幂函数的奇偶筛选与跨分支不等式

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幂函数的负侧先由根式合法性决定，再由奇偶性连接到正侧。参数题要把定义、方向、对称和整数限制逐层取交；解函数不等式时，还必须区分同侧输入与跨零输入。

一、知识点概念与依据

1. 先对称定义域，再看实际指数

整数幂在自然域上，奇整数指数给奇函数，偶整数指数给偶函数，负整数也如此，但须排0。零指数在非零实数上恒为1，是偶函数，不是奇函数。

有理指数先写最简 $p/q$ 、 $q>0$ 。若 $q$ 偶，负输入非法，自然域只在右侧，不关于0对称，不能判成奇或偶。若 $q$ 奇，则奇次根唯一性给

\sqrt[q]{-x}=-\sqrt[q]x,\qquad f(-x)=(-1)^p f(x).

第一式的依据是右边取 $q$ 次方等于 $-x$ ，且实奇次根唯一。于是 $p$ 奇则函数奇， $p$ 偶则偶；负 $p$ 先排0，取倒数不改变奇偶符号。规则针对已约分的有理数及其根式意义，不能对无理指数问“奇数还是偶数”。原根式若另有限制，仍须保留，不能借指数约分扩域。

2. 反射改变两次顺序，负侧方向不能凭记忆照搬

设 $x_1<x_2<0$ ，则 $0<-x_2<-x_1$ ，取相反数已使输入顺序反转。偶函数换输入符号不换输出，所以负侧与正侧方向相反；奇函数还把输出乘−1，第二次反序使两侧方向相同。这说的是各半轴分别单调。

例如 $x^{-2}$ 正侧减、负侧增； $x^{-3}$ 两侧各减，却不是整个非零域递减：任意负输入在任意正输入之前，负奇幂的输出却负小于正，不满足递减要求。不要把被0隔开的两个区间硬接成一个单调区间。

若题给全实数域的偶函数且负侧递减，可以通过 $f(x)=f(-x)$ 把正输入反射回负侧比较，不能擅自给原题添“两输入都为正”。若实际是平方等偶幂，也可比较绝对值，具体见双输入平方比较。

3. 全域输出符号也要配合原像证明

最简 $p/q$ 的 $q$ 奇且 $p\ne0$ 时，对任意 $y>0$ ，正输入 $x=y^{q/p}$ 合法并输出 $y$ 。若 $p$ 奇，取这个输入的相反数就由奇性输出 $-y$ ；若 $p$ 偶，负输入也不能输出负值。

再查0： $p>0$ 可代0并输出0， $p<0$ 不许0且输出不可能0。因此正奇类值域为实数、正偶类为非负实数；负奇类值域为非零实数、负偶类为正实数。限制区间必须重新核验这些原像是否还在区间内，不能直接沿用自然值域。

4. 参数筛选是条件取交，不是猜一个指数

对 $A(m)x^{B(m)}$ ，先解系数 $A(m)=1$ ，保留全部候选；原系数已为1则不必再造方程。正侧严格增要求 $B(m)>0$ ，严格减要求 $B(m)<0$ ；指数0恒为1，不属于任一严格方向，且不能通过原点。正指数才允许原点且在那里输出0。

若参数还限制为整数或正整数，将区间与参数集合取交，再逐个计算真正的指数 $B(m)$ 。参数 $m$ 自身的奇偶不代表 $B(m)$ 的奇偶。分数指数更要先查根限制与对称域，不能只看分子。

最后回代形式、参数范围、自然域、奇偶恒等式和方向，所有题设都通过才保留。多个参数可能给同一解析式，报告参数集合与解析式时要分别说清；“函数唯一”不能推出“参数唯一”。问充分必要关系则另查两个方向，而不是因为求出一根就认定必要。

三条件短例。若 $(m^2-m-1)x^{m-1}$ 是幂函数、偶且正侧减，系数给 $(m-2)(m+1)=0$ 。 $m=2$ 得 $x$ ，奇且正侧增，不合； $m=-1$ 得 $x^{-2}$ ，域非零且对称，换号平方不变。任意 $0<u<v$ 有

\frac1{u^2}-\frac1{v^2}=\frac{(v-u)(v+u)}{u^2v^2}>0,

所以其正侧严格减，负侧却因偶性严格增。唯一参数−1；“2”“2或−1”“不存在”都分别与已核条件冲突。此短例与下面完整奇性筛选使用同一系数方程，但保留不同指数与额外方向条件。

5. 负奇幂不等式先分四种符号组合

实际函数若是负奇整数幂，或按奇根口径的负奇分子有理幂，其域为非零实数，输出与输入同号，两个半轴分别递减。记两个输入为 $u,v$ ，先要求都非零。

输入类别	对 $f(u)<f(v)$ 的判断	对 $f(u)>f(v)$ 的判断
$u,v$ 同正	等价 $u>v$	等价 $u<v$
$u,v$ 同负	等价 $u>v$	等价 $u<v$
$u<0<v$	负输出小于正输出，成立	不成立
$v<0<u$	不成立	正输出大于负输出，成立

四类互斥并覆盖全部非零输入。同侧的反序结论必须同时保留本侧符号；异侧只需看输出正负。对负偶幂，两侧都正，不能照搬异侧符号判断，应比较绝对值后用正侧方向，或回到原倒数式；交叉相乘前先查分母符号，否则可能需要反向。负偶根幂更只允许正输入，根本没有负侧分支。

二、考点方法与例题

1. 条件分层筛选，指数另式出现时重新代入

先系数、再方向与参数集合、再完整奇偶关系，最后回代。若求完原函数参数后，待比较式用另一个参数指数，必须重新计算那个指数，不能沿用前一个。原函数的指数用于筛选参数，待比较式的指数才决定不等式中的方向，两者作用不同。

2. 同指数比较先确认两个输入在同一合法段

同一幂函数在正侧用指数符号判方向；负输入先判根的意义，再由反射证明负侧方向。先排真正的输入顺序，别把正数的大小直接抄成负数的大小；近似值也不能让不同实数被当成相等。

3. 每类内取交，各合法类别间取并

把表中的输入符号与比较顺序同时代入 $u,v$ 的原表达式。即便某类最终空集，也指出哪两条件矛盾；最后合并全部合法类。使任一输入为0的点必须排除，严格比较的等值点也不接入。区间内取一点只作方向复核，不代替完整分类证明。

例题 01 系数与奇性共同筛选参数

题目

已知函数 $f(x)=({m}^{2}-m-1){x}^{{m}^{2}-2m-2}$ 是幂函数，且为奇函数，则实数 $m=$ （）

A． $2$ 或 $-1$ B． $-1$

C． $4$ D． $2$

答案与解析

解析

幂函数系数必须为1，故 $m^2-m-1=1$ ，即 $(m-2)(m+1)=0$ ，全部候选为2、−1。

$m=2$ 时实际指数 $4-4-2=-2$ ，得到 $1/x^2$ ，域为非零实数，换号输出不变；在±1都输出1，违反奇性，排除。 $m=-1$ 时实际指数 $1+2-2=1$ ，得到 $f(x)=x$ ，域为实数且 $f(-x)=-f(x)$ ，符合。

所以B的−1唯一。A多纳入已排除的2，D只有不合奇性的2，C的4甚至给系数11而非1。不是判断参数本身奇偶，而是先算指数再查函数。

本题结论

B。

例题 02 正负输入下的同指数比较

题目

比较下列各组数的大小．

(1) ${3.14}^{-\frac{5}{2}}$ 与 ${\pi }^{-\frac{5}{2}}$ ；

(2) ${\left( -\sqrt{2}\right)}^{-\frac{3}{5}}$ 与 ${\left( -\sqrt{3}\right)}^{-\frac{3}{5}}$ ；

(3) ${0.31}^{\frac{5}{6}},{0.35}^{\frac{5}{6}}$ ．

答案与解析

解析

（1） $x^{-5/2}=1/\sqrt{x^5}$ 的域为正实数，正有理幂递增且正，取倒数反序，所以递减。由 $0<3.14<\pi$ 得 $3.14^{-5/2}>\pi^{-5/2}$ 。不能将 $\pi$ 近似成3.14后判相等。

（2） $h(x)=x^{-3/5}=1/\sqrt[5]{x^3}$ 的域为非零实数；奇次根唯一性给 $h(-x)=-h(x)$ ，故奇。若 $u<v<0$ ，则 $0<-v<-u$ ，正侧减性给 $h(-v)>h(-u)$ ，用奇性并乘−1反向，得到 $h(v)<h(u)$ ，所以负侧也减。

题设 $-\sqrt3<-\sqrt2<0$ ，因此输入 $-\sqrt2$ 更大而输出更小，得到 $(-\sqrt2)^{-3/5}<(-\sqrt3)^{-3/5}$ 。这里没有涉及跨0的减性。

（3） $x^{5/6}$ 的域为非负实数，正侧由六次根和正整数幂连续保序而递增； $0.31<0.35$ 都合法，故 $0.31^{5/6}<0.35^{5/6}$ 。三个比较均同时核了输入合法性与所在分支。

本题结论

（1） $>$ ；（2） $<$ ；（3） $<$ 。

例题 03 整数指数候选与双输入比较

题目

已知幂函数 $f\left( x\right)={x}^{\frac{4m-{m}^{2}}{2}}\left( m\in Z\right)$ 在 $\left( 0,+\infty \right)$ 上单调递增，且 $f\left( x\right)$ 的图象关于 $y$ 轴对称.

(1)求 $m$ 的值及函数 $f\left( x\right)$ 的解析式；

(2)若 $f\left( a-2\right)<f\left( 1+2a\right)$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

答案与解析

解析

（1）正侧严格增要求 $(4m-m^2)/2>0$ ，即 $m(4-m)>0$ ，所以 $0<m<4$ 。结合整数条件，候选1、2、3。

$m=1$ 或3给相同指数 $3/2$ ，自然域只有非负侧，不可能纵轴对称，两个参数都排除； $m=2$ 给指数2，域为实数且 $(-x)^2=x^2$ ，符合。因此 $m=2,f(x)=x^2$ 。同一解析式对应多个候选并不允许少查其中一个。

（2）两输入均全域合法。平方比较可先用偶性写成绝对值比较，再利用平方在非负侧递增；或直接展开：

(a-2)^2<(1+2a)^2\iff3a^2+8a-3=(3a-1)(a+3)>0.

两个零点−3、 $1/3$ ，乘积在两根外正、根间负，故 $a<-3$ 或 $a>1/3$ 。等值端点因严格号排除。不能把平方当作全实数递增，直接只比较 $a-2$ 和 $1+2a$ 。

本题结论

（1） $m=2,f(x)=x^2$ ；（2） $(-\infty,-3)\cup(1/3,+\infty)$ 。

例题 04 全实数偶关系与限制区间值域

题目

已知幂函数 $f\left( x\right)={x}^{-{m}^{2}-2m+3}\left( -2<m<2,m\in Z\right)$ 满足：

① $f\left( x\right)$ 在 $\left( 0,+\infty \right)$ 上为增函数，

②对 $\forall x\in R$ ，都有 $f\left( -x\right)-f\left( x\right)=0$ ，

求同时满足①②的幂函数 $f\left( x\right)$ 的解析式，并求出 $x\in \left[ 1,4\right]$ 时， $f\left( x\right)$ 的值域.

答案与解析

解析

整数条件 $-2<m<2$ 给候选−1、0、1。正侧严格递增要求

-m^2-2m+3=-(m+3)(m-1)>0,

所以 $-3<m<1$ ，与整数范围取交只剩−1、0。 $m=1$ 给指数0，常函数不满足严格增，而且原 $x^0$ 不能在0处定义，亦不符全实数的关系要求。

$m=-1$ 给指数4，域为实数且 $(-x)^4=x^4$ ，符合； $m=0$ 给指数3，在合法输入1有 $f(-1)=-1\ne1=f(1)$ ，排除。因此唯一 $f(x)=x^4$ 。

在 $[1,4]$ 正侧递增，两端给 $1\le x^4\le256$ 且都能取得。对任意 $y\in[1,256]$ ，取 $x=\sqrt[4]y$ ，根式保序给 $1\le x\le4$ ，代回输出 $y$ ，所以值域确为 $[1,256]$ ，不是只求到两个界。

本题结论

$m=-1,f(x)=x^4$ ；值域 $[1,256]$ 。

例题 05 参数筛选后的双输入比较

题目

已知幂函数 $f\left( x\right)=\left( 3{m}^{2}-m-1\right){x}^{3m-1}$ 是定义域上的奇函数，则满足 $f\left( a+2\right)<f\left( 4-2a\right)$ 的实数 $a$ 的取值范围为（）

A． $\left( \frac{2}{3}+\infty \right)$ B． $\left( -\infty ,-2\right)\cup \left( -2,2\right)$

C． $\left( -\infty ,-2\right)\cup \left( \frac{2}{3},2\right)$ D． $\left( -\infty ,2\right)$

答案与解析

解析

原资料A的区间分隔逗号缺失；题中保留其字面，以下将其通常意图理解为 $(2/3,+\infty)$ 来比较，不将缺逗号的写法作为规范区间记号。

系数条件 $3m^2-m-1=1$ 化为 $(3m+2)(m-1)=0$ ，候选1、 $-2/3$ 。实际指数 $3m-1$ 分别为2、−3；奇性排除平方，保留 $m=-2/3$ ，函数为 $f(x)=x^{-3}$ 。

记 $u=a+2,v=4-2a$ ，先排 $a=-2,2$ 。函数在两个半轴各减且输出与输入同号，原小于号分四类：

同正： $u>v>0$ ，要求 $a>-2,a<2,3a>2$ ，得 $2/3<a<2$ 。
同负：符号已同时要求 $a<-2$ 与 $a>2$ ，不可能。
负正： $u<0<v$ ，负输出小于正输出，自动满足；联立得 $a<-2$ 。
正负：输出正大于负，不满足原小于号。

合法类取并，得 $(-\infty,-2)\cup(2/3,2)$ 。C正确。A若按缺逗号的通常区间意图理解，不仅漏负正类，还纳入超过2的错误点；B错误填入同正范围中不成立的部分，D还纳入零输入与不成立区间。严格等值 $a=2/3$ 与两零输入都不接入。

本题结论

C，即 $(-\infty,-2)\cup(2/3,2)$ 。

例题 06 原函数与待比较幂式的不同指数

题目

已知幂函数 $y={x}^{{m}^{2}-2m-3}(m\in Z)$ 的图象关于 $y$ 轴对称，且在 $(0,+\infty )$ 上单调递减，则满足 ${(a+1)}^{-\frac{m}{5}}>{(3-2a)}^{-\frac{m}{5}}$ 的实数 $a$ 的取值范围为（）

A． $(-\infty ,-1)\cup (\frac{2}{3},\frac{3}{2})$ B． $(-\infty ,\frac{2}{3})$

C． $(-1,\frac{2}{3})\cup (\frac{3}{2},+\infty )$ D． $(0,\frac{3}{2})$

答案与解析

解析

原函数正侧减，要求 $m^2-2m-3=(m-3)(m+1)<0$ ，所以 $-1<m<3$ 。整数候选0、1、2给指数−3、−4、−3，纵轴对称仅保留 $m=1$ 。

但待解式的指数是另一个表达式 $-m/5=-1/5$ ，不是原函数的−4。实际应研究 $h(t)=t^{-1/5}=1/\sqrt[5]t$ ，域非零，输出同号且两侧分别减。

记 $u=a+1,v=3-2a$ ，先排 $a=-1,3/2$ 。对原大于号：

同正要求 $u<v$ ，联立 $a>-1,a<3/2,3a<2$ ，得 $-1<a<2/3$ 。
同负要求 $a<-1$ 与 $a>3/2$ ，矛盾，无解。
正负时正输出大于负输出，联立给 $a>3/2$ 。
负正时方向相反，不成立。

所以完整范围 $(-1,2/3)\cup(3/2,+\infty)$ ，C正确。A是反方向的区间；B多放非法及不成立的负侧点，并漏正负类；D多放 $(2/3,3/2)$ ，又漏其他合法区间。严格等值点 $2/3$ 与两个零输入都排除。

本题结论

C，即 $(-1,2/3)\cup(3/2,+\infty)$ 。