最大与最小系数：先分对象和符号，再比较

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“二项式系数最大”“实际系数最小”“某项数值最大”不是同一问题。中央位置只由纯组合数决定；常数幂会移动峰值，负号会改变最小值所在的候选组。先修：项与系数、二项式系数的中央性质。

一、知识梳理

1. 明确要比较的数

对非负整数 $n$ ，通项下标为整数 $r=0,\ldots,n$ 。二项式系数仅为 $C_n^r$ ；实际系数 $c_r$ 是目标变量单项式前的数值因子，还含常数幂与符号。“项”则要连同变量幂写出。多个变量时也比较指定单项式前的数，不是给 $x,y$ 赋值后整个项的大小。

若代入后多个形式项同幂，先合并贡献，再读取最终系数。未合并的某一路数值因子不能当成最终多项式系数。若出现零常数因子，先检查哪些项消失，不要使用除以零的比值； $n=0$ 只有常数多项式一项，单独处理。

比较对象	应比较的数	关键限制
二项式系数	$C_n^r$	中央最大，注意并列与项序
实际系数	合并后的 $c_r$	包含常数幂及正负号
系数绝对值	$\lvert c_r\rvert$	不能代替带符号最小值

2. 纯二项式系数，才能直接看中央

$C_n^r$ 的相邻比为 $(n-r)/(r+1)$ ，随 $r$ 下降，从而先增后减。正偶数 $n$ 仅下标 $r=n/2$ 最大，项序 $n/2+1$ ；奇数 $n$ 有相邻的两个最大，下标 $(n-1)/2,(n+1)/2$ ，项序 $(n+1)/2,(n+3)/2$ 。 $n=0$ 只有 $C_0^0=1$ 。

由“仅有第 $j$ 项二项式系数最大”反求 $n$ 时，必须排除奇数指数的两项并列情形；不能忽视“仅有”二字，也不能把下标误当项序。

3. 正系数相邻比，为什么能找全局最大

对 $(\alpha x+\beta y)^n$ ，若 $\alpha,\beta>0$ ，各形式项对应不同单项式，则 $c_r=C_n^r\alpha^{n-r}\beta^r>0$ 。约去正公共因子得

\frac{c_{r+1}}{c_r}=\frac{n-r}{r+1}\frac{\beta}{\alpha}\qquad(0\le r<n).

$r$ 增加时，正分子 $n-r$ 下降、正分母 $r+1$ 上升，所以相邻比严格下降。比值大于一、等于一、小于一分别意味着下一项更大、两项相等、下一项更小。因而系数整体先增后减，或只增、只减；在增减交界处找到的最大才是全局最大。

内部最大下标要满足 $c_r\ge c_{r-1}$ 与 $c_r\ge c_{r+1}$ ，解后只取合法整数。端点没有某侧邻项，只比较存在的一侧；若某个相邻比恰等于一，两项可能并列最大，不可强选一个。若没有比值下降等依据，单凭左右邻项较小只保证局部候选，不能断言全局最大。

这个正系数比值模型还可用于不同变量幂产生相同形式系数规律的题，但须先确认各项不同幂且系数全正。常数因子会使峰值偏离纯组合数的中央，不能略去 $\alpha^{n-r}\beta^r$ 。

4. 有负系数，先按符号分组

有负系数时不能直接照搬正系数比值不等式，除以负数会改变不等号方向。先分正、负、零：若存在负系数，全体最小必在负组；在负组中取绝对值最大的数，再保留负号，就是最小负系数。

交替符号的题只在合法奇、偶下标组内比较。全体最大绝对值对应的中央项若为正，不能当作最小值。候选较少时直接精确算出各候选，比强套正比值法更稳妥。

二、考点与方法

方法 1：写实际系数，证明增减，再筛整数

先写通项、原定义域及 $r$ 范围，把数值系数与变量幂分开。全正时求相邻比，说明为什么比值下降，再用内部双侧或端点单侧比较；范围中的等号要保留。最后将 $r$ 加一得到项序，问系数值才只报 $c_r$ 。

例题 01 分式展开中的系数比较

题目

${\left( {x}^{2}+\frac{1}{2x}\right)}^{6}$ 的二项展开式中系数最大的项为第（）项

A．2 B．3 C．4 D．2或3

答案与解析

解析

原式要求 $x\ne0$ ，但比较系数不需给 $x$ 赋值。通项为

T_{r+1}=\frac{C_6^r}{2^r}x^{12-3r},\qquad r=0,\ldots,6.

各幂不同， $c_r=C_6^r/2^r$ 全正。相邻比为 $(6-r)/[2(r+1)]$ ，随 $r$ 下降，故整体先增后减。首个比为 $3>1$ ，最后一个比为 $1/12<1$ ，两端都不可能最大，取内部候选：

\frac{c_r}{c_{r-1}}=\frac{7-r}{2r}\ge1,\qquad \frac{c_{r+1}}{c_r}=\frac{6-r}{2(r+1)}\le1.

分别给 $r\le7/3$ 、 $r\ge4/3$ 。唯一合法整数是 $r=2$ ，对应第3项，系数 $15/4$ ，完整项为 $(15/4)x^6$ 。

第2项系数为 $3<15/4$ ，排除 A、D；C 把纯组合数的中央第4项套到了实际系数。

本题结论

B，即第 $3$ 项。

方法 2：带符号先缩小候选，两个问题分别作答

先将通项拆为数值因子乘变量单项式。问实际系数最小，先找负系数组；问二项式系数最大，另比较 $C_n^r$ 。下标、项序、数值与完整项在最后逐一对应，不用一个中央结论替代两个不同问题。

例题 02 同一个展开式中的两种系数

题目

${(2x-y)}^{6}$ 的展开式中系数最小的项和二项式系数最大的项分别为（）

A．第1项和第3项 B．第2项和第4项

C．第3项和第1项 D．第4项和第2项

答案与解析

解析

通项为

T_{r+1}=(-1)^r2^{6-r}C_6^r x^{6-r}y^r.

实际系数在偶下标时为正，故最小者必在奇下标 $r=1,3,5$ 中。对应系数依次为 $-192,-160,-12$ ，最小为 $-192$ ，下标 $1$ 、项序 $2$ ，完整项是 $-192x^5y$ 。

二项式系数只比较 $C_6^r$ ，不含符号与二的幂；唯一中央下标 $r=3$ 最大，项序第4项。因此选 B。其余选项把实际系数与组合数混淆，或未将下标加一。

本题结论

B，分别是第 $2$ 项和第 $4$ 项。

方法 3：用“唯一中央”求指数，再重新比较实际系数

先按纯组合数的一项或两项中央规律解出指数并核范围，再回到完整通项。实际系数有交替号时，中央组合数最大并不自动给出最小系数；须重新筛合法负下标，保留所有并列位置。

例题 03 唯一最大位置给定后的最小系数

题目

已知 ${(1-x)}^{n}$ 的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数的最小值为（）

A． $-126$ B． $-84$ C． $-56$ D． $-35$

答案与解析

解析

二项式系数只有第5项最大，排除奇数 $n$ 的双中央情形，也排除 $n=0$ 的唯一第一项。故 $n$ 为正偶数， $n/2+1=5$ ，得 $n=8$ 。

实际系数为 $(-1)^rC_8^r$ 。负下标 $r=1,3,5,7$ 的组合数分别为 $8,56,56,8$ ，因此最小系数为 $-56$ ，在 $r=3,5$ 两处取得，对应第4、6项。中央下标 $r=4$ 的 $70$ 是正数，不可能为最小。A、B、D 不符合合法负候选。

本题结论

C，最小系数为 $-56$ 。

三、坑点辨析

1. 中央最大只回答纯组合数的问题

例题 01 的实际峰值在第3项，不是纯 $C_6^r$ 的中央第4项；例题 03 的中央组合数对应正系数，最小值还须在负组内比较。变量值不是系数的一部分，不把项值大小代替系数大小。

2. 局部比较、负数相除与零分母要分开核

先说明全正与相邻比下降，才能把局部邻项比较升级为全局结论。随便一个序列如 $1,3,2,5,1$ ，数 $3$ 大于左右邻数，却不是全局最大。负系数作除数会改不等号；零常数因子或零项先单列，不作无定义比值。

3. 并列最大不能漏，最终对象不能换

解实数范围后精确筛整数，不四舍五入，不删等号。端点只用存在的邻项， $n=0$ 单独处理。问项序答 $r+1$ ，问系数答数值，问项保留变量；同幂贡献先合并后再比。

辨析 01 自编辨析｜相邻比等于一时

题目

按 $x$ 降幂展开 $(x+2)^2$ ，实际系数最大的项是第几项？

答案与解析

解析

展开为 $x^2+4x+4$ ，按原顺序实际系数是 $1,4,4$ 。相邻比依次 $4,1$ ，第二、三项并列最大。末项只与左邻比较，不能写不存在的下一项条件，也不能因纯二项式系数 $1,2,1$ 唯一中央最大，就只选第2项。

本题结论

第 $2$ 、第 $3$ 项并列最大。