ρ、R的关系	对应点集
0<ρ<R	包含内外边界的圆环
ρ=0≤R	闭圆盘；R=0只含原点
ρ=R≥0	半径R的圆；R=0只含原点
ρ<0且R≥0	下界自动成立，由上界给闭圆盘
ρ>R或R<0	空集

资料条件补注：原资料将两侧模界直接称为圆环，遗漏了半径与顺序限制。只有0<ρ<R才是非退化圆环，其余情形按上表区分。

相同的模通常不意味着相同的复数，也不意味着同方向；它只限制到原点距离。

5. 圆上距离最值必须说明能取到

圆半径r≥0，固定点到圆心距离为d。圆上点到固定点的最小距离为|d−r|，最大为d+r。d>0时沿圆心与固定点连线取相应共线位置即可达到；d=0时圆上每点距离均为r。r=0则只有圆心一个点，距离为d。

固定点在圆外时最近距离d−r，在圆内时应为r−d，不能无条件用同一个减法方向。下界与可达到的点一起，才能给出最小值。

6. 比较距离不赋予复数大小顺序

模、实部、虚部都是实数，可以各自比较。非实复数本身没有通常实数意义下的大小顺序，不能由a>b推出a+i>b+i。

实数平方非负只适用于实数底数；复数中i²=−1。由x²+y²=0推出两者为0，依赖x、y都是实数；不写数域，不能把这个非负性理由直接搬到复数中。

二、考点方法与例题

1. 先求模平方，再取非负平方根

读出两个实分量，各自平方相加，最后根据所问是模还是模平方决定是否开根。

例题 01 由标准形式求复数的模

题目

已知复数 $z=4+2i$ ，则 $\left| z\right|=$ （）

A． $2\sqrt{2}$ B． $2\sqrt{5}$ C． $\sqrt{5}$ D．20

答案与解析

解析

实部4、虚部2，故|z|²=4²+2²=20，|z|=√20=2√5，选B。D是模平方，A、C的平方分别8、5，均非20。

本题结论

B， $2\sqrt5$ 。

2. 类型与象限共用分量，条件各不相同

展开原式后分别解实部、虚部要求，再取交集；象限端点落在坐标轴上，须排除。纯虚数还要检查虚部非零。

例题 02 含参复数的类型与点的位置

题目

已知复数 $z=\left( 2+i\right){m}^{2}-3\left( i+1\right)m-2\left( 1-i\right)$ ，根据下列条件求实数 $m$ 的值．

(1) $z$ 是实数；

(2) $z$ 是纯虚数；

(3) $z$ 在复平面内对应的点在第二象限．

答案与解析

解析

展开得实部A=2m²−3m−2=(2m+1)(m−2)，虚部B=m²−3m+2=(m−1)(m−2)，所有实m均合法。

（1）实数令B=0，得m=1或2。m=1得到实数−3，m=2得到0，均符合。

（2）纯虚数要求A=0且B≠0。A=0给−1/2或2；2使B=0，排除。m=−1/2时B=15/4≠0，故只取−1/2。

（3）第二象限要求A<0且B>0。前者给−1/2<m<2，后者给m<1或m>2，交集为(−1/2,1)。左端在虚轴，右端在实轴，都不属于第二象限。

本题结论

（1） $m=1$ 或 $2$ ；（2） $m=-1/2$ ；（3） $-1/2<m<1$ 。

3. 距离下界与取等位置一起给出

先把差写成z减固定复数，识别点所在圆及固定点位置；再用距离关系估计，并写出达到下界的点。

例题 03 圆上点到固定点的距离

题目

复数 $z$ 满足 $\left| z\right|=1$ ，则 $\left| z-3+4i\right|$ （i为虚数单位）的最小值为（）

A．4 B．5 C．2 D．3

答案与解析

解析

z−3+4i=z−(3−4i)，固定点为C(3,−4)。|z|=1说明Z在单位圆上。OC=√(3²+(−4)²)=5，C在圆外；由距离关系ZC≥OC−OZ=5−1=4。

取单位圆朝C方向的点B，即z=3/5−(4/5)i，此时O、B、C依次共线，BC=4，故下界确能达到。最小值为4，选A；B给的是OC，C、D低于已证明下界。

以下保留原资料的解题示意，B表示最近点：

本题结论

A，最小值4，在 $z=3/5-(4/5)i$ 处取得。

4. 判断命题时先核其数域

若一个结论使用非负性、实数大小或类型判断，先确认相应对象的数域。缺少数域的命题应说明不同解释下的结果，不能把一种假设悄悄加到题干中。

例题 04 数域改变时的命题判断

题目

下列命题正确的个数是（）

① $1+{i}^{2}=0$ ；②若 $a,b\in R$ ，且 $a>b$ ，则 $a+i>b+i$ ；③若 ${x}^{2}+{y}^{2}=0$ ，则 $x=y=0$ ；④两个虚数不能比较大小.

A．1 B．2

C．0 D．3

答案与解析

解析

①由i²=−1可知1+i²=0，正确。②两个非实复数不能用通常实数大小关系比较，错误。④按通常复数概念正确。

③的题干没有注明x、y的数域，须分情况：允许复数时，取x=1、y=i，平方和为0而两者均非0，③错误。这样正确项为①④，共2项，对应B。

若另外限定x、y均为实数，两个平方非负且和为0，推出x=y=0，③正确；正确项变成①③④，共3项，对应D。题目未给出这项限定，因此不能忽略这个解释差别。A的1项和C的0项在两种解释下都不成立。

本题结论

允许 $x,y$ 为复数时选B；若限定二者为实数则选D。原题③未写数域，应作条件化判断。

例题 05 数系包含关系与偶数次幂

题目

下列四种说法正确的是（）

A．如果实数 $a=b$ ，那么 $a-b+(a+b)i$ 是纯虚数

B．实数是复数

C．如果 $a=0$ ，那么 $z=a+bi$ 是纯虚数

D．任何数的偶数次幂都不小于零

答案与解析

解析

A：取a=b=0，所给复数为0，不是纯虚数，错误。B：每个实数a都等于a+0i，因此实数是复数，正确。

C：a=0还允许b=0，仍可得到0，不能保证纯虚数，错误。D：取底数i、偶数指数2，得到i²=−1<0，已构成反例，错误。故只有B。

本题结论

B。