直角坐标建模、线性数量与实际方向

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先说明模型依据和坐标单位，再把条件转成方程；最后把解放回真实范围。

一、知识点理解概念

1. 直线模型需要题设依据，不由两个数据点自动保证

两个不同横坐标的数据点能确定一条数学直线，却不能单凭这两个观测证明真实对象在所有情况下永远线性。先看题目是否给出线性关系或合理的模型前提，再用两点求斜率与截距。

斜率带有“纵轴单位除以横轴单位”的意义。长度随时间变化，斜率可用 $\mathrm{cm/min}$ ；更换单位或图像纵横缩放后，其数值也会变化，不应凭图上的倾斜视觉判断真实变化率。

2. 几何建系须说明每个坐标来自哪里

先选方便的原点，再选互相垂直且正向明确的两轴，长度坐标须使用相同尺度。原点决定位置，正向决定符号，题给角度与长度决定点的位移，不能从示意图的像素估算。

路宽的中线对应横向长度中点；已知长度 $r$ 与方向角 $\varphi$ 的位移可写 $(r\cos\varphi,r\sin\varphi)$ 。用斜率乘积表示互垂时先核两个斜率都存在；必要时用无除法的方向数量积判据。

3. 解方程之后，还要回到实际对象的范围

长度、高度、燃烧时间等需符合实际范围。燃尽是剩余长度为零，不是时间为零；直线向模型范围外延伸得到的负长度不属于真实对象。

几何图中的灯罩光轴是有朝向的射线，不能只证明无限延长的支撑线经过目标。还要核交点在正向、相关长度为正、单位一致，最后按题给精度取近似值。若题设只要求模型适用区间，就不把结论推广到区间外。

二、考点方法与例题

1. 数量模型按单位求变化率，再把目标转为方程

明确自变量、因变量、单位与范围，按题给线性前提将两数据点代入；求斜率与截距后回验两点，再把“燃尽”等实际条件转成长度零。最后核时间起点、终点及总量，不只报一个无单位数字。

例题 01 由蜡烛长度数据求燃烧时间

有一根蜡烛点燃6min后，蜡烛长为17.4cm；点燃21min后，蜡烛长为8.4cm.已知蜡烛长度 $l$ (cm)与燃烧时间t(min)可以用直线方程表示，则这根蜡烛从点燃到燃尽共耗时（）

A．25min B．35min C．40min D．45min

答案与解析

横坐标取时间 $t$ （min），纵坐标取长度 $l$ （cm），数据为 $(6,17.4),(21,8.4)$ 。题目已说明可以用直线方程，不是从两次观测擅自假设匀速。

k=\frac{8.4-17.4}{21-6}=-\frac9{15}=-0.6\ \mathrm{cm/min},

表示每分钟减少 $0.6$ cm。点斜式为 $l-8.4=-0.6(t-21)$ ，展开得 $l=21-0.6t$ ，两原数据回代都成立，模型给初长 $21$ cm。

燃尽置 $l=0$ ，得 $t=35$ min，选 B。保留原解的另一读法：在 $21$ min 时还剩 $8.4$ cm，再需 $8.4/0.6=14$ min，总时间 $21+14=35$ min，不是只答剩余 $14$ min。

真实适用范围为 $0\le t\le35$ ；超过终点时直线给的负长度没有物理意义。其余选项不满足长度恰为零。

2. 角度、长度与垂直关系逐步转为坐标

在题图指定的平面模型中选轴，先用已知角度和长度给出点坐标，再写目标线方向并代目标点。求得未知长度后，核非负、所求是射线正向、单位及近似精度。建系图中的位置只是辅助说明，数值来自题设而非透视比例。

例题 02 路灯光轴与道路中线的位置

如图，在路边安装路灯，路宽14m，在路边的点 $M$ 处立有一根高为 $h$ 灯柱 $MB$ ，灯杆 $AB$ 长1m，且与灯柱 $MB$ 成 $120^{\circ}$ ．路灯采用锥形灯罩（灯罩顶点在点 $A$ 处），灯罩轴线与灯杆垂直．当灯柱高 $h$ 约多少时，灯罩轴线正好与道路路面的中线相交？（精确到0.01m，其中 $\sqrt{3}\approx 1.732$ ）

答案与解析

按题图所示道路竖直横截面作平面模型，以 $M$ 为原点，沿路面 $MN$ 向右为 $x$ 轴、沿灯柱向上为 $y$ 轴，坐标单位均为米。路宽 $14$ m，路面中点 $C=(7,0)$ ，柱顶 $B=(0,h)$ 。

图中灯杆从 $B$ 朝右上；题给向下的 $BM$ 与 $BA$ 夹 $120^\circ$ 。若 $BA$ 与正 $x$ 轴夹 $\varphi$ ，则 $90^\circ+\varphi=120^\circ$ ，所以 $\varphi=30^\circ$ 。由杆长 $1$ m 得

A=\left(\cos30^\circ,h+\sin30^\circ\right)=\left(\frac{\sqrt3}{2},h+\frac12\right).

$BA$ 斜率为 $\tan30^\circ=1/\sqrt3$ ，存在且非零，故垂直光轴的斜率为 $-\sqrt3$ 。其支撑线为

y-\left(h+\frac12\right)=-\sqrt3\left(x-\frac{\sqrt3}{2}\right).

代 $C=(7,0)$ 得 $-h-1/2=-7\sqrt3+3/2$ ，解得

h=7\sqrt3-2.

用题给 $\sqrt3\approx1.732$ ， $h\approx12.124-2=10.124$ m，按 $0.01$ m 四舍五入为 $10.12$ m。

回到实际方向： $h>0$ ，且 $7>\sqrt3/2$ 。从 $A$ 沿右下方向 $(1,-\sqrt3)$ 的射线，到 $C$ 的参数为 $7-\sqrt3/2>0$ ，所以交点确在灯罩光轴正向，而非反向延长线。高度、杆长、路宽使用同一长度单位，精度也符合题意。