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外观

有向分点、模长与数量积

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先保向量的方向与端点，再把关系接到曲线和真实交点上。

一、知识点 理解概念

1. 有向倍数先写终点减起点

MF→=λFN→\overrightarrow{MF}=\lambda\overrightarrow{FN} 的坐标式是 F−M=λ(N−F)F-M=\lambda(N-F)，所以 M+λN=(1+λ)FM+\lambda N=(1+\lambda)F。负号影响内外分点，不能用两个非负长度同号替代。

若只知 ∣u⃗∣=λ∣v⃗∣|\vec u|=\lambda|\vec v|，λ>0\lambda>0，且两向量共线，则允许 u⃗=λv⃗\vec u=\lambda\vec v 或 u⃗=−λv⃗\vec u=-\lambda\vec v；不共线时，模长关系不能直接转成向量倍数。零向量时等模关系可能迫使两者都零，仍不能谈它们的方向或夹角。

2. 数量积判角先查非零

用同一正交单位坐标基，P=(x,y),F1=(−c,0),F2=(c,0)P=(x,y),F_1=(-c,0),F_2=(c,0)，c>0c>0，则

PF1→⋅PF2→=(−c−x)(c−x)+(−y)2=x2+y2−c2.\overrightarrow{PF_1}\cdot\overrightarrow{PF_2} =(-c-x)(c-x)+(-y)^2=x^2+y^2-c^2.

代数上以原点为心、cc 为半径的圆内为负、圆外为正、圆上为零；两向量都非零时，点积负对应 π/2<θ≤π\pi/2<\theta\le\pi，正对应 0≤θ<π/20\le\theta<\pi/2，零对应 θ=π/2\theta=\pi/2。称严格钝角或锐角还须排除共线时的 π\pi 或 00 端点；例如两焦点之间的非焦点使夹角为 π\pi，焦点外侧横轴上的点使夹角为 00。特别 P=F1P=F_1 或 F2F_2 时点积零但夹角无定义。对真双曲线上的点，焦点本身不在曲线上，另可由此排零向量。

二、考点 方法与例题

1. 向量坐标与曲线关系联合，而不丢原条件

先点坐标化、向量终点减起点，列有向分点或两种长度方向。再用点差、根和积、数量积与原曲线消元；韦达前核二次项非零、两个实端点，比例前核相应距离/分量非零。

保留支、直线斜率、与坐标轴的交点等原条件。参数算出后回代曲线与全部原向量或模长式，证明真实可实现；不要只得到形式上的离心率，也不要丢反向支产生的答案。

例题 01 过焦点直线上的有向倍数

过双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)C:\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(a>0,b>0)的左焦点F1{F}_{1}作斜率为2的直线ll交CC于M,NM,N两点．若MF1⃗=3F1N⃗\vec{M{F}_{1}}=3\vec{{F}_{1}N}，则双曲线的离心率为（    ）

A．3 B．2 C．2\sqrt{2} D．52\frac{\sqrt{5}}{2}

答案与解析

左焦点 F1=(−c,0)F_1=(-c,0)。原向量关系给 F1−M=3(N−F1)F_1-M=3(N-F_1)，即 M+3N=4F1M+3N=4F_1，纵坐标满足 y1=−3y2y_1=-3y_2，负号不可删。

直线斜率 22，写 x=y/2−cx=y/2-c。F1F_1 不在双曲线上，且此线在 y=0y=0 仅过 F1F_1，所以两端纵坐标均非零。消元为

(b24−a2)y2−cb2y+b2(c2−a2)=0.\left(\frac{b^2}{4}-a^2\right)y^2-cb^2y+b^2(c^2-a^2)=0.

设 A=b2/4−a2A=b^2/4-a^2。两不同交点保证 A≠0A\ne0，又 c2−a2=b2c^2-a^2=b^2，故根和 S=cb2/AS=cb^2/A、积 T=b4/AT=b^4/A。由 y1=−3y2y_1=-3y_2 得 S=−2y2,T=−3S2/4S=-2y_2,T=-3S^2/4，代入

−3c2b44A2=b4A ⟹ −3c24=A=b24−a2.-\frac{3c^2b^4}{4A^2}=\frac{b^4}{A} \ \Longrightarrow\ -\frac{3c^2}{4}=A=\frac{b^2}{4}-a^2.

b>0,A≠0b>0,A\ne0，约分合法。再用 b2=c2−a2b^2=c^2-a^2 得 4c2=5a24c^2=5a^2，取正根 e=5/2>1e=\sqrt5/2>1，选 D；A/B/C 的平方均非 5/45/4。

充分性可显式构造：任意 a>0a>0，取 b2=a2/4,c2=5a2/4b^2=a^2/4,c^2=5a^2/4，两点

M=(−6c/5,−2c/5),N=(−14c/15,2c/15)M=(-6c/5,-2c/5),\qquad N=(-14c/15,2c/15)

代曲线各得 11，M+3N=(−4c,0)=4F1M+3N=(-4c,0)=4F_1，且两点都满足 x=y/2−cx=y/2-c，连线斜率确 22。两点不同且横坐标小于 −a-a，均在左支，原图形真实存在。

有向倍数与两端点的原解图
有向倍数与两端点的原解图

例题 02 共线长度关系求全部直线

已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点为F(−2,0)F(-2,0)．

(1)求双曲线的标准方程；

(2)设QQ是双曲线上一点，且过点FF，QQ的直线ll与yy轴交于点MM，若∣MQ⃗∣=2∣QF⃗∣|\vec{MQ}|=2|\vec{QF}|，求直线ll的方程．

答案与解析

（1）求曲线。 中心原点、焦点 (−2,0)(-2,0) 给 c=2c=2 与横焦轴；e=2e=2 给 a=1a=1，b2=c2−a2=3b^2=c^2-a^2=3，所以 x2−y2/3=1x^2-y^2/3=1。

（2）不能只保一种向量方向。 若 ll 竖直则 x=−2x=-2，与纵轴无交点，不符原条件。故有限斜率设法完整：l:y=k(x+2)l:y=k(x+2)，与纵轴交于 M=(0,2k)M=(0,2k)。

因 M,Q,FM,Q,F 共线且模长比例为 22，分两支。

  • MQ→=2QF→\overrightarrow{MQ}=2\overrightarrow{QF}：Q−M=2(F−Q)Q-M=2(F-Q)，得 Q=(−4/3,2k/3)Q=(-4/3,2k/3)。代曲线 16/9−4k2/27=116/9-4k^2/27=1，所以 k2=21/4k^2=21/4。
  • MQ→=−2QF→\overrightarrow{MQ}=-2\overrightarrow{QF}：Q−M=−2(F−Q)Q-M=-2(F-Q)，得 Q=(−4,−2k)Q=(-4,-2k)。代曲线 16−4k2/3=116-4k^2/3=1，所以 k2=45/4k^2=45/4。

因此所有直线为

y=±212(x+2),y=±352(x+2).y=\pm\frac{\sqrt{21}}2(x+2),\qquad y=\pm\frac{3\sqrt5}2(x+2).

每个斜率非零、QQ 在曲线上，坐标式反向核得原向量倍数，取模即原长度关系，且直线与纵轴交点存在。第一支 QQ 在 M,FM,F 之间；第二支 QQ 在 FF 外侧，点序不同但原题均允许，不能只保前两条。

两种方向和点序的原解图
两种方向和点序的原解图

三、坑点 辨析与纠错

1. 模长丢方向，向量不丢方向

把有向负号删成距离正比会改变分点位置；反过来只给共线模长而留同向会漏一类解。先写坐标原式，最后逐个恢复原关系。

2. 点积等于零也要辨对象

零向量点积可为零但没有夹角，不能据此宣告两条线垂直。两线/两方向向量要有效非零，曲线端点、纵轴交点、比例分母也须真实存在。