错位相减：同幂对齐，首尾单列

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等差因子乘等比因子时，乘公比可让同幂系数相减，复杂和降成简单等比和。关键不是“中间全消”，而是逐一核同幂差、未配对首尾和q=1分支。

一、知识点概念与依据

1. 先识别乘积，求准目标项

典型目标为bⱼ=cⱼqʲ⁻¹，其中cⱼ=c₁+(j−1)d等差，q为固定非零公比。乘q后同幂系数相差d，才有简化。若两类通项是相加而非相乘，通常先分组求和。

题给递推、比值或倒数时，应先求目标的真实形式，并确认全部除法合法，不能把原a列与所求b列混淆。以下n取正整数，有限原列还须所有所用下标存在。

2. 把首项、中间项和新尾项分列

设 $T_n=\sum_{j=1}^n c_jq^{j-1}$ ，乘q得 $qT_n=\sum_{j=1}^n c_jq^j$ 。按同一幂qʲ⁻¹对齐：

位置	Tₙ中的系数	qTₙ中的系数	Tₙ−qTₙ留下
q⁰	c₁	无	c₁
qʲ⁻¹，2≤j≤n	cⱼ	cⱼ₋₁	d qʲ⁻¹
qⁿ	无	cₙ	−cₙqⁿ

所以

(1-q)T_n=c_1+d\sum_{j=2}^n q^{j-1}-c_nq^n.

中间有n−1项，不是n项；末项的指数比原和末指数多1。相减方向由左边固定，右边不能用Tₙ−qTₙ而左边写成(q−1)Tₙ。

3. 闭式与q=1、n=1边界

q≠1时，中间和为q(1−qⁿ⁻¹)/(1−q)，故

T_n=\frac{c_1-c_nq^n}{1-q}+\frac{dq(1-q^{n-1})}{(1-q)^2}.

n=1时中间为空和0，闭式还原T₁=c₁。q=1时不能除1−q，原项就是cⱼ，直接用等差和

T_n=\frac{n(c_1+c_n)}2.

本章等比公比非零。若另题允许参数q=0，应先明确首项与0⁰如何定义，再算其余项，不能机械代入有歧义的幂式。选择除q而非乘q对齐时，也须先核q≠0。

4. 指数从j开始，首尾随真实原式变

若目标是cⱼqʲ而不是cⱼqʲ⁻¹，未配对首项为c₁q，新尾项为−cₙqⁿ⁺¹。不能把上一段公式的首项c₁直接照抄过来。

错位相减也适合乘倍率后同幂系数差变得更简单的其他有限和，但应重新证明差式；不能把等差系数结论套到任意系数列。

二、考点方法与例题

1. 比值递推先累乘，再对齐同幂

从第1项到第n项只有n−1次转移。求出通项后，按真实幂次列两行；保首项和乘倍率后的尾项，再算中间等比和。

例题 01 由相邻比求前30项和

题目

在数列 $\{{a}_{n}\}$ 中，若 ${a}_{1}=2$ ，且对任意 $n\in {N}^{*}$ 有 $\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=2+\frac{2}{n}$ ，则数列 $\{{a}_{n}\}$ 的前30项和为（）

A． $30\times {2}^{31}+2$ B． $31\times {2}^{31}+2$

C． $29\times {2}^{30}+2$ D． $29\times {2}^{31}+2$

答案与解析

解析

a₁=2>0，原比值2+2/n=2(n+1)/n>0，逐次保证全部项正。对n≥2从j=1乘到n−1：

\frac{a_n}{a_1}=\prod_{j=1}^{n-1}\frac{2(j+1)}j=2^{n-1}n,

所以aₙ=n2ⁿ，n=1也还原2。该通项的相邻比为2(n+1)/n，核对原递推成立。

设Tₙ为前n项和，完整错位：

\begin{aligned}T_n&=1\cdot2^1+2\cdot2^2+\cdots+n2^n,\\2T_n&=1\cdot2^2+2\cdot2^3+\cdots+n2^{n+1}.\end{aligned}

Tₙ−2Tₙ=−Tₙ。首项2只在第一行，中间同幂系数差为1，末项只在第二行，因此

-T_n=2+\sum_{j=2}^n2^j-n2^{n+1}=(1-n)2^{n+1}-2,

即Tₙ=(n−1)2ⁿ⁺¹+2，n=1给2。代入30得T₃₀=29×2³¹+2，选D。A、B的系数30、31不合，C的指数30比正确末指数少1。

这里中间和在n=1为空，仍有−T₁=2−1×2²=−2，边界一致。

本题结论

选D， $T_{30}=29\times2^{31}+2$ 。

2. 倒数递推先保定义域，再识别系数差

先用初值和递推说明项始终非零、分母始终合法，再取倒数。目标若是指数除原项，转化后才判断是否为等差因子乘等比因子。

例题 02 由分式递推求指定目标和

题目

已知数列 $\left\{ {a}_{n}\right\}$ 满足 ${a}_{1}=1$ ， ${a}_{n+1}=\frac{{a}_{n}}{3{a}_{n}+1}$ ，则数列 $\left\{ \frac{{2}^{n}}{{a}_{n}}\right\}$ 的前10项和为（）

A． $25\times {2}^{10}+12$ B． $25\times {2}^{1}$ C． $25\times {2}^{11}+12$ D． $25\times {2}^{11}+10$

答案与解析

解析

a₁=1>0。若aₙ>0，则3aₙ+1>0、aₙ₊₁>0，逐次知所有倒数都合法。取倒数得

\frac1{a_{n+1}}=3+\frac1{a_n},\qquad\frac1{a_n}=1+3(n-1)=3n-2.

故目标项为(3n−2)2ⁿ，首项2，第10项系数28。设其前10项和为T₁₀，乘2后按同幂相减：

\begin{aligned}T_{10}&=1\cdot2+4\cdot2^2+\cdots+28\cdot2^{10},\\2T_{10}&=1\cdot2^2+4\cdot2^3+\cdots+28\cdot2^{11},\\-T_{10}&=2+3\sum_{j=2}^{10}2^j-28\cdot2^{11}.\end{aligned}

中间共有9项，等比和为2¹¹−4，所以

-T_{10}=2+3(2^{11}-4)-28\cdot2^{11}=-25\cdot2^{11}-10.

于是T₁₀=25×2¹¹+10，选D。C的常数12不是10；A还少一个指数，B按原题字面是25×2¹=50，均不是所求和。

也可得一般Tₙ=(3n−5)2ⁿ⁺¹+10：n=1为2，后差为(3n−2)2ⁿ，独立回验同样成立。原aₙ=1/(3n−2)代回分式递推也成立。

本题结论

选D，所求前10项和为 $25\times2^{11}+10$ 。

三、坑点边界与纠错

1. 首尾没有配对，不能随中间项删去

列出第一幂、最后一幂、中间的实际范围。中间系数差为常数，不是原系数完全相消；首项也不一定等于公差乘q。

2. 左右相减方向与指数保持一致

T−qT对应(1−q)T，新尾项比原末项多乘一次q。末指数、常数项都要核，不能只比较主项大小。

3. 分支与首项是公式的使用条件

q=1回原等差和，q≠1才除1−q；n=1中间为空和。取倒数或除公比前分别核非零，有限列不越过原下标范围。