随机试验与样本空间：先说清记录什么

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列结果之前，先约定一次试验的完整动作、观察时点和记录格式。顺序、身份、放回规则、只记录某个量，都可能改变样本空间；列得完整也不代表各结果等可能。可复习集合运算。

一、知识梳理

1. 一次试验的条件、时点与完整记录

随机试验是在约定条件下进行或观察随机现象：可以按同一规则重复，可能结果事先明确且不止一个，每次恰出现一个结果，但事前不能确定是哪一个。先说明“一次做什么、记录什么”，再谈结果。

样本点不是从一次试验中随意截取的中间信息。若规定连取两球、记录两次编号，只记第一球还不是完整结果；若规定只观察数位和，则和的值就是约定的完整记录。

“随机”相对于约定的试验和时点。一个已经发生的事实，其真假已确定；我们尚未获知它，不自动等于它仍是事前尚未发生的随机结果。若要对未知的过去事实建立概率模型，需要另说清信息状态和模型，不能混用题目的观察时点。

2. 样本点、样本空间、事件不是同一种对象

一个完整结果叫样本点，记作 $\omega$ ；全部样本点构成样本空间 $\Omega$ 。有限样本空间可写成 $\Omega=\{\omega_1,\ldots,\omega_n\}$ ，须非空， $n\ge1$ 。非退化随机试验至少有两个可能结果； $n=1$ 是退化的确定情形，其有限概率模型仍可讨论。

事件 $A$ 是 $\Omega$ 的子集。本次结果 $\omega\in A$ 当且仅当事件 $A$ 发生；不是说 $A$ 中所有结果同时出现。只含一个样本点的事件 $\{\omega\}$ 叫基本事件，结果 $\omega$ 与集合 $\{\omega\}$ 类型不同。各基本事件不能同时发生，并且合起来覆盖整个样本空间。

必然事件为 $\Omega$ ，不可能事件为空集 $\varnothing$ 。“事件”广义包含这两者；分类题中的“随机事件”通常狭义指可能发生也可能不发生。原资料“必然事件”定义中把主语误写成 $A$ ，应为“ $\Omega$ 作为自身的子集”，不是任意 $A$ 都会发生。

对象	含义	集合层次
样本点	一次试验的一条完整记录	一个结果
样本空间	按约定记录的全部可能结果	全集 $\Omega$
事件	满足某条件的结果集合	$\Omega$ 的子集

3. 记录规则决定顺序、身份和重复

先后或角色不同：第1次、第2次，或两个不同人的结果，应保留相应位置；有序对 $(a,b)$ 与 $(b,a)$ 在 $a\ne b$ 时不同。
只取一组、未记录顺序：同一组只列一次，可按编号从小到大记录，避免把 $AB$ 与 $BA$ 重复列出。
同类仍有不同身份：两颗红球可以分别记为 $A,B$ ，颜色相同并不使它们变为同一单位。
放回与不放回：放回允许同一身份再次出现；不放回禁止同一身份重复，不禁止同类的不同单位同时出现。

可按第一项分支，再逐行列第二项的合法结果，或用列表、树状分支。每条完整合法路径对应一个结果；最后核对全部分支是否覆盖、是否重复、是否违反机制。

4. 合并记录后，不能自动均分概率

只记录数位和，会把不同两位数合并；只记录颜色，会把不同球身份合并。粗记录仍可以构成样本空间，却未必各点等可能。有限结果数本身不能保证可用“有利点数除以总点数”。

若用有序机制计算只观察无序组的事件，须检查每组如何由有序路径合并，并使分子分母使用同一种记录；不能只把分子去掉正反次序，分母仍用有序数。完整列举与等可能性是两项不同检查。

二、考点与方法

方法 1：先定观察变量，再列出它全部能取的值

不把试验动作中出现的所有对象都当作样本点。先看题目实际记录的是原对象、一次序列，还是某个函数值；核最小、最大与中间值是否都能实现。若准备进一步算概率，再检查合并了多少原始结果。

例题 01 数位和的样本空间

题目

试验 $E$ ：“任取一个两位数，观察个位数字与十位数字的和的情况”，则该试验的样本空间为（）

A． $\left\{ 10,11,\cdots ,99\right\}$ B． $\left\{ 1,2,\cdots ,18\right\}$ C． $\left\{ 0,1,\cdots ,18\right\}$ D． $\left\{ 1,2,\cdots ,10\right\}$

答案与解析

解析

题目观察的是数位和，不是两位数本身。十位数字为1至9，个位为0至9，最小和为1、最大为18；1至9可用10、20、……、90实现，10至18可用19、29、……、99实现，因此

\Omega=\{1,2,\ldots,18\}.

选 B。A 列的是原两位数；C 多出无法出现的0；D 漏掉11至18。

若额外假定10至99等可能被取，和为1只有10这一种原数，和为2有11、20两种，概率分别为 $1/90$ 、 $2/90$ ，并不都是 $1/18$ 。题目问样本空间，不需要擅自附加这个均匀假设；这里的条件计算只说明合并可能破坏等可能性。

本题结论

B，样本空间为 $\{1,2,\ldots,18\}$ 。

方法 2：先写一条完整记录的格式，再不重不漏列举

明确试验次数、放回机制、顺序与单位身份，先固定第一项，再列其后所有合法项。无序组用统一排序，只列一次。最后逐个检查样本点是否合法；若题目问基本事件，还要在单个结果外加集合括号。

例题 02 三颗球与三种取法

题目

箱子中有三颗球，编号 1，2，3．分别依下列规定取球并观察编号，试写出下列三个试验的样本空间：

(1)一次取一球，取后放回，连取两次．

(2)一次取一球，取后不放回，连取两次．

(3)一次取两球．

答案与解析

解析

（1）每次取后放回，两次都可取到1、2、3。记录先后，样本空间为

\begin{aligned} \Omega_1=\{&(1,1),(1,2),(1,3),\\ &(2,1),(2,2),(2,3),\\ &(3,1),(3,2),(3,3)\}. \end{aligned}

共 $3\times3=9$ 个点，包括重复身份。

（2）不放回，只禁止同一身份再出现，因此删去 $(1,1),(2,2),(3,3)$ ：

\Omega_2=\{(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)\},

共 $3\times2=6$ 个点，正反次序仍不同。

（3）一次取两球，未观察先后，样本点是一组身份：

\Omega_3=\bigl\{\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\}\bigr\},

共3个点。原解“1与2”表示一组，不是有序对。若用等可能的有序不放回机制实现此试验，每个无序组恰由两条有序路径合并，须对应地合并概率，不能把删掉路径当作概率已经核过。

本题结论

三个样本空间如解析，样本点数分别为 $9,6,3$ 。

例题 03 两红一白取两球

题目

从放有两个红球、一个白球的袋子中一次任意取出两个球，两个红球分别标记为 $A$ 、 $B$ ，白球标记为 $C$ ，则它的一个样本空间可以是（）

A． $\left\{ AB,BC\right\}$ B． $\left\{ AB,AC,BC\right\}$

C． $\left\{ AB,BA,BC,CB\right\}$ D． $\left\{ AB,BA,AC,CA,CB\right\}$

答案与解析

解析

一次取一组、不记录先后，结果为 $AB,AC,BC$ 。 $AB$ 是两颗红球； $AC$ 与 $BC$ 都一红一白，但红球身份不同，所以是两个结果。

A 漏掉 $AC$ ；C 虽重复列出 $AB/BA$ 、 $BC/CB$ ，仍漏掉 $AC$ 。B 按每个无序结果只列一次的规范，完整写出三个不同结果，是原解预期答案。

但 D 写的是 $\{AB,BA,AC,CA,CB\}$ 。在不记录顺序的约定下， $AB=BA$ 、 $AC=CA$ 、 $CB=BC$ ，集合中重复列出的元素不会增加元素。因此 D 也表示 $\{AB,AC,BC\}$ ，并没有漏掉 $BC$ 。资料补讲用“重复且漏掉 $BC$ ”排除D并不成立。

若要求规范的不重复列举，可保留原解选B的预期；若严格按无序组与集合相等来判断，B、D表示同一样本空间，原题不足以形成唯一单选。

例如 $AB$ 是一个结果，而 $\{AB\}$ 是只含这个结果的基本事件；整个样本空间为 $\{AB,AC,BC\}$ 。不放回并不禁止两个不同的红球同时取出。

本题结论

原解预期B；严格按无序集合解释时B、D等价，唯一单选不足。

例题 04 家庭两孩的可能记录

题目

一个家庭生两个小孩，所有的样本点有（　　）

A．（男，女），（男，男），（女，女）

B．（男，女），（女，男）

C．（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）

D．（男，男），（女，女）

答案与解析

解析

按原解以出生先后记录，并使用题面给出的男、女两类简化模型；只讨论可能结果，不附加出生率或独立性假设。

按第一个、第二个孩子的位置记录，完整结果为（男，男）、（男，女）、（女，男）、（女，女）。两个异性次序不同，不能合并。

C 齐全。A 漏（女，男）；B 漏两个同性结果；D 漏两个异性结果。

原题没有给出各类出生概率，也没有两次独立性条件，因此“四个样本点”不推出每个点概率为 $1/4$ 。这是给定记录模型的列举，不是对现实出生分布作统计结论。

本题结论

C，四个有序结果均应保留。

方法 3：用可行结果和反结果分类，不先比概率大小

先固定试验、规则和时点，再问是否有符合目标的实际允许结果、是否有不符合的实际允许结果：两者都有则为狭义随机事件；全符合则必然；全不符合则不可能。用容量、规则或定理证明不存在，不能凭“几乎见不到”。

一次实际发生并不能证明事前必然，少见也不等于不可能。概率为0或1的反向分类，只能在每个样本点都有正概率的有限模型中直接使用，不能代替一般的逻辑检查。物理比喻还须保留课堂模型条件，不推广成所有现实情境的绝对事实。

例题 05 红蓝卡片的事件分类

题目

已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断不正确的是（）

A．事件“都是红色卡片”是随机事件

B．事件“都是蓝色卡片”是不可能事件

C．事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件

D．事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件

答案与解析

解析

A：有5张红卡，取3张全红可以实现，也可以取到蓝卡，故全红是随机事件，该判断正确。

B：只有2张蓝卡，取3张不可能全蓝，故该判断正确。依据是容量不足，不是“暂未观察到全蓝”。

C：至少一蓝可以发生，但也能取3张全红，所以并非必然，该判断不正确。

D：一红两蓝能实现，也有其他组成，故是随机事件，该判断正确。

题目问“不正确”的判断，选 C；分类不必先求每种结果的概率。

本题结论

C。

例题 06 既定日期与事件分类

题目

下列事件中，随机事件的个数是（）

①2020年8月18日，北京市不下雨；

②在标准大气压下，水在4℃时结冰；

③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签；

④向量的模不小于0．

A．1 B．2 C．3 D．4

答案与解析

解析

这道题没有交代天气观察时点，而题中日期已经过去。保留原题作为条件辨析，不能当作无歧义单选题使用；不补造当日天气记录。

③按给定抽签模型，可抽到1也可抽到其他号，是随机事件；④向量模按定义非负，是必然事件。②按普通纯水、常压平衡的课堂模型，不把4摄氏度结冰列为允许结果；不能把这一简写泛化为各种物理系统的无条件定律。

歧义在①：若设想在2020年8月18日之前观察未来该日是否下雨，可在随机天气模型下把①与③均列为随机，对应原解 B。若按该日期之后对已发生事实作确定性分类，又不另设针对未知过去事实的信息概率模型，则①真假已经确定，不因未给天气资料而自动成为尚未发生的随机试验；此口径下只有③是随机，对应 A。

原资料直接给 B，缺少事前观察时点说明。这里保留该答案的适用口径，不断言当日究竟是否降雨，也不把不同口径悄悄改成同一道确定单选。

本题结论

原解为 B，但需补明事前天气观察口径；题面未交代时点，不能无条件唯一判 B。