数量积：结果是数，展开靠分配律

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数量积把两个方向的配合程度压成一个实数。定义里有夹角余弦，运算时可交换、可分配、可提出实数因子，但不能把三个向量照普通数的乘法随意改括号。

一、知识点概念与依据

1. 夹角先平移到共同起点

两个非零向量移到同一起点O，分别记为 $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$ ，两射线间不超过平角的角θ为向量夹角，范围 $0\le\theta\le\pi$ 。同向为0，反向为π，不能直接把首尾相接图形中的内角当成它们的夹角。

反转其中一个非零向量，夹角从θ变为 $\pi-\theta$ 。零向量不能确定方向，不定义它与另一向量的通常夹角。

2. 定义与结果类型

对非零向量a、b，定义

\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta.

结果是实数，不是向量，也通常不是两个模直接相乘。另规定 $\vec0\cdot\vec a=\vec a\cdot\vec0=0$ ；这是数0，不是零向量。含零向量的结论须由规定验证，不能给零向量虚构一个夹角。

投影方向b必须非零。a非零时，沿b方向的有向分量为 $|\vec a|\cos\theta$ ，再乘 $|\vec b|$ 即得数量积；a为零时，其有向分量规定为0，无须定义零向量的夹角。这样只保留同方向的有效分量，垂直分量不作贡献。恒力做功 $W=\vec F\cdot\vec s$ 也体现这一点：同向为正、反向为负、垂直为0。

原创教学示意：图中夹角为锐角，有向投影为正；钝角时为负，直角时为0。图中箭头a、b表示向量，竖线表示其模。数量积等于有向投影乘b的模，投影不是一律非负的线段长度。

3. 正负号与边界角度

非零向量的两个模都正，数量积符号由余弦决定：

数量积	夹角范围	不能忽略的边界
$\vec a\cdot\vec b>0$	$0\le\theta<\pi/2$	包含0，不能一概称锐角
$\vec a\cdot\vec b=0$	$\theta=\pi/2$	此行推角度以两者非零为前提
$\vec a\cdot\vec b<0$	$\pi/2<\theta\le\pi$	包含π，不能一概称钝角

反求夹角需先确认非零，再除以模乘积： $\cos\theta=(\vec a\cdot\vec b)/(|\vec a||\vec b|)$ 。所得值须在 $[-1,1]$ ，并在 $[0,\pi]$ 内定角；该区间余弦严格递减，角度唯一。

非零向量还满足 $|\vec a\cdot\vec b|\le|\vec a||\vec b|$ ，等号对应余弦绝对值为1，即共线。含零向量时两侧都为0，按零向量共线约定也一致，但证明不用未定义的夹角。

4. 运算律来自有向分量的线性叠加

任意向量与实数λ满足

\vec a\cdot\vec b=\vec b\cdot\vec a,

(\lambda\vec a)\cdot\vec b=\lambda(\vec a\cdot\vec b)=\vec a\cdot(\lambda\vec b),

(\vec a+\vec b)\cdot\vec c=\vec a\cdot\vec c+\vec b\cdot\vec c.

交换律来自模乘积与夹角关于两向量对称。若c非零，取c方向为水平正方向， $\vec a\cdot\vec c$ 等于a的水平有向分量乘 $|\vec c|$ 。向量加法使水平分量相加，数乘使分量也乘λ，所以得到分配律与实数因子提出规则；负λ同时反转分量符号。若c为零，各项都为0，仍成立。

减法是加上相反向量，也可分配。规则中的λ必须是实数，不是第三个向量。

5. 向量平方是数量积自乘

非零a与自身夹角为0，故 $\vec a\cdot\vec a=|\vec a|^2$ ；零向量按规定也成立。记号 $\vec a^2$ 只是 $\vec a\cdot\vec a$ 的简写，结果为非负实数，因此

\sqrt{\vec a^2}=|\vec a|,

而不是对向量直接写 $\sqrt{\vec a}$ 。如果 $\vec a^2+\vec b^2=0$ ，两个非负模平方都为0，所以两向量都为零，并非两个相反向量即可。

用分配律展开自身数量积，再用交换律合并交叉项，得

|\vec a\pm\vec b|^2=|\vec a|^2\pm2\vec a\cdot\vec b+|\vec b|^2.

和式平方减差式平方为 $4\vec a\cdot\vec b$ ；两平方相加为 $2(|\vec a|^2+|\vec b|^2)$ 。更一般地，

|\lambda\vec a+\mu\vec b|^2=\lambda^2|\vec a|^2+2\lambda\mu\vec a\cdot\vec b+\mu^2|\vec b|^2.

这些展开允许零向量。模本身却不能线性展开； $|\lambda\vec a|=|\lambda||\vec a|$ ，平方后才变成 $\lambda^2|\vec a|^2$ 。

6. 三个向量没有数量积结合律

运算结构	结果类型	意义
向量·向量	实数	数量积
实数乘向量	向量	伸缩或反向
向量+向量	向量	合位移
$(\vec a\cdot\vec b)\vec c$	向量	点积所得实数再乘c
$\vec a(\vec b\cdot\vec c)$	向量	另一个实数再乘a

最后两项分别与c、a共线，通常不相等。因此不能把三个向量写成无括号的点积连乘，也不能随意改括号。一个向量不能直接与实数相加或比较大小；计算中先辨每一步结果类型。

二、考点方法与例题

1. 充分必要条件要分别检验两个方向

把两个命题分别记下，逐向验证。对数量积符号与锐钝角关系，尤其检查0与π端点是否被命题排除，不能只看示意图中的一般角度。

例题 01 数量积符号与钝角条件

题目

设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是两个非零向量，则“ $\vec{a}\cdot \vec{b}<0$ ”是“ $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为钝角”的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

答案与解析

解析

设P为“数量积小于0”，Q为“夹角为钝角”。两向量都非零，所以P等价于 $\pi/2<\theta\le\pi$ ，Q等价于 $\pi/2<\theta<\pi$ 。

Q推出P：钝角余弦负，两模正，因此数量积小于0，说明P是Q的必要条件。
P不推出Q：两向量反向时θ=π，数量积也负，但平角不是钝角，所以P不足以保证Q。

故选B，必要不充分。A颠倒方向，C漏掉π端点，D忽略Q能够推出P。验证“钝角推出数量积负”是在检验必要性，不应标成充分性。

本题结论

选B，必要不充分条件。

2. 先列基本量，再展开目标

将线性组合的数量积化为两个模平方与基本点积，再代数计算。结果是实数，保留正负，不在最后无依据地取模；系数的来源应逐项清楚。

例题 02 组合向量与一个向量的点积

题目

设向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{\pi }{4}$ ， $\left| \vec{a}\right|=4$ ， $\left| \vec{b}\right|=\sqrt{2}$ ，则 $\left( 2\vec{a}-3\vec{b}\right)\cdot \vec{b}=$ （）

A． $-1$ B．1 C． $-2$ D．2

答案与解析

解析

基本量为 $\vec a\cdot\vec b=4\sqrt2\cos(\pi/4)=4$ ， $\vec b\cdot\vec b=|\vec b|^2=2$ 。分配得

(2\vec a-3\vec b)\cdot\vec b =2\vec a\cdot\vec b-3|\vec b|^2=2\cdot4-3\cdot2=2.

选D。第一项2来自a的系数，第二项负号和3来自−3b；没有把b自身数量积错当成模 $\sqrt2$ 。A、B、C都不等于2，也不需要再把结果写成向量。

本题结论

选D，数量积等于2。

3. “对任意向量”必须包含零向量与反例

恒等命题须覆盖全部允许向量。检验错误公式可以选同向、反向、垂直或零向量，但涉及夹角的证明只适用于非零；为零时另按定义核验。运算类型不同，不能套普通数的结合律。

例题 03 四条公式能否恒成立

题目

对于任意向量 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ ，下列命题中正确的是（　）

A． $|\vec{a}\cdot \vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}|$ B． $|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}|+|\vec{b}|$

C． $(\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}=\vec{a}(\vec{b}\cdot \vec{c})$ D． $|\vec{a}|=\sqrt{{\vec{a}}^{2}}$

答案与解析

解析

A错误：取互相垂直的两个单位向量，点积绝对值为0，模乘积为1。一般只有共线等号情形才可去掉余弦绝对值，不能对任意向量成立。

B错误：取互为相反的两个非零单位向量，和为零，左边0而右边2。一般是三角不等式，非零同向或含零向量时才取等号。

C错误：取 $\vec a=\vec b=\vec e$ ，c为与e垂直的另一个单位向量。则左边 $(\vec a\cdot\vec b)\vec c=\vec c$ ，右边 $\vec a(\vec b\cdot\vec c)=\vec0$ ，并不相等。

D正确： $\vec a^2=|\vec a|^2$ ，模非负，因此 $\sqrt{\vec a^2}=|\vec a|$ 。a非零时由自身夹角0推出；a为零时由零向量点积规定，两侧都为0，无须给它指定夹角。

因此唯一恒成立的是D。

本题结论

选D。