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射影与直线平面角

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先找斜足和垂足，再连接真正的射影。无论翻折还是换目标面，线面角都在同一个射影直角三角形中求。

一、知识点 理解概念

1. 线面角由射影决定

直线 ll 与面 α\alpha 相交于 AA，但不垂直 α\alpha，称为斜线，AA 是斜足。取 ll 上 AA 外一点 PP，作 PH⊥αPH\perp\alpha、H∈αH\in\alpha。AHAH 是 ll 在面上的射影，ll 与 AHAH 的锐角就是线面角。

斜足 AA 是原线与面的交点；垂足 HH 是面垂线的足，二者不要混淆。更换 PP 不改变射影方向：向同一平面所作垂线互相平行，原斜线与这组垂线所定的平面同目标面交于固定直线 AHAH。

2. 用射影直角三角形计算

斜交时 △PAH\triangle PAH 在 HH 处为直角，线面角为 θ=∠PAH\theta=\angle PAH，所以

sin⁡θ=PHPA,cos⁡θ=AHPA,tan⁡θ=PHAH.\sin\theta=\frac{PH}{PA},\qquad\cos\theta=\frac{AH}{PA},\qquad\tan\theta=\frac{PH}{AH}.

PHPH 是对边，AHAH 是邻边，PAPA 是斜边。必须先证垂足，不能拿面内任意线与斜线的夹角代替射影角。

3. 总范围包含两个特殊端点

直线与面的关系线面角
在面内或平行于面规定为 0∘0^\circ
普通斜交0∘<θ<90∘0^\circ<\theta<90^\circ
垂直于面射影退成一点，规定为 90∘90^\circ

总范围为 [0∘,90∘][0^\circ,90^\circ]，不能漏掉 0∘0^\circ。端点情形使用规定，而不是把投影长为零硬代入正切公式。

上传知识资料记载原范围式写成 (0∘,90∘](0^\circ,90^\circ]，漏掉同段已说明的平行或线在面内时的零角。这里依定义补为含零的总范围；普通斜交的锐角范围则仍不含两个端点。

二、考点 方法与例题

1. 翻折后先证明真正的垂足

先分清折叠前后的不变量：同一刚性三角形内的边长和夹角保留，跨越折叠两部分的距离通常改变。找目标面内两条相交线，用两组垂直证明面垂线，再连接射影求角。

例题 01 梯形翻折后的线面角

如图1，已知四边形PABC是直角梯形，AB//PCAB//PC，AB⊥BCAB\perp BC，PC=2AB=2BCPC=2AB=2BC，D是线段PC中点.将△PAD\triangle PAD沿AD翻折，使∠PDC=π2\angle PDC=\frac{\pi }{2}，连接PB，PC，如图2所示，则PB与平面ABCD所成角的正弦值是（    ）

原资料配图
原资料配图

A．104\frac{\sqrt{10}}{4} B．64\frac{\sqrt{6}}{4} C．63\frac{\sqrt{6}}{3} D．33\frac{\sqrt{3}}{3}

答案与解析

设翻折前 AB=BC=a>0AB=BC=a>0。由 PC=2aPC=2a、DD 是 PCPC 中点，得 PD=DC=aPD=DC=a；结合 AB∥PCAB\parallel PC、AB⊥BCAB\perp BC，四边形 ABCDABCD 是边长 aa 的正方形，AD⊥PDAD\perp PD。

沿 ADAD 翻折三角形 PADPAD，保留 PD=aPD=a 及 PD⊥ADPD\perp AD；新条件 ∠PDC=90∘\angle PDC=90^\circ 又给 PD⊥DCPD\perp DC。AD,DCAD,DC 都在面 ABCDABCD 内并交于 DD，故 PD⊥PD\perp 面 ABCDABCD，DD 才是 PP 的垂足。

证明PD垂底面后，PB的射影为BD
证明PD垂底面后，PB的射影为BD

BB 已在底面内，所以 PBPB 的射影为 BDBD，所求角是 ∠PBD\angle PBD。底面正方形有 BD=2aBD=\sqrt2a，于是

PB=PD2+BD2=3a,sin⁡∠PBD=PDPB=33.PB=\sqrt{PD^2+BD^2}=\sqrt3a,\qquad\sin\angle PBD=\frac{PD}{PB}=\frac{\sqrt3}{3}.

选 D；A、B、C 均不是这个直角三角形的对边与斜边之比。翻折后的 PCPC 已不是翻折前那条长度为 2a2a 的底边，不能把原长度搬用到空间中的新线段 PCPC。

2. 目标面不一定是底面

求垂足时也可用完整面面垂直性质：若两平面 α⊥β\alpha\perp\beta，交线为 ll，直线 pp 在 α\alpha 内且 p⊥lp\perp l，则 p⊥βp\perp\beta。必须同时写出面面垂直、交线、直线在其中一面及垂直交线，不能只看到一个直角就断言垂面。

先锁定题目所求的目标面，不自动往底面投影。利用等腰三角形中线和正方形对角线等条件，证过待投影点的线垂直目标面；投影交点与原斜足连接，才是射影。如果题目给体积，可先由相应底面积与垂直高补足长度。

例题 02 正方形底四棱锥中的侧截面

如图，在四棱锥P−ABCDP-ABCD中，底面ABCDABCD是边长为2的正方形，点E,FE, F分别是BD,APBD, AP的中点．

原资料配图
原资料配图

(1)证明：EF//EF//平面PBCPBC；

(2)若PA=PC=22PA=PC=2\sqrt{2}，求直线PCPC与平面PBDPBD所成角的大小．

答案与解析

(1) 连接 ACAC。正方形对角线互相平分，EE 也是 ACAC 中点；FF 是 APAP 中点，故在 △APC\triangle APC 中 EF∥PCEF\parallel PC。

连接AC确认E为中点，从而得到中位线EF
连接AC确认E为中点，从而得到中位线EF

面 PBCPBC 与底面交于 BCBC，EE 不在 BCBC 上，故 EE 不在面 PBCPBC 内，EF⊄EF\not\subset 面 PBCPBC。结合 PC⊂PC\subset 面 PBCPBC，判定得 EF∥EF\parallel 面 PBCPBC。

(2) 连接 PEPE。PA=PCPA=PC，EE 为 ACAC 中点，所以等腰三角形 PACPAC 的中线 PE⊥ACPE\perp AC。正方形对角线又有 BD⊥ACBD\perp AC。PE,BDPE,BD 同在面 PBDPBD 内并交于 EE，因此 AC⊥AC\perp 面 PBDPBD。

C沿AC投影到E，PC在面PBD上的射影是PE
C沿AC投影到E，PC在面PBD上的射影是PE

CC 的垂足为 EE，而 PP 本就在目标面内，所以 PCPC 的射影是 PEPE，所求角为 ∠CPE\angle CPE。在直角三角形 CPECPE 中，CECE 为正方形半条对角线，CE=2CE=\sqrt2，PC=22PC=2\sqrt2，故

sin⁡∠CPE=CEPC=12.\sin\angle CPE=\frac{CE}{PC}=\frac12.

角为锐角，因而为 30∘=π/630^\circ=\pi/6。不要把目标面换成底面；也不能取另一锐角 ∠PCE\angle PCE 作为线面角。

三、坑点 辨析与纠错

垂足 HH 必须同时满足 HH 在目标面内、PHPH 垂直整个面。只在某条面内边上，或只垂直其中一条线，都不能保证是垂足。常用判定要给目标面内两条相交线，垂直关系各有依据。

2. 角顶点在斜足，不在垂足

△PAH\triangle PAH 中，垂足 HH 是直角顶点，斜足 AA 才是线面角顶点。另一个锐角与线面角互余，不能混报。目标面变化时垂足和射影也会变化。若已是平行、在面内或垂面，则单独处理 0∘0^\circ 或 90∘90^\circ，不强行套非退化斜交三角形。