空间方向与线面平行

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先找面内的同方向，再证明原线确在面外；已知线面平行，则借助辅助面把空间条件化回平面中的平行线。

一、知识点理解概念

1. 平行方向可以传递，角边还要看朝向

空间中两条不同直线平行，必须共面且不相交。基本事实：三条不同直线 $a,b,c$ 满足 $a\parallel b,b\parallel c$ ，则 $a\parallel c$ 。平行关系常来自中位线、平行四边形对应边；不能从透视图“看着同向”推断。

两个角的两边分别对应平行，则两角相等或互补。把两顶点平移到一起，若两对射线均同向或均反向，夹角不变；若只反向一对射线，新旧角拼成平角，和为 $180^\circ$ 。所以所在直线平行不等于角边射线同向。两对对应平行缺一不可；若原角为直角，相等与互补才都给同一结果。

2. 线线平行怎样推出线面平行

线面平行 $a\parallel\alpha$ 的定义是无公共点。判定定理需要三项：

a\not\subset\alpha,\qquad b\subset\alpha,\qquad a\parallel b\quad\Longrightarrow\quad a\parallel\alpha.

为什么成立：平行线 $a,b$ 共面于 $\gamma$ 。 $a\not\subset\alpha$ 保证两面不同，其交线为 $b$ 。若 $a$ 与 $\alpha$ 有公共点，该点同时在 $\gamma$ 内，就必须落在 $b$ 上，与 $a\parallel b$ 矛盾。

其中 $a\not\subset\alpha$ 只是“不整条在面内”，本身还允许相交。要证明它，只需找出 $a$ 上一个不在 $\alpha$ 内的点，不必循环地先宣称两者无公共点。

3. 线面平行怎样提取指定平行线

a\parallel\alpha,\qquad a\subset\beta,\qquad\beta\cap\alpha=b\quad\Longrightarrow\quad a\parallel b.

这里 $b$ 必须是过 $a$ 的辅助平面与目标面的交线，不是目标面中的任意线。因为 $a,b$ 同在 $\beta$ 内，且 $b\subset\alpha$ 、 $a\parallel\alpha$ 保证它们无公共点，于是共面不相交，即平行。

4. 证明路线与每一步条件

线线→线面：找到面内平行线，并排除原线整条在面内。
线面→线线：作包含原线的辅助面，并明确它与目标面确实相交及交线名称。
线面→面面：同一平面内两条相交线都平行另一面，再合并结论，不能只给两个同方向。
面面→线面：一面内任意线与另一面无公共点；面面→线线：由第三面截两平行面得到平行交线，不能取两面内任意两线。

得到合法平面三角形中的平行线后，才能用相似或中位线的逆命题求比例、中点；最后代回原条件。面面部分见平行平面的判定与性质，分点探究见平行条件与分点。

二、考点方法与例题

1. 逐对核对角边，逐项核对位置

角题从顶点出发辨认射线，不把字母书写次序当定向已知；位置题对每个选项检查包含、相交或平行。

例题 01 两角的对应边平行

若 $AB//{A}^{\prime}{B}^{\prime}$ ， $BC//{B}^{\prime}{C}^{\prime}$ ，且 $\angle ABC=45^{\circ}$ ，则 $\angle {A}^{\prime}{B}^{\prime}{C}^{\prime}$ 等于（）

A． $45^{\circ}$ B． $135^{\circ}$ C． $45^{\circ}$ 或 $135^{\circ}$ D．不能确定

答案与解析

$\angle ABC$ 的角边是 $BA,BC$ 。题设只给所在直线分别平行，未指定相应射线同向或反向，因此可得 $45^\circ$ 或其补角 $135^\circ$ ，选 C。

A、B 各只保留一种可能；D“不能确定”忽略了已能确定为这两个值之一。若额外已知两对同向或两对反向，才能只取 $45^\circ$ ；恰一对反向才只取 $135^\circ$ 。

例题 02 三棱柱的侧棱与侧面

如图，在三棱柱 $ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}$ 中，与平面 $A{A}_{1}{B}_{1}B$ 平行的直线为（）

A． $AB$ B． $C{C}_{1}$ C． $BC$ D． $AC$

答案与解析

棱柱侧棱 $CC_1\parallel AA_1$ ，且 $AA_1$ 在目标面 $AA_1B_1B$ 内。该面与底面 $ABC$ 交于 $AB$ ； $C$ 在底面内而不在 $AB$ 上，所以 $C$ 不在目标面， $CC_1\not\subset$ 目标面。三条件齐全， $CC_1$ 平行于目标面，选 B。

A 的 $AB$ 整条在面内，不称与面平行；C 的 $BC$ 、D 的 $AC$ 分别与面交于 $B,A$ ，也不符合无公共点的定义。

2. 中位线送入面，交线再取出来

先从中点、平行四边形等得到线线平行，再用判定送进线面结论；若待证的是另一条线，寻找包含原线的辅助平面，利用交线性质提取回来。每一步写清所属面，不能用“显然”跳过面外条件。

例题 03 过定直线与分点的平面

如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG，求证： $AP//HG$ ．

答案与解析

连接 $AC$ ，交 $BD$ 于 $O$ ，连 $OM$ 。平行四边形对角线互相平分， $O$ 是 $AC$ 中点； $M$ 是 $PC$ 中点，所以在 $\triangle CAP$ 中， $OM\parallel AP$ 。

$OM\subset$ 面 $BDM$ 。因 $M$ 在底面外，该面与底面是不同面，交线为 $BD$ 。非退化平行四边形中 $A\notin BD$ ，故 $A$ 不在面 $BDM$ 内， $AP\not\subset$ 面 $BDM$ 。由判定得 $AP\parallel$ 面 $BDM$ 。

题设另一面包含 $AP$ ，与面 $BDM$ 的交线为 $HG$ ，由线面平行性质即得 $AP\parallel HG$ 。这里用的是题设指定交线，不是面 $BDM$ 中任意线。

例题 04 截取棱上的点

四棱锥 $P-ABCD$ 中底面 $ABCD$ 是平行四边形，E是 $PD$ 中点，平面 $EAB$ 与 $PC$ 交于F．

(1)求证： $CD//$ 平面 $EAB$ ．

(2)求证：F是 $PC$ 中点．

答案与解析

(1) 底面为平行四边形，故 $AB\parallel CD$ 。 $E$ 是 $PD$ 内部中点而 $P$ 在底面外，因此面 $EAB$ 与底面不同，交线为 $AB$ 。 $C\notin AB$ ，故 $CD\not\subset$ 面 $EAB$ ；又 $AB\subset$ 面 $EAB$ ，由判定得 $CD\parallel$ 面 $EAB$ 。

(2) $CD\subset$ 面 $PCD$ ，且面 $PCD$ 与 $EAB$ 的交线为 $EF$ 。这里 $E\ne F$ ： $E$ 在侧棱 $PD$ 内而不在 $PC$ 上。由(1)及线面平行性质， $CD\parallel EF$ 。

在 $\triangle PDC$ 中， $\triangle PEF\sim\triangle PDC$ ，故

\frac{PF}{PC}=\frac{PE}{PD}=\frac12.

所以 $F$ 是 $PC$ 中点。中点结论来自平行性质和相似，不是由图中位置估计。