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外观

向量求异面直线距离

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公垂投影给下界，还须说明真正的两线上连线能够达到它。

一、知识点 理解概念

1. 两端在线上且同时垂直，才是公垂线段

异面直线不相交、不平行且不能共面。它们的距离是两条线上各取一点，所得连线长度的最小值，等于公垂线段长。“公垂方向”指同时垂直两线方向的非零向量，不是说单条直线有唯一法向量。

设 AA 在第一线、BB 在第二线，非零不共线方向分别为 u⃗,v⃗\vec u,\vec v。解 n⃗⋅u⃗=n⃗⋅v⃗=0\vec n\cdot\vec u=\vec n\cdot\vec v=0，取 n⃗≠0⃗\vec n\ne\vec0。两独立方向张成一个方向平面，它的法方向唯一到非零倍数。

2. 公垂投影给所有连线共同的下界

令 q⃗=AB⃗\vec q=\vec{AB}。任意两线上点 X=A+su⃗,Y=B+tv⃗X=A+s\vec u,Y=B+t\vec v 的连接向量是 r⃗=q⃗+tv⃗−su⃗\vec r=\vec q+t\vec v-s\vec u，所以

r⃗⋅n⃗=q⃗⋅n⃗.\vec r\cdot\vec n=\vec q\cdot\vec n.

投影长度不大于向量长度，故每条连接线都有下界 ∣q⃗⋅n⃗∣/∣n⃗∣|\vec q\cdot\vec n|/|\vec n|。换线上基点只增加方向倍数，不改法向分量；公垂向量换非零倍数也不改比值。

3. 为什么一定有实际公垂线段达到下界

两个独立方向张成整个垂直 n⃗\vec n 的方向平面，可用 s,ts,t 消去 q⃗\vec q 的全部面内分量。更具体地，公垂条件 r⃗⋅u⃗=r⃗⋅v⃗=0\vec r\cdot\vec u=\vec r\cdot\vec v=0 给

{∣u⃗∣2s−(u⃗⋅v⃗)t=q⃗⋅u⃗,(u⃗⋅v⃗)s−∣v⃗∣2t=q⃗⋅v⃗.\begin{cases} |\vec u|^2s-(\vec u\cdot\vec v)t=\vec q\cdot\vec u,\\ (\vec u\cdot\vec v)s-|\vec v|^2t=\vec q\cdot\vec v. \end{cases}

第一式乘 u⃗⋅v⃗\vec u\cdot\vec v，第二式乘 ∣u⃗∣2|\vec u|^2，前者减后者消去 ss，得

[∣u⃗∣2∣v⃗∣2−(u⃗⋅v⃗)2]t=(u⃗⋅v⃗)(q⃗⋅u⃗)−∣u⃗∣2(q⃗⋅v⃗).\bigl[|\vec u|^2|\vec v|^2-(\vec u\cdot\vec v)^2\bigr]t =(\vec u\cdot\vec v)(\vec q\cdot\vec u)-|\vec u|^2(\vec q\cdot\vec v).

系数为 ∣u⃗∣2∣v⃗∣2sin⁡2γ>0|\vec u|^2|\vec v|^2\sin^2\gamma>0，因为非零不共线方向的向量夹角 γ∈(0,π)\gamma\in(0,\pi)。因此 tt 唯一，再由 ∣u⃗∣2>0|\vec u|^2>0 唯一求 ss。所得连线只沿公垂方向，恰达下界，故

d=∣AB⃗⋅n⃗∣∣n⃗∣.d=\frac{|\vec{AB}\cdot\vec n|}{|\vec n|}.

异面时这个值为正；若非平行两线实际相交，同法得到零，此时不称异面。

二、考点 方法与例题

1. 先核异面，再同时证明下界与可达

检查方向非零不共线，并以参数方程或所在平面证不相交；再求同时垂直两方向的非零向量。连接点各在一条目标直线上，算投影并证明有两线上实际点达到。需要公垂足时解两个参数方程，不把图上直角当证明。

例题 01 长方体中棱所在直线与中点连线

在长方体ABCD−A1B1C1D1ABCD-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}中，AA1=1A{A}_{1}=1，AB=2AB=2，AD=3AD=3，E为AB的中点，则异面直线B1C1{B}_{1}{C}_{1}与DE的距离为（    ）

A．2\sqrt{2} B．10\sqrt{10} C．1 D．61919\frac{6\sqrt{19}}{19}

答案与解析

以 DD 为原点，沿 DA,DC,DD1DA,DC,DD_1 建互垂坐标轴。

长方体原解析建系图
长方体原解析建系图

D=(0,0,0),C1=(0,2,1),B1=(3,2,1),E=(3,1,0)D=(0,0,0),C_1=(0,2,1),B_1=(3,2,1),E=(3,1,0)。题给两线方向为

u⃗=B1C1⃗=(−3,0,0),v⃗=DE⃗=(3,1,0).\vec u=\vec{B_1C_1}=(-3,0,0),\qquad \vec v=\vec{DE}=(3,1,0).

它们非零且不共线，又分别在 z=1,z=0z=1,z=0 内，故不相交，确为异面。

设公垂方向 (x,y,z)(x,y,z)，两方程 −3x=0,3x+y=0-3x=0,3x+y=0 给 x=y=0x=y=0。取 z=1z=1，得 n⃗=(0,0,1)\vec n=(0,0,1)。连接点 D,C1D,C_1 分别在两条目标直线上，DC1⃗=(0,2,1)\vec{DC_1}=(0,2,1)，故投影长度为 11。

下界： 任意两线上点的 zz 差都是 11，连线长度不可能小于 11。

达到： 在 DEDE 上取 X=D+2DE⃗=(6,2,0)X=D+2\vec{DE}=(6,2,0)；在 B1C1B_1C_1 上取 Y=B1−B1C1⃗=(6,2,1)Y=B_1-\vec{B_1C_1}=(6,2,1)。XY⃗=(0,0,1)\vec{XY}=(0,0,1) 同时垂直两方向，长度为 11，实际达到下界。所以所求距离为 11，选 C。A、B、D 均大于此已达到的最短值。

两公垂足位于图示棱段的延长线上，这对直线距离完全合法。原解思路中把对象写成“BC1BC_1 与 AEAE”，与题干及实际计算不一致；应为题给 B1C1B_1C_1 与 DEDE，不能跟着误写换题。

三、坑点 辨析与纠错

1. 方向平行时不能任取一个公垂向量套式

两个方向共线时，与它们垂直的方向有无穷多个，任取一个可能只抽到真正距离的一部分，甚至抽到零。应转成一线上点到另一线的距离。上述消元系数在平行时为零，也揭示独立方向条件不可省。

2. 投影下界不等于自动达到

必须连接分别来自目标两线的点，并说明公垂足真在线上；不能只列出一个垂直向量便宣称最短。若题改问两条线段，公垂参数还须落在各自范围内，不满足时需检查端点及边界；本例的直线答案不能直接作为线段答案。