,-(E+tB)/2)$ ，半径平方

R(t)=\frac{(D+tA)^2+(E+tB)^2}{4}-(F+tC)>0.

只有 $S$ 与 $L$ 真有两个不同交点，才由差式的理由表示过这两点的完整圆系。相切只有一个点时不能套这个完整性结论。

5. 一个公共切点时，还隐藏着方向限制

若原圆与 $L$ 相切于 $T$ ，原圆心在过 $T$ 垂直 $L$ 的直线上； $S+tL$ 的圆心沿 $L$ 的法向移动，所以也在这条线上。只要半径正，因圆仍过 $T$ ，它在 $T$ 的切线仍为 $L$ 。

因此这族保留了相切方向，不是所有过 $T$ 的圆。半径为零的特殊参数仍须排除；同心重合没有有效差直线，无公共点时也不能声称构造了“过两实点”的完整圆系。

二、考点方法与例题

1. 圆心附加条件在归一化后代入

先确认两真圆确有两个不同公共点，才设共同两点圆系。将 $\lambda=-1$ 独立排出圆情形，归一化后求圆心、代附加直线或过点条件；候选参数回求正半径、共同点及全部附加条件。原第二圆另代条件，合格补入，不合格给具体理由，不凭有限族断言全解。

例题 01 过两圆交点且圆心受限的圆

求过两圆 ${x}^{2}+{y}^{2}+2x-4y-4=0$ 和 ${x}^{2}+{y}^{2}-4x+2y+2=0$ 的交点，且圆心在直线 $x+2y+2=0$ 上的圆的方程（）

A． ${x}^{2}+{y}^{2}-8x+6y+6=0$ B． ${x}^{2}+{y}^{2}-4x+4y+6=0$

C． ${x}^{2}+{y}^{2}-8x+6y-6=0$ D． ${x}^{2}+{y}^{2}-4x+4y-6=0$

答案与解析

两原圆的圆心为 $(-1,2),(2,-1)$ ，半径平方为 $9,3$ ，都是真圆。相减得 $6x-6y-6=0$ ，即 $x-y-1=0$ ；它到第一圆心的距离平方为 $(-1-2-1)^2/2=8<9$ ，故有两个不同真实公共点。

设 $S_1+\lambda S_2=0$ ，展开为

(1+\lambda)(x^2+y^2)+(2-4\lambda)x+(-4+2\lambda)y-4+2\lambda=0.

$\lambda=-1$ 只给差直线，不是圆；其余归一化后圆心为

\left(\frac{2\lambda-1}{1+\lambda},\frac{2-\lambda}{1+\lambda}\right).

代入 $x+2y+2=0$ 得

\frac{(2\lambda-1)+2(2-\lambda)+2(1+\lambda)}{1+\lambda}=\frac{5+2\lambda}{1+\lambda}=0,

所以 $\lambda=-5/2$ 。代回原组合为 $-3x^2/2-3y^2/2+12x-9y-9=0$ ，整体除以 $-3/2$ ，得到

x^2+y^2-8x+6y+6=0.

圆心 $(4,-3)$ 满足 $4-6+2=0$ ， $r^2=16+9-6=19>0$ ，是真圆；原共同点在组合式中仍为零，选 A。

补齐遗漏检查：原第二圆不在有限 $\lambda$ 族内，但其圆心 $(2,-1)$ 代附加直线得 $2-2+2=2\ne0$ ，不合格，未遗漏另一答案。其余三个选项与已证明唯一的归一化圆方程不同；仅圆心落在线上不足以保证通过两公共点。

2. 用公共弦垂直平分线定位圆心，再配半径

过两个不同点的圆心到两点等距，所以在弦的垂直平分线上。原两圆心也在这条线上，且中心不同，因此它就是原圆心连线。与附加圆心直线联立，相交时唯一定位、平行不同线时无解、重合时仍有多个圆，不能无条件说唯一。

定出圆心后，以到任一公共点的正距离为半径，回验两点与附加条件，这才充分。若另问最小半径，设弦中点 $H$ ，所有允许圆心在垂直平分线上，有 $r^2=OH^2+(AB/2)^2$ ，不受其它限制时在 $O=H$ 取最小半径 $AB/2>0$ ；若有额外圆心范围，仍须先核 $H$ 是否允许。

例题 02 公共弦与附加圆心条件的两个问题

已知两圆 $M:{x}^{2}+{y}^{2}=10$ 和 $N:{x}^{2}+{y}^{2}+2x+2y-14=0$ ．

(1)求两圆的公共弦所在直线的方程；

(2)求过两圆交点且圆心在直线 $x+2y-3=0$ 上的圆的方程．

答案与解析

（1）将第一圆写为 $S_M=x^2+y^2-10=0$ ，第二圆为 $S_N=x^2+y^2+2x+2y-14=0$ 。相减得 $2x+2y-4=0$ ，所以候选公共弦线

x+y-2=0.

联立 $y=2-x$ 与 $x^2+y^2=10$ ，得 $2x^2-4x-6=0$ ，即 $(x-3)(x+1)=0$ 。两个交点为 $(-1,3),(3,-1)$ ，代两原方程均为零，确有真弦。两圆半径分别 $\sqrt{10},4$ ，原圆心 $M=(0,0),N=(-1,-1)$ 不同。

（2）原几何定位法：弦中点为 $(1,1)$ ，弦方向 $(4,-4)$ ，故垂直平分线方向 $(1,1)$ ，方程 $y=x$ ，正是原圆心连线。与 $x+2y-3=0$ 联立，得到唯一圆心 $(1,1)$ 。到交点 $(-1,3)$ 的距离平方为 $(-2)^2+2^2=8$ ，故

(x-1)^2+(y-1)^2=8.

两个公共点代回均为 $8$ ，正半径 $2\sqrt2$ ，全部条件都满足。

圆系交叉验证：设 $S_M+\lambda S_N=0$ ， $\lambda\ne-1$ ，归一化圆心为 $(-\lambda/(1+\lambda),-\lambda/(1+\lambda))$ 。代附加直线： $-3\lambda/(1+\lambda)-3=0$ ，解得 $\lambda=-1/2$ 。归一化后为 $x^2+y^2-2x-2y-6=0$ ，与上式等价。

另查原第二圆，其圆心 $(-1,-1)$ 代附加直线为 $-1-2-3=-6\ne0$ ，不合格； $\lambda=-1$ 只有差线而非圆。原几何法与圆系法都给完整同一结果。