先区分题目指定一个水平，还是要求在若干给定档中选出所能支持的最严格一档。

01 · 知识点概念、关系与适用条件02 · 考点先归纳方法，再看例题03 · 坑点辨析错因，检查遗漏

知识点

观测值与临界值

$k$ 是样本算得的卡方观测数，$c_\alpha$ 是 $H_0$ 下高尾水平 $\alpha$ 对应的临界值；二者不同。常用规则是 $k\ge c_\alpha$ 拒绝，$k<c_\alpha$ 未拒绝。题明确另给边界规则时按题解释。

显著性水平 $\alpha$	0.10	0.05	0.01	0.005	0.001
常用近似临界值 $c_\alpha$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

高尾概率随阈值升高而下降，所以 $\alpha$ 越小，拒绝越难。数值为近似分布的参考值；题目若给不同数值，应核对对应列，不将错误列无声改写后当作原题。

两种决策与两种问法

情况	可以写	不可以推成
$k\ge c_\alpha$	在指定水平及模型条件下拒绝独立，样本提供关联证据	逻辑证明不独立、本次有关概率为 $1-\alpha$
$k<c_\alpha$	此水平未拒绝，证据不足以认为有关	独立已经成立，或接受它的错误概率不超过 $\alpha$

指定水平只比较那一列，不因结果不合预期而换档。最准确的给定证据档则在所有阈值不超过 $k$ 的给定列中，选择最小的 $\alpha$。较宽的档也可能同时可用，题目措辞决定选法；这不是事后估算真实关联的百分比。

未拒绝可能是真独立，也可能是样本不足以识别真实关联。某一水平未拒绝不表示任何水平都未拒绝；每换水平须重新比较。较高卡方量不是关联效应强弱或因果的直接结论，差异方向另看组内比例。

考点

指定水平的完整步骤

1. 写研究总体、两个变量类别与 $H_0$ 独立。
2. 补表、核正边际，精确计算 $k$；检查抽样近似适用性，前提不明时限定为按题给近似规则。
3. 逐列配对读 $\alpha\leftrightarrow c_\alpha$，补回 $H_0$ 条件，不拿卡方数直接和0.05比较。
4. 用 $\ge$ 或题定边界比较，写出带总体、变量和水平的结论。
5. 若题问最严格给定档，列能拒绝与不能拒绝的边界；错误表列与实际用到的列分开处理。

例题 01 给定观测值后的四种结论

题目

根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到${χ}^{2}=2.974$．依据$\alpha =0.05$的独立性检验，则下列结论正确的是（   ）

A．变量x与y不独立 B．变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05

C．变量x与y独立 D．变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05

答案与解析

解析

题给 $\alpha=0.05$，常用临界值3.841，而

$$k=2.974<3.841.$$

规范结论：在0.05水平下未拒绝 $H_0$，本样本尚不足以认为两个分类变量不独立。

原解先说“变量 $x$ 与 $y$ 独立”，据此排除A、B；又认为不能给该独立结论附上错误概率不超过0.05，排除D，故原答案C。这个过程将未拒绝误写成了确证。

逐项看：A、B都直接断言不独立，未达到所指定阈值；C断言独立，比未拒绝更强；D还将误拒真 $H_0$ 的水平当成接受独立的错误风险。因此四个原选项均无严格可推出的结论，原C不应作为规范答案。

水平不能省略：同一观测值 $2.974>2.706$，若另问0.1水平，则会按该近似规则拒绝；但本题指定0.05，不可自行换档来选A或B。

本题结论

资料原答案C；严格口径四项均不能推出

例题 02 篮球迷调查的证据档

题目

某学校在一次调查“篮球迷”的活动中，获得了如下数据，以下结论最准确的是（   ）

		男生	女生
篮球迷		90	20
非篮球迷		60	30

附：${χ}^{2}=\frac{n{(ad-bc)}^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

$P\left( {X}^{2}\ge k\right)$	0.10	0.05	0.01	0.005
k	2.706	3.841	6.635	7.789

A．有99．5%的把握认为是否是篮球迷与性别有关

B．有$99\%$的把握认为是否是篮球迷与性别有关

C．在犯错误的概率不超过0.1的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关

D．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关

答案与解析

解析

按题表方向取 $a=90,b=20,c=60,d=30$，四边际110、90、150、50，总数200，$ad-bc=1500$。补齐为：

	男生	女生	合计
篮球迷	90	20	110
非篮球迷	60	30	90
合计	150	50	200

$$\chi^2=\frac{200(90\times30-20\times60)^2}{110\times90\times150\times50}=\frac{200}{33}\approx6.060606.$$

在 $H_0$ 拟合下，四格期望依次82.5、27.5、67.5、22.5，偏差7.5、−7.5、−7.5、7.5，故也可核验

$$\chi^2=7.5^2\left(\frac1{82.5}+\frac1{27.5}+\frac1{67.5}+\frac1{22.5}\right)=\frac{200}{33}.$$

因为 $3.841<200/33<6.635$，可在0.05水平拒绝独立，但未达到0.01及0.005两档。A、B不符合；C的0.1档也能拒绝，但题问“最准确”，D给出在选项中能支持的更严格0.05档，故按题内档位约定选D。

原表0.005列写7.789，常用对应值为7.879；保留题表，此误植不影响本题使用的3.841、6.635两界。选项所说“犯错误的概率”应理解为 $H_0$ 成立且近似适用时程序的误拒风险，不是看到此数据后本次结论错误的概率，也不是变量有关的概率。方向可另看男生篮球迷比例 $90/150=3/5$ 与女生 $20/50=2/5$；检验不说明性别造成兴趣差异。

本题结论

D（按题内证据档约定）

指定水平与抽样估计的完整对照

运动员满意度完整题同时区分联合概率、条件概率和指定0.01水平；钢索分组完整两问展示先合并类别，再给带水平的检验结论，并检查总体估计的来源权重。

坑点

结论不能超过检验能力

拒绝不是必然证明有关系，未拒绝不是必然证明独立；$\alpha$ 也不提供接受错误零假设的风险界。不要先说“证据不足”，随后又写“所以独立成立”。

数值档不是百分比标签

卡方观测值不是变量有关的百分比。较严格档未达到，不代表较宽档也未达到；表里一列误植，也不代表使用其他正确列所得的答案必然作废。

上一页小概率原理与显著性水平

下一页合并分类与后续抽样的模型衔接