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外观

空间向量：分点系数与参数

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先从几何位置独立展开，再凭不共面的基底比较系数。

一、知识点 理解概念

1. 系数唯一的前提：三个向量不共面

非退化四面体从一个顶点出发的三条棱向量不共面，非退化平行六面体同一顶点的三条棱向量也不共面。这样的三向量可作空间基底；同一向量在该基底下的线性表示唯一。

为什么必须检查这一点？若三向量间存在非全零系数的线性关系，就能向一个展开式加上这组零向量关系而改变系数，不能再逐项比较。三个不共面向量则没有这种非平凡关系，因此两式相减为零会迫使三个对应系数都相等。

一般基底不要求两两垂直或模为 11。本节只作线性表示，不用直角坐标的模、夹角公式。

2. 从分点所在端统一位置向量

取共同起点 OO，先独立表示每个点，再写

MN⃗=ON⃗−OM⃗.\vec{MN}=\vec{ON}-\vec{OM}.

若 MM 满足 OM⃗=λOA⃗\vec{OM}=\lambda\vec{OA}，范围由题设决定：在线段内部则 0<λ<10<\lambda<1；在线段上含端点为 0≤λ≤10\le\lambda\le1；在整条直线 OAOA 上 λ\lambda 可为任意实数；射线 OAOA 只要求 λ≥0\lambda\ge0，不能自行补成线段内（这里 O≠AO\ne A）。分点比例从上端或下端给出时应先转换到同一出发端。

二、考点 方法与例题

1. 上端给的比例，先换成下端的位移

核定三向量为同一基底，统一起点，写终点减起点，展开后比较全部系数，最后按题意取系数和并检查点的范围。

例题 01 平行六面体中的分点系数

如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1ABCD-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}中，点MM在BB1B{B}_{1}上，点NN在DD1D{D}_{1}上，且BM=12BB1BM=\frac{1}{2}B{B}_{1}，D1N=13D1D{D}_{1}N=\frac{1}{3}{D}_{1}D，若MN⃗=xAB⃗+yAD⃗+zAA1⃗\vec{MN}=x\vec{AB}+y\vec{AD}+z\vec{A{A}_{1}}，则x+y+z=x+y+z=（    ）

题设几何图形及顶点标记
题设几何图形及顶点标记

A．16\frac{1}{6} B．13\frac{1}{3} C．23\frac{2}{3} D．32\frac{3}{2}

答案与解析

设 a⃗=AB⃗,b⃗=AD⃗,c⃗=AA1⃗\vec a=\vec{AB},\vec b=\vec{AD},\vec c=\vec{AA_1}。MM 是 BB1BB_1 中点，故

AM⃗=a⃗+12c⃗.\vec{AM}=\vec a+\frac12\vec c.

D1N=D1D/3D_1N=D_1D/3 且 NN 在棱 DD1DD_1 上，所以从下端 DD 到 NN 的长度为 2DD1/32DD_1/3，方向与 c⃗\vec c 同，故

AN⃗=b⃗+23c⃗.\vec{AN}=\vec b+\frac23\vec c.

相减得

MN⃗=AN⃗−AM⃗=−a⃗+b⃗+(23−12)c⃗=−a⃗+b⃗+16c⃗.\vec{MN}=\vec{AN}-\vec{AM} =-\vec a+\vec b+\left(\frac23-\frac12\right)\vec c =-\vec a+\vec b+\frac16\vec c.

也可沿 M→B→A→D→NM\to B\to A\to D\to N 接成同一向量：MB⃗+BA⃗+AD⃗+DN⃗\vec{MB}+\vec{BA}+\vec{AD}+\vec{DN}。

平行六面体的三棱向量不共面，系数唯一，故 x=−1,y=1,z=1/6x=-1,y=1,z=1/6，x+y+z=1/6x+y+z=1/6，选 A。B、C、D 均不是完整三个系数的和。

2. 中点与未知倍率组成完整展开

不先猜未知系数，用中点公式写终点的位置，再减起点的位置；依据唯一性比较同一向量、同一基底的系数，回代并检验原倍率范围。

例题 02 四面体中的未知倍率

在四面体OABC中，OA⃗=a⃗\vec{OA}=\vec{a}，OB⃗=b⃗\vec{OB}=\vec{b}，OC⃗=c⃗\vec{OC}=\vec{c}，OM⃗=λOA⃗(λ>0)\vec{OM}=\lambda \vec{OA}(\lambda >0)，N为BC的中点，若MN⃗=−34a⃗+12b⃗+12c⃗\vec{MN}=-\frac{3}{4}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c}，则λ=（    ）

A．13\frac{1}{3} B．34\frac{3}{4} C．23\frac{2}{3} D．14\frac{1}{4}

四面体OABC中的M与BC中点N
四面体OABC中的M与BC中点N
答案与解析

NN 为 BCBC 中点，故 ON⃗=(b⃗+c⃗)/2\vec{ON}=(\vec b+\vec c)/2；题给 OM⃗=λa⃗\vec{OM}=\lambda\vec a，于是

MN⃗=ON⃗−OM⃗=−λa⃗+12b⃗+12c⃗.\vec{MN}=\vec{ON}-\vec{OM} =-\lambda\vec a+\frac12\vec b+\frac12\vec c.

非退化四面体的 a⃗,b⃗,c⃗\vec a,\vec b,\vec c 不共面，同一基底下表示唯一。与题给完整展开比较得 −λ=−3/4-\lambda=-3/4，所以 λ=3/4\lambda=3/4，选 B，A、C、D 均不满足 a⃗\vec a 的系数。

回代三个系数均一致，并且 3/4>03/4>0，满足原题范围。计算后可得 MM 在线段 OAOA 内，但不能在求解前把题设的 λ>0\lambda>0 擅自改成 0<λ<10<\lambda<1。图示不能代替参数范围。

三、坑点 辨析与纠错

1. 分点比例必须说清从哪一端给出

D1N=DD1/3D_1N=DD_1/3 意味着 DN=2DD1/3DN=2DD_1/3，不是 DN=DD1/3DN=DD_1/3。用位置向量前先转换出发端，否则会把竖向系数算错。

2. 同一基底、同一方向，才能比较

MN⃗\vec{MN} 与 NM⃗\vec{NM} 相反，位置式必须终点减起点。三个向量不是自动成为基底；若共面、含零向量或有线性依赖，系数可能不唯一，不能把相同形式当作比较依据。