基本不等式、四均值与连续放缩

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基本不等式来自平方非负。使用时先分清三件事：所选两项是否符合前提，得到的大小关系是否成立，这个界能否在原范围内达到。均值排序和多次放缩都从这三件事继续展开。

一、知识点概念与依据

1. 两个相近公式，适用范围不同

任意实数 $u,v$ 都有

(u-v)^2\ge0\iff u^2+v^2\ge2uv,

等号恰在 $u=v$ 。这是完全平方展开后同加同减的等价变形，允许原变量为负。

当 $a,b\ge0$ 时，令 $u=\sqrt a,v=\sqrt b$ ，实数平方根才都有意义，于是

(\sqrt a-\sqrt b)^2=a+b-2\sqrt{ab}\ge0,

同除正数 $2$ 得到基本不等式

\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\qquad(a,b\ge0).

左边是算术平均，右边是几何平均。根号乘法在非负数上有效；取等要求 $\sqrt a=\sqrt b$ ，两边非负，平方等价于 $a=b$ 。反过来两项相等也确实取等。两项不等时严格大于。

常用表述要求两数正；同一推导也包含非负边界：一零一正时严格，两项都是零时取等。涉及倒数仍须另排零，基本式允许零不等于除法允许零。

2. 检查的是选中的完整两项

两项可能是 $x^2$ 与 $3/x^2$ ，不必是原字母本身。先排分母零点，再分别判断完整表达式正负。 $uv>0$ 只说明同号，可能都负； $uv\ge0$ 只保证积的平方根有意义，不保证 $\sqrt u,\sqrt v$ 有意义。

例如 $a=b=-1$ 时 $\sqrt{ab}=1$ ，但算术平均为 $-1$ ，基本式失败；平方型 $a^2+b^2\ge2ab$ 却仍成立。对两个负项 $A,B$ ，先用正项 $-A,-B$ ，再乘 $-1$ 反向，才得 $A+B\le-2\sqrt{AB}$ 。这不是将负项硬塞进正项公式。

3. 能使用、能证明与能取最值，是三层判断

满足两项非负即可使用基本式，不要求两项已经相等，也不要求积固定。两项相等只是取等条件；定积或定和是把变量界变成固定最值候选的额外结构。

若已证 $F\ge L>C$ ，则 $F>C$ 和 $F\ge C$ 都真，不需要 $F$ 真能等于 $C$ 。要说 $L$ 是最小值，则须同时证明所有允许值不低于它，且有合法点达到它。

排除某次放缩的等号点，只说明这个界不是取得的最值，不代表目标没有别的最小值。可能另有更高且可达到的最小值，也可能只有可无限逼近的下界。后面例03与例04分别处理这些情形。

“在哪里取到”也不同于“取到多少”。当 $m>0$ ， $F=m+16/m\ge8$ ，取等 $m^2=16$ 由正域保留 $m=4$ 。变量点为 $4$ ，目标最小为 $8$ 。 $m=-4$ 不合法； $m=8$ 时目标为 $10$ ， $m=16$ 时目标为 $17$ ，不能把目标值填写成变量答案。

4. 同一对正数的四种均值

对 $a,b>0$ 定义

均值	定义
调和平均 $H$	$2/(1/a+1/b)=2ab/(a+b)$
几何平均 $G$	$\sqrt{ab}$
算术平均 $M$	$(a+b)/2$
平方平均 $Q$	$\sqrt{(a^2+b^2)/2}$

调和式先通分再取倒数，分子 $2$ 不可漏。所有量为正；零会使调和平均原倒数写法无定义，负数也不能直接套整条链。算术与平方平均本身可以在更宽范围定义，不等于整条链也可以。

基本式给 $G\le M$ 。因 $a+b\ge2\sqrt{ab}>0$ ，取倒数反向再乘正数 $2ab$ ，有

H=\frac{2ab}{a+b}\le\frac{2ab}{2\sqrt{ab}}=G.

最后

Q^2-M^2=\frac{2a^2+2b^2-(a+b)^2}{4}=\frac{(a-b)^2}{4}\ge0.

$Q+M>0$ ，故 $Q-M=(Q^2-M^2)/(Q+M)\ge0$ 。得到

H\le G\le M\le Q.

三处等号恰为同一个条件 $a=b$ ，可以同时成立； $a\ne b$ 时则 $H<G<M<Q$ 。因此平方平均总不小于其他三者，但未排除相等时不能声称它每次唯一最大。两个原均值选择题分别给了“互不相等”和仅给“正数”：前者严格排序，后者允许四者并列。未选中的表达式并不是错误公式。

链中的四个量必须来自同一对数据，不能把一组的几何平均与另一组的算术平均任意接在一起；单位不同也不能先相加称平均。

5. 平均单价先用总金额除以总数量

两次正单价为 $a,b$ 。每次付相同金额 $c>0$ ，总量为 $c/a+c/b$ ，总价 $2c$ ，平均单价是 $2c/(c/a+c/b)=H$ 。每次买相同数量 $q>0$ ，则平均单价 $(qa+qb)/(2q)=M$ 。

原牛肉模型每周付 $30$ 元与每周买 $6$ 斤，分别得 $m_1=60/(30/a+30/b)$ 、 $m_2=(6a+6b)/12$ ，单位均为元/斤。题设 $a\ne b$ ，因此

m_2-m_1=\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}>0.

等价方法是 $H<G<M$ 。等额方式低于等量方式；同价时才相等，大小并非不能确定。两次金额或数量不等时须保留各自权重，不能直接套等权均值。

6. 多次放缩的符号与全部取等

按目标选择配对，而不是随意添项。例如希望 $a^2/c$ 产生 $2a$ ，可配 $c$ ： $a,c>0$ 时 $a^2/c+c\ge2a$ 。若补入的几个量之和恰为已知常数，就能相加后减去它，恢复原目标。

相加时，各非负差之和仍非负；各项乘正权数时，总差为零须每个差都为零。后一步相等不能抵消前一步的严格差。

相乘还须检查符号。若 $A\ge L>0,B\ge K>0$ ，则

AB-LK=(A-L)B+L(B-K)\ge0.

两个系数正，故等号恰在 $A=L$ 且 $B=K$ 同时成立。三组正不等式相乘可以逐次使用此理由；带负下界不能仅凭同向就相乘。所有取等方程最后还要接原约束，不能分别挑几个互不兼容的点。

二、考点方法与例题

方法一：定义域、完整两项、目标与等号分别核查

先判表达式有意义，再逐项判正性。全称结论可用完整推导证明，否定只需合法反例；不能拿无定义处作数值反例。问最值时补等号方程和原约束，问较弱不等式时不强求等号可取。

方法二：将图中长度或配对量接回公式

几何解释先证明线段所代表的代数量及其大小关系，不靠示意图比例。连续放缩先从目标反推配项，分别记录每一步取等，再用相加或正数相乘把结论接起来。

例题 01 四种表达式的适用范围

题目

下列不等式中，正确的是（）

A． $a+\frac{4}{a}\ge 4$ B． ${a}^{2}+{b}^{2}\ge 4ab$

C． $\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$ D． ${x}^{2}+\frac{3}{{x}^{2}}\ge 2\sqrt{3}$

答案与解析

解析

A：自然域先排 $a=0$ ，仍可取合法 $a=-2$ ，左边为 $-4<4$ 。两项积为正并不保证两项正；负 $a$ 时实际有 $a+4/a\le-4$ 。

B：取 $a=b=1$ ，左边为 $2$ ，右边为 $4$ ，故非恒真；正确的全实数平方型系数是 $2ab$ ，不是任意加倍。

C：异号时根号无意义；即使补充 $ab\ge0$ ，取 $a=b=-1$ 仍有 $-1<1$ ，所以仅要求积非负不够。

D：表达式自然域为 $x\ne0$ ，这时两个完整量 $x^2$ 与 $3/x^2$ 都正，积为 $3$ ，因此

x^2+\frac3{x^2}\ge2\sqrt{x^2\frac3{x^2}}=2\sqrt3.

取等 $x^2=3/x^2$ ，乘正数 $x^2$ 得 $x^4=3$ ，故 $x=\pm\sqrt[4]3$ ，均非零。原字母可以为负，因为选中两项仍正。D 在其自然定义域中成立，不能额外说它在包含零的所有实数上都有定义。

本题结论

D；其取等点为 $x=\pm\sqrt[4]3$ 。

例题 02 圆内线段对应哪一种均值关系

题目

如图， $AB$ 是圆的直径，点 $C$ 是 $AB$ 上一点， $AC=a, BC=b$ ．过点 $C$ 作垂直于 $AB$ 的弦 $DE$ ，连接 $AD, BD$ ．可证 $\triangle ACD~\triangle DCB$ ，因而 $CD=\sqrt{ab}$ ．由于 $CD$ 小于或等于圆的半径，我们教材中利用该图作为一个说法的几何解释，这个说法正确的是（）

圆的直径 AB 被 C 分为 AC=a、CB=b，过 C 的弦 DE 垂直 AB，连有 AD 和 BD

A．如果 $a>b>0$ ，那么 $\sqrt{a}>\sqrt{b}$

B．如果 $a>b>0$ ，那么 ${a}^{2}>{b}^{2}$

C．对 $\forall a>0, b>0$ ，都有 $\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$ ，当且仅当 $a=b$ 时等号成立

D．对 $\forall a>0, b>0$ ，都有 ${a}^{2}+{b}^{2}\ge 2ab$ ，当且仅当 $a=b$ 时等号成立

答案与解析

解析

先证明图中两个长度分别对应什么。 $AB$ 是直径，所以圆周角 $\angle ADB=90^\circ$ ； $CD\perp AB$ ，给 $\angle ACD=\angle DCB=90^\circ$ 。

直角三角形 $ADB$ 中 $\angle CAD=90^\circ-\angle DBA$ ；直角三角形 $DCB$ 中 $\angle CDB=90^\circ-\angle CBD$ ，而 $\angle CBD=\angle DBA$ 。两对对应角相等，故 $\triangle ACD\sim\triangle DCB$ 。对应边给

\frac{AC}{CD}=\frac{CD}{BC}\quad\Longrightarrow\quad CD^2=AC\cdot BC=ab.

长度取非负根， $CD=\sqrt{ab}$ 。令圆心 $O$ ，半径 $r=AB/2=(a+b)/2$ 。当 $C\ne O$ 时 $OC\perp CD$ ，勾股定理给 $r^2=OC^2+CD^2$ ；当 $C=O$ 时同一等式仍成立，因为 $OC=0,CD=r$ 。

所以 $r^2-CD^2=OC^2\ge0$ ，两长度非负，得到 $CD\le r$ ，即 $\sqrt{ab}\le(a+b)/2$ 。取等恰好 $OC=0$ ， $C$ 为中点，即 $a=b$ 。

因此直接对应 C。A 的正数开方保序、B 的正数平方保序、D 的平方差非负也都是真命题，只是不是图中“半弦不超过半径”直接表达的关系，不能说它们数学上错误。

三角形相似证明限 $a,b>0$ 的非退化情形。 $C$ 落在端点时弦退化，不能继续套该相似三角形；非负数的代数基本式仍可单独检验。

本题结论

C；等号恰在 $a=b$ ，即 $C$ 为直径中点时成立。

例题 03 恒成立与可取等要分开判断

题目

设 $a>0$ ， $b>0$ ，则下列不等式中一定成立的是（）

① $\frac{2ab}{a+b}\ge \sqrt{ab}$ ② $a+\frac{1}{a+1}\ge 1$

③ $(a+2b)\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge 4$ ④ $\frac{a}{a+2b}+\frac{b}{a+b}\ge 2\sqrt{2}-2$

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

答案与解析

解析

① 两正数的调和平均不大于几何平均，题中方向相反。 $a\ne b$ 时严格小于；例如 $a=1,b=4$ 时 $2ab/(a+b)=8/5<2$ ，并非一定成立。

② 令 $t=a+1>1$ ，原式 $t+1/t-1\ge1$ ，但取等 $t=1$ 被排除。也可直接作差

a+\frac1{a+1}-1=\frac{a^2}{a+1}>0.

所以“ $\ge1$ ”仍正确。 $1$ 不是取得的最小值；给任意 $\varepsilon>0$ ，选择 $0<a<\sqrt\varepsilon$ ，有 $0<a^2/(a+1)<\varepsilon$ ，可任意接近 $1$ 。任何已取得的较大值都能被另一个更接近 $1$ 的值压低，故这里没有最小值。

③ 展开为

(a+2b)(1/a+1/b)=3+\frac{2b}a+\frac ab\ge3+2\sqrt2>4.

两交叉项正、积为 $2$ ；更强下界在 $a=\sqrt2b$ 取到。证明 $\ge4$ 不要求目标能等于 $4$ ，所以③正确。

④ 两分母正。由 $a=2(a+b)-(a+2b)$ 、 $b=(a+2b)-(a+b)$ ，原式改写为

\frac{2(a+b)}{a+2b}+\frac{a+2b}{a+b}-2\ge2\sqrt2-2.

两正项积为 $2$ 。取等要求 $a+2b=\sqrt2(a+b)$ ，整理为 $a=\sqrt2b$ ，有合法正数解，④正确且该界能取到。

因此②③④成立，共三个。A、B少计，D误将①计入。

本题结论

C，共 3 个。

例题 04 真实换元范围中的下界与最小值

题目

（多选）下列结论正确的是（）

A．当 $x\ge 0$ 时， $x+1+\frac{1}{x+1}\ge 2$ B．当 $x>0$ 时， $\frac{x+1}{\sqrt{x}}\ge 2$

C． $x+\frac{1}{x}$ 的最小值为2 D． $\sqrt{{x}^{2}+2}+\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$ 的最小值为2

答案与解析

解析

A： $t=x+1\ge1$ ，两正项 $t,1/t$ 给和至少 $2$ ，在 $t=1,x=0$ 取到，正确。

B： $x>0$ 时原式为 $\sqrt x+1/\sqrt x\ge2$ ，在 $x=1$ 取等，正确。

C：自然域仅排零，并未限制正数。 $x=-1$ 时目标为 $-2<2$ ，已否定；负 $x$ 可取很大绝对值，目标甚至无下界。不能偷偷加入 $x>0$ 。

D：令 $u=\sqrt{x^2+2}\ge\sqrt2>1$ 。基本式给形式下界 $2$ ，但取等 $u=1$ 不可能。不能由此断言没有最小值，继续比较真实允许下端：

u+\frac1u-\left(\sqrt2+\frac1{\sqrt2}\right) =(u-\sqrt2)+\frac{\sqrt2-u}{u\sqrt2} =(u-\sqrt2)\left(1-\frac1{u\sqrt2}\right)\ge0.

第一因子非负； $u\sqrt2\ge2$ 使第二因子至少为 $1/2>0$ 。等号仅在 $u=\sqrt2$ ，对应 $x=0$ 合法。所以真正最小值为 $3\sqrt2/2>2$ ，D 错。与例03②不同，本例另有更高而可取得的最小值。

本题结论

AB；D 中真正最小值为 $\dfrac{3\sqrt2}{2}$ ，在 $x=0$ 取得。

例题 05 乘积放缩与正权平方和

题目

（1）若 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ 都是正数，求证： $\left( ab+cd\right)\left( ac+bd\right)\ge 4abcd$ ；

（2）若 $a$ ， $b$ ， $c$ 都是正数，求证： $a\left( {b}^{2}+{c}^{2}\right)+b\left( {c}^{2}+{a}^{2}\right)+c\left( {a}^{2}+{b}^{2}\right)\ge 6abc$ .

答案与解析

解析

（1） $ab,cd,ac,bd$ 均正，分别有

ab+cd\ge2\sqrt{abcd},\qquad ac+bd\ge2\sqrt{abcd}.

两下界正，允许相乘，故 $(ab+cd)(ac+bd)\ge4abcd$ 。

整体取等必须同时满足 $ab=cd,ac=bd$ 。两式相除，因各量非零，得 $b/c=c/b$ ，所以 $b^2=c^2$ ；由正性得 $b=c$ 。代回再除正数 $b$ ，得 $a=d$ 。反过来 $a=d,b=c$ 使两次都取等，故条件充分且必要，不能只查后一式。

（2）三个平方差分别非负：

b^2+c^2\ge2bc,\qquad c^2+a^2\ge2ca,\qquad a^2+b^2\ge2ab.

依次乘正数 $a,b,c$ 后相加，右边为 $6abc$ ，得到所证式。更直接地，左边减右边恰为

a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2\ge0.

三个权数正，和为零须三平方都为零，等价于 $a=b=c$ ；反向同样成立。

本题结论

两式均成立；（1）等号恰在 $a=d,b=c$ ；（2）等号恰在 $a=b=c$ 。

例题 06 补入已知和并追踪全部等号

题目

已知 $a>0$ ， $b>0$ ， $c>0$ ，且 $a+b+c=1$ ，证明：

(1) $\frac{{a}^{2}}{c}+\frac{{b}^{2}}{a}+\frac{{c}^{2}}{b}\ge 1$ ；

(2) $(1+a)(1+b)(1+c)\ge 8(1-a)(1-b)(1-c)$ .

答案与解析

解析

（1）设 $S=a^2/c+b^2/a+c^2/b$ 。为分别产生 $2a,2b,2c$ ，配入 $c,a,b$ ，所有配对项正：

\frac{a^2}c+c\ge2a,\qquad\frac{b^2}a+a\ge2b,\qquad\frac{c^2}b+b\ge2c.

相加 $S+(a+b+c)\ge2(a+b+c)$ ，利用和为 $1$ 得 $S\ge1$ 。取等要求 $a^2/c=c,b^2/a=a,c^2/b=b$ ，正性给 $a=c,b=a,c=b$ ，再联立和为 $1$ ，得各为 $1/3$ 。

原解析第三个根式前漏写系数 $2$ ，其所写 $2a+2b+c$ 不能等于 $2(a+b+c)$ 。正确第三项必须是 $2\sqrt{c^2}=2c$ ；此处依据正数条件去绝对值，而非无条件用 $\sqrt{c^2}=c$ 。

（2）先用共同约束将三个因子写成

1+a=(a+c)+(a+b),\quad1+b=(a+b)+(b+c),\quad1+c=(a+c)+(b+c).

每个和的两项正，分别应用基本式后相乘，得到

(1+a)(1+b)(1+c)\ge8\sqrt{(a+c)^2(a+b)^2(b+c)^2} =8(a+c)(a+b)(b+c).

去根号用的是三个和正。再代 $a+c=1-b,a+b=1-c,b+c=1-a$ ，得到题目右边。

三处取等须同时有 $a+c=a+b$ 、 $a+b=b+c$ 、 $a+c=b+c$ ，等价于 $a=b=c$ ；再接和为 $1$ ，均为 $1/3$ 。代回第一式为 $1$ ，第二式两边均为 $64/27$ ，两组等号确可实现。

本题结论

两式均成立，等号均当且仅当 $a=b=c=\dfrac13$ 。