正态统计应用：模型人数与后续抽样

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样本频率、总体模型概率和后续抽样分布是三个层次。每问换对象时，要重新检查参数、事件和抽样机制。

知识点

样本给参数估计，不给自动正态证明

已观察样本给频率、平均数和标准差；采用正态模型才可估计总体区间概率；随后抽取对象，又可能建立新的离散变量。样本平均数、标准差可估计 $\mu,\sigma$ ，不是总体参数已精确知道。仅均值方差相同不保证分布相同；即使直方图近钟形，也只是拟合依据，不证明总体精确正态。

频率直方图纵轴为“频率/组距”，组宽 $w_i$ 、柱高 $h_i$ ，该组频率为 $f_i=h_iw_i$ ，应有 $\sum_i f_i=1$ 。用组中点 $m_i$ 代表组内数据，估计

\bar x\approx\sum_i m_if_i.

组内位置未给，中点替代会丢失信息，不能倒称精确原始平均。题目若再要求四舍五入参数，按要求执行但保留近似性质。真实有限、非负或有满分的数据与整个实轴的正态模型不同，须有题给正态/近似正态前提或拟合并声明采用模型。

人数规模与抽样模型的分工

对象或机制	可计算什么	不能自动推什么
$N$ 个对象各有达标概率 $p$	人数期望 $Np$ ，由指标期望相加，不需独立	不保证实际恰为取整人数
固定 $N$ 次独立同 $p$	达标数可用二项	仅单次边际 $p$ 不足以保证独立
固定名单 $N$ 人含实际 $K$ 名达标者，不放回抽 $n$ 人	达标数用超几何	不能以模型估计替换真实 $K$ 后称精确
已知某人在含 $K$ 人的一组内，均匀抽 $n\le K$ 人	该人入选率 $n/K$	不再乘其属于该组的总体概率

最后一行由各人对称且总入选 $n$ 人得到，单人率不要求多人联合独立。正态描述单个连续测量值，抽到人数是另一个离散变量，不自动仍正态；也不能擅自用中心极限定理为任意有限样本添正态。

考点

估人数与名次先明确是哪一尾

读 $\mu,\sigma$ ；难度系数若定义为平均/满分，先乘满分求平均。
及格或达标写相应事件；高分名次估前面有多少人，用上尾，不用下尾或完整中央区。
将阈值化为 $\mu+k\sigma$ ， $k$ 不必为整数，按题给表或拆面积求概率。
乘人数并按要求舍入，仍只是大致人数/名次。同分规则、是否计本人会影响精确排序，模型没有提供实际名单。

例题 01 竞赛成绩区间人数

题目

学校有1000名学生生参加了“希望杯”数学竞赛，此次竞赛成绩 $X$ 服从正态分布 $N(75,100)$ ，估计竞赛成绩在 $65$ 分到 $85$ 分之间的人数约为（）人.

（参考数据 $P(\mu -\sigma <X<\mu +\sigma )=0.6826$ ， $P(\mu -2\sigma <X<\mu +2\sigma )=0.9544$ ， $P(\mu -3\sigma <X<\mu +3\sigma )=0.9974$ ）

A． $683$ B． $342$ C．954 D．477

答案与解析

解析

$N(75,100)$ 的方差为100，故 $\sigma=10$ 。65、85恰为 $\mu\pm\sigma$ ，按题给参考概率0.6826，人数规模 $1000\times0.6826=682.6$ ，约683，选A。B不是目标人数；按题给数据，半区人数为341.3，也不是342，C、D误用了两倍标准差中央或半区。这不保证实际恰有683人。

本题结论

例题 02 高分对应的大致名次

题目

某次高二质量抽测中，学生的数学成绩 $X$ 服从正态分布 $N\left( 96,144\right)$ ．已知参加本次考试的学生约有10000人，如果小明在这次考试中数学成绩为120分，则小明的数学成绩在本次抽测的名次大约是（　　）

附：若 $X\sim N\left( \mu ,{\sigma }^{2}\right)$ ，则 $P\left( \mu -\sigma <X<\mu +\sigma \right)=0.6827$ ， $P\left( \mu -2\sigma <X<\mu +2\sigma \right)=0.9545$

A．第228名 B．第455名 C．第1587名 D．第3173名

答案与解析

解析

$\sigma=\sqrt{144}=12$ ，120为 $\mu+2\sigma$ ，镜像72为 $\mu-2\sigma$ 。上尾概率约 $(1-0.9545)/2=0.02275$ ，乘约10000人得227.5，大致第228名，选A。B用了双尾，C、D误用一倍标准差尾部。总人数与分布均为估计语境，不能据此声称精确排序。

本题结论

某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数 $=$ 平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（）附：若 $X\sim N\left( \mu ,{\sigma }^{2}\right)$ ，记 $p\left( k\right)=P\left( \mu -k\sigma \le X\le \mu +k\sigma \right)$ ，则 $p\left( 0.75\right)\approx 0.547,p\left( 1\right)\approx 0.683$ ．

A．136人 B．272人 C．328人 D．820人

答案与解析

解析

由题给难度定义， $\mu=0.49\times150=73.5$ ， $\sigma=22$ 。90比均值高16.5，即 $0.75\sigma$ ，镜像为57。题给中央概率 $p(0.75)\approx0.547$ ，所以及格上尾约 $(1-0.547)/2=0.2265$ 。人数 $1200\times0.2265=271.8$ ，约272，选B。不能改用整数倍标准差的另一张表。连续模型中端点开闭不改变概率，真实离散记分仍须把90分计入及格。

本题结论

每一问重新核对象与抽样机制

先按柱面积及中点求估计参数，再在题给模型中算总体单次概率。后问若变成样本子组内抽取，必须使用实际组数与不放回机制；总体正态概率不能代替子组比例。若只说按分布随机抽取而未给独立，须明确采用的二项解释及有限不放回的不同结论。概率分布要含全合法值、和1，众数、期望与观察数不同。

例题 04 直径模型与样本抽取

题目

智利的车厘子在中国市场上非常受欢迎，尤其是在春节前后，成为果品市场的“销售冠军”.进口水果办会对智利车厘子进行了分级，标准主要依据果实直径进行划分，通常分为以下几个等级：0级；直径在24mm到26mm之间；J级：直径在26mm到28mm之间；JJ级：直径在28mm到30mm之间；JJJ级：直径在30mm到32mm之间；JJJJ级：直径在32mm以上.某商贸公司根据长期检测结果，发现每批次进口车厘子的直径 $X$ 服从正态分布 $N\left( \mu ,{\sigma }^{2}\right)$ 并把直径不小于 $30 mm$ 的车厘子称为一等品，其余称为二等品.现从某批次的车厘子中随机抽取100颗（直径位于24mm至34mm之间）作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.

(1)根据长期检测结果，车厘子直径的标准差 $s\approx 1$ ，用标准差 $s$ 作为 $\sigma$ 的估计值，用样本平均数 $\overline{x}$ （ $\overline{x}$ 按四舍五入取整数）作为 $\mu$ 的近似值.若从该批次中任取一颗，试估计该颗车厘子为一等品的概率（保留小数点后两位数字）；（①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N\left( \mu ,{\sigma }^{2}\right)$ ，则 $P\left( \mu -\sigma <ξ<\mu +\sigma \right)\approx 0.6827$ ， $P\left( \mu -2\sigma <ξ<\mu +2\sigma \right)\approx 0.9545$ ， $P\left( \mu -3\sigma <ξ<\mu +3\sigma \right)\approx 0.9973$ ）

(2)若从样本中直径在 $[24,26)$ 和 $\left[ 32,34\right]$ 的车厘子中随机抽取3颗，记其中直径在 $\left[ 32,34\right]$ 的个数为 $η$ ，求 $η$ 的分布列和数学期望.

答案与解析

解析

（1）图中每组宽2毫米，频率是柱高乘2：

区间（毫米）	中点	频率	样本颗数
$[24,26)$	25	0.10	10
$[26,28)$	27	0.25	25
$[28,30)$	29	0.40	40
$[30,32)$	31	0.15	15
$[32,34]$	33	0.10	10

频率和1，中点加权为 $25(0.10)+27(0.25)+29(0.40)+31(0.15)+33(0.10)=28.8$ 。按题先取整29作为均值估计，标准差估计1，采用 $N(29,1)$ 。30为 $\mu+\sigma$ ，一等品概率约 $(1-0.6827)/2=0.15865$ ，保留两位为0.16。此处正态是题给前提，不是由这张直方图证明的。

（2）对象换成样本两外侧组的20颗，各10颗；按题从该名单不放回均匀抽3颗。令 $\eta=k$ ，则

P(\eta=k)=\frac{\binom{10}{k}\binom{10}{3-k}}{\binom{20}{3}},\quad k=0,1,2,3.

$\eta$	0	1	2	3
概率	$2/19$	$15/38$	$15/38$	$2/19$

和为1，期望 $3\times10/20=3/2$ ，也可按表加权验证。这里大直径组比例为 $1/2$ ，不能用上一问总体概率0.16；不放回也不应当独立。末组按题为 $[32,34]$ ，10颗全计入，连续模型单点概率0不能用来删除实际样本恰为34的测量值。

本题结论

（1）约0.16；（2）分布见表，E(η)=3/2。

例题 05 企业评分与抽取人数

题目

为加大自然生态系统和环境保护力度，加强企业对尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，某市对化工企业的排污情况进行调查，并出台相应的整治措施．相关部门对1000家化工企业所排污水的质量及周围空气质量进行了综合检测，得分情况如频率分布直方图所示．

(1)计算该市化工企业的平均得分 $\overline{x}$ （同一组中的数据以这组数据的中间值为代表）；

(2)已知化工企业的得分情况 $X$ 近似服从正态分布 $N\left( \mu ,{\sigma }^{2}\right)$ ，其中 $\mu =\overline{x},{\sigma }^{2}={16}^{2}$ ，则得分在 $\left[ 67,83\right]$ 内的企业大约有多少家；

(3)按照（2）中概率分布随机抽取100家化工企业，分数不低于19分的企业有多少家时概率最大．

参考数据：若随机变量 $X$ 服从正态分布 $N\left( \mu ,{\sigma }^{2}\right)$ ，则 $P(\mu -\sigma <X<\mu +\sigma )=0.6826$ ， $P(\mu -2\sigma <X<\mu +2\sigma )=0.9544$ ， $P(\mu -3\sigma <X<\mu +3\sigma )=0.9974$ ．

答案与解析

解析

（1）组距20，各组频率与中点如下：

中点	10	30	50	70	90
柱高乘20所得频率	0.10	0.25	0.30	0.20	0.15

和为1，中点加权平均为 $10(0.10)+30(0.25)+50(0.30)+70(0.20)+90(0.15)=51$ 。这是题定中点代表法的估计，不保证等于逐项评分的精确平均。

（2）采用题给 $N(51,16^2)$ ，67和83分别为 $\mu+\sigma,\mu+2\sigma$ ，目标是同侧两半中央区之差，概率约 $(0.9544-0.6826)/2=0.1359$ 。乘1000得135.9，约136家。对称中心是51，不是0；虽可用共同端点0的两个包含区间相减，化成半中央概率仍依据51的对称性。

（3）19为 $\mu-2\sigma$ ，达标率 $p\approx(1+0.9544)/2=0.9772$ 。在100次独立、相同模型抽取的解释下，人数 $\xi\sim B(100,p)$ 。相邻概率比

\frac{P(\xi=k)}{P(\xi=k-1)}=\frac{101-k}{k}\frac p{1-p},\quad1\le k\le100,

大于1当且仅当 $k<101p=98.6972$ ；所以概率一直增加到98，之后下降，唯一众数98。它不是期望97.72，也不保证实际98家。

题干未明确放回与独立，上述二项结论须依此模型解释；若从固定1000家不放回抽100家，须知道真实达标数 $K$ ，再用超几何，不能只用单次率断言二项。一般若 $(n+1)p$ 为整数可能出现相邻并列峰，不能普遍要求峰两侧严格号，通法见二项众数。

本题结论

（1）51；（2）约136家；（3）独立同模型解释下98家。

例题 06 两个学校的分数分布

题目

在一次联考中，经统计发现，甲乙两个学校的考生人数都为1000人，数学均分都为94，标准差都为12，并且根据统计密度曲线发现，甲学校的数学分数服从正态分布，乙学校的数学分数不服从正态分布.

(1)甲学校为关注基础薄弱学生的教学，准备从70分及以下的学生中抽取10人进行访问，学生小A考分为68分，求他被抽到的概率大约为多少；

(2)根据统计发现学校乙得分不低于130分的学生有25人，得分不高于58分的有1人，试说明乙学校教学的特点；

参考数据：若 $X~N\left( \mu ,{\sigma }^{2}\right)$ ，则 $P(\mu -\sigma \le X\le \mu +\sigma )\approx 0.68$ ， $P(\mu -2\sigma \le X\le \mu +2\sigma )\approx 0.95$ ， $P(\mu -3\sigma \le X\le \mu +3\sigma )\approx 0.99$ .

答案与解析

解析

（1）甲采用 $N(94,12^2)$ ，70为 $\mu-2\sigma$ 。按本题粗略中央概率0.95，左尾约0.025，1000人中人数估计25。小A68分已确定在该组内，若从其中均匀抽10人，其入选率约 $10/25=0.4$ ，不再乘0.025。

准确地说，若实际该组有 $K\ge10$ 人，均匀不放回抽10人，因各人对称、总入选10人，小A入选概率为 $10/K$ 。用正态估计 $K\approx25$ 才得约0.4；若 $K<10$ ，抽10人的方案不可行。单人率无需添加多人独立假设。

（2）58、130是甲的 $\mu\pm3\sigma$ 。按题给0.99中央概率估计两尾各0.005，即各约5人。乙实际高尾25人、低尾1人，与甲模型规模比较，高分尾更多、低分尾更少。这个分数分布描述可作为题问教学特点的有限观察，但不能仅凭这些数字证明教学造成差别，或作完整教学质量评价。

题干明确乙不正态，即使均值标准差与甲相同，也不能给乙套0.99中央概率。甲的5人、25人均是估计，不是实际名单数。

本题结论

（1）约0.4；（2）给定数据中乙高分尾较多、低分尾较少，不能据此推出教学因果。