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先定义每个编号在什么时点记录什么量，再决定用等差、等比还是多状态递推。答案还要符合单位、整数计数、有限范围与原来的操作顺序。
用一句话写清aₙ表示第n期发生的量，还是该期期末已有的总量；第1项对应何时、单位是什么、n允许取哪些整数。第1项到第n项只有n−1次相邻转移，不能看见“第n”便多加或多乘一次。
| 所记录的量 | 求总量时的处理 | 常见混淆 |
|---|---|---|
| 每日发生量或路程 | 累加各期间量 | 把总路程当最后一天路程 |
| 期末已有累计量 | 已含此前量，不重复相加 | 旧量被反复计算 |
| 类别数值，如尺码 | 按类别编号求所需数值和 | 误作天数、件数或销售额 |
| 状态变化后的长度 | 按每次操作更新 | 将状态编号当完整周期数 |
相邻差固定d，aₙ₊₁=aₙ+d，连续n−1次得aₙ=a₁+(n−1)d。相邻倍率固定非零q且初量非零，aₙ₊₁=qaₙ，得到aₙ=a₁qⁿ⁻¹。实际正量还需各期值为正或符合允许的零值。
增长r意味着乘1+r，减少r意味着乘1−r，必须指明比例基数是哪一状态。先减少r，再按新量增加r，合倍率为(1−r)(1+r)=1−r²，并不一般抵消。交替倍率p、q的全列不必等比，同类状态跨完整周期才可能有固定倍率pq。
对于aₙ₊₁=αaₙ+β，α=1时是等差。α≠1时求不动量L=β/(1−α)，则
an+1−L=α(an−L).
设bₙ=aₙ−L，只有α≠0且b₁≠0才构成等比；b₁=0时全列b恒0，原量恒L。α=0时原量从第2项起恒β，平移列从第2项起为0，也不能称等比。建模不因出现乘法就省掉这些边界。
新量、老量分别记Nₙ、Lₙ，总量Tₙ=Nₙ+Lₙ。先说明哪年的对象转龄、哪年的成熟对象产生新量，再列关系；转龄当年是否生新会影响初值甚至递推，不能套一个熟悉数列只改初值。
若得到二阶递推，必须给足两个初值。有限指定年份可按已给规则逐项求出，不能仅凭几个数字或场景名称认定固定公比。
有限模型的代数公式只解释规定范围内的状态；外推需要额外假设，出现负长度、负产量时不能称原实际结果。历史或理想场景只按题给假设，不把它扩成现实制度；金融情景中的给定利率模型也不等于现实规则或投资建议。
数值答案须核单位、正负、计数整数与可达范围。沿用题给长度单位，未给的单位不自行补；类别数值的和也不等于物品件数。
给首末共N项时，中间有N−1个差，N≥2才用d=(a_N−a₁)/(N−1)。指定第r项用r−1个差；若求累计，用首末配对得S_N=N(a₁+a_N)/2。有限负公差可以合法，只要全部原范围内的量符合情景。
题目
《张邱建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄……”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织5尺，最后一天织一尺，三十天织完…….则该女子第11天织布（ ）
A．311尺 B．29105尺 C．2965尺 D．37尺
解析
设aₙ是第n天织布量，单位尺，1≤n≤30。a₁=5、a₃₀=1，29次相邻变化给
d=291−5=−294.
即每递进一天，织布量少4/29尺，变化率可记为−4/29尺/天。第11天相对第1天只有10次变化：
a11=5+10(−294)=29105尺.
选B，其余三个数均不等于该值。通项aₙ=5−4(n−1)/29，回代第30天为1尺，原30天内每项≥1，有限负公差合法；不把范围外的负数解释为实际织布量。
本题结论
B，105/29尺。
d≠0时，含两个端点的项数为N=(a_N−a₁)/d+1，必须是正整数；d=0则不能除0，要另查题给项数。先算完整合计，再减实际合计得缺项之和；已知一个缺项后再求另一个。结果须在范围和步长网格上，且确为不同缺项。
题目
张扬的父亲经营着一家童鞋店，该店提供从25码到36.5码的童鞋，尺寸之间按0.5码为公差排列成等差数列．有一天，张扬帮助他的父亲整理某一型号的童鞋，以便确定哪些尺寸需要进货，张扬在进货单上标记了两个缺货尺寸．几天后，张扬的父亲询问那些缺货尺寸是哪些，但张扬无法找到标记缺货尺寸的进货单，他只记得其中一个尺寸是28.5码，并且在当时将所有有货尺寸加起来的总和是677码．现在问题是，另外一个缺货尺寸是（ ）
A．28码 B．29.5码 C．32.5码 D．34码
解析
按尺码类别编号，aₙ=25+0.5(n−1)。末码36.5给
N=0.536.5−25+1=24,
首尾两端都计入，不是23个类别。完整24个尺码数值之和为
S24=224(25+36.5)=738码.
两个缺码之和738−677=61码，另一缺码61−28.5=32.5码，选C。
32.5在[25,36.5]且编号为(32.5−25)/0.5+1=16；已知28.5的编号为8，二者不同，回核738−28.5−32.5=677。其余选项28、29.5、34分别给有货尺寸和681.5、680、675.5，都不合677。题给是尺码数值合计，不是鞋双数或金额。
本题结论
C，32.5码。
先明确每日量与累计目标。若每天倍率固定，用有限等比和反求初量，再算指定日；回算完整期间量能发现把总量误当末项的错误。
题目
我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是：有一个人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了六天到达该关口．则此人第二天走的路程为（ ）
A．80里 B．86里 C．90里 D．96里
解析
设aₙ为第n天路程，单位里，n只取1至6。相邻倍率1/2，所以aₙ=a₁(1/2)ⁿ⁻¹。378里是六天总和，不是第六天路程：
378=S6=a11−1/21−(1/2)6=3263a1.
得到a₁=192里，第二天a₂=96里，选D。六天依次192、96、48、24、12、6里，和为378，各相邻比1/2，完整回验。其它三个选项80、86、90均不是第二天路程；题给“里”照用，不擅自换算或外推无限天。
本题结论
D，96里。
每个编号若表示一次操作后的状态，就逐步记录倍率和比例基数。完整周期的乘积只能用于同类状态子列，不直接当全列公比。
题目
已知自然界中存在某种昆虫，其在幼虫期到成虫期这个时间段内会伴随着蜕皮和生长的交替，该种昆虫最开始的身体长度记为a1，其在发育过程中先蜕皮，身体总长度减少31，此时昆虫的长度记为a2；蜕皮之后，迅速生长，当身体总长度增加了蜕皮后那一时刻的31，此时昆虫的长度记为a3，然后进入下一次蜕皮，以此类推．若a4=12，则a1=（ ）
A．18 B．227 C．481 D．16243
解析
a₁为开始状态，到a₄只有三次操作：
| 转移 | 比例基数 | 本步倍率 |
|---|---|---|
| a₁到a₂：蜕皮 | 原a₁ | 2/3 |
| a₂到a₃：生长 | 蜕皮后a₂ | 4/3 |
| a₃到a₄：再蜕皮 | 当时a₃ | 2/3 |
因此a₄=(2/3)(4/3)(2/3)a₁=(16/27)a₁=12，故a₁=81/4，选C。回算a₂=27/2、a₃=18、a₄=12，三步一致；单位沿题保持，不自行补厘米。
A、B、D若分别作为初量，会得到a₄=32/3、8、9，都不等于12。相邻比交替为2/3和4/3，全列不是等比；同奇数编号或同偶数编号跨两步，倍率才是8/9。
本题结论
C，a1=81/4。
用Nₙ、Lₙ记录新老状态，明确转龄和生新的先后，再合为总量。初值、递推、目标年份必须属于同一年度口径。
题目
生物学家在研究植物的生长过程中，发现某种树苗的生长规律为：树苗在第1年长出一条新枝，新枝一年后成长为老枝，老枝以后每年都长出一条新枝，每条树枝都按照这个规律生长，则第10年的树枝条数为（ ）
A．56 B．55 C．54 D．34
解析
这里按“新枝出现后的次年只转老，再下一年起每年生新”的年度时点理解：本年新增由前一年已经是老枝的对象产生。题干没有细分年内的操作先后，必须保持这一时点与初值、递推一致。
设第n年新枝Nₙ、老枝Lₙ、总枝Tₙ。第1年N₁=1、L₁=0，T₁=1；第2年原新枝只转老，N₂=0、L₂=1，T₂=1。n≥3时
Ln=Tn−1,Nn=Ln−1=Tn−2,Tn=Tn−1+Tn−2.
每条旧枝都留在总量中，新枝另加，所以不是将往年总枝数再累计。
| 年 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| 总枝数 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 |
| 年 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|
| 总枝数 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 |
所以第10年55条，选B。D的34对应第9年，A、C也不合逐年递推。若改成转老当年立即生新，初值和状态关系须重新建模，不能把另一种时点混入本次计算。
本题结论
按上述年度时点，第10年55条，选B。
首项到末项只有n−1次相邻变化，类别编号不等于天数，状态编号不等于完整周期数。按实际转移计数，别机械写nd或qⁿ。
先减后增相同比例，不一定抵消；期间量可相加，已含旧量的累计量不能再重复累计。长度、每日产量、尺码值与件数不是同一种量。
有限模型不外推未给的现实结论。缺项须在实际网格、计数为整数；分年龄递推保留完整初值与转龄时点，不能只换一个初值就宣称仍是原模型。
