向量、模与零向量：分清对象和表示

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箭头不仅告诉我们走了多远，还告诉我们往哪里走。向量保留大小和方向，模只保留长度；零向量与单位向量则帮助我们看清特殊约定和一般规则的边界。

一、知识点概念与依据

1. 向量既有大小又有空间方向

位移、力等既要说明大小又要说明空间方向的量是向量。长度、质量、路程等只有大小而没有空间方向的量称为数量或标量。数值有正负不等于具有空间方向：温度正负只是相对于零度的数值。

对通常的非零情形，判断向量需同时有确定的大小与方向；零向量须按下文的特殊约定理解。坐标轴虽有方向，却是无限延伸的直线，没有确定长度，不能直接当作一个向量。

2. 有向线段表示向量，但不等同于向量

本章讨论自由向量，只关心大小与方向，不固定作用位置。 $\overrightarrow{AB}$ 从始点A指向终点B，也可写成 $\vec a$ 。有向线段本身有始点、长度、方向，但位置不同而同长同向的线段可以表示同一个自由向量。

从A到B必须同时交代多远、往哪儿，仅有线段长AB无法区别往返两个方向，所以用箭头保存方向信息。整体平移不改变箭头长度与方向，也就不改变所表示的自由向量。A、B不同时，反转箭头则改变方向， $\overrightarrow{AB}\ne\overrightarrow{BA}$ 。

自由向量的规则不意味着任何力学问题都可任意移动力的作用点；真实作用效果可能还依赖作用位置，须服从具体模型。

3. 模是非负的数，路程与位移也不是同一对象

向量的大小叫模，记作 $|\vec a|$ 。若 $\vec a=\overrightarrow{AB}$ ，则 $|\vec a|=AB\ge0$ ，是线段长度，不是向量。 $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BA}|$ ，并不能抹掉两个箭头的方向差别。

对象	保留的信息	可以怎样比较或书写
$\vec a$	大小与方向	不直接说向量“大于、小于”；不能写 $\vec a=5$
$\lvert\vec a\rvert$	长度	是非负数，可写模为5米，并与同单位长度比较
路程s	实际路线各段长度之和	是数，转弯后仍逐段相加
位移	初位置指向末位置的箭头	求模须看始末距离，不能直接累加转弯路线

运动沿同一方向直线进行时，路程等于位移的模；发生折返或转弯，通常需要分别计算。求模可用勾股等几何关系，但比较前要统一单位。比较的是s与 $|\vec a|$ ，不是把数与向量比较。

4. 零向量没有可由箭头确定的唯一方向

模为0的向量叫零向量，记 $\vec0$ ，例如 $\overrightarrow{AA}$ 。所有零长度箭头表示同一个零向量； $\vec0$ 是向量，实数0是数，二者类型不同。

教材采用“零向量的方向是任意的”的约定，并规定它与任意向量共线。这不是给零向量指定了一个确定方向，也不允许任选0°或90°参与夹角运算。通常的向量夹角只对两个非零向量定义。

$|\vec0|=0$ 合法， $0\vec a=\vec0$ 也是向量数乘的合法结果；不能写 $\vec0=0$ 混淆对象。约定让零向量可统一参与运算，并不把非零向量的所有方向公式都扩展到零向量。

5. 单位向量只固定长度，归一化还须非零

模为1个单位长度的向量是单位向量，不指定统一方向；两个单位向量可能既不相等，也不互为相反向量。单位长度依赖所选计量单位，画图可规定单位长度，但不能擅改题目中的物理尺度。

对 $\vec a\ne\vec0$ ，把长度缩放为1而保持方向，可乘正数 $1/|\vec a|$ ：

\vec e=\frac{\vec a}{|\vec a|},\qquad \lvert\vec e\rvert=\frac1{\lvert\vec a\rvert}\lvert\vec a\rvert=1.

正系数保持方向，因此给定非零向量的方向后，同向单位向量唯一，反向的是 $-\vec e$ 。不同位置的同长同向箭头只是同一自由向量的不同表示，不是多个不同单位向量。零向量不能归一化，因为分母 $|\vec0|=0$ ，也没有同方向的唯一单位向量。

二、考点方法与例题

1. 识别量的类型，再决定怎样运算

先问该量是否必须同时说明大小与空间方向，再看题目用的是向量本身还是它的模。路程从路线求和，位移从始末点画箭头；不要因为符号带正负就判为向量。

例题 01 哪些信息需要空间方向

题目

下列量中是向量的为（）

A．课桌的高度 B．一段路程的公里数

C．上课时老师敲击黑板的频率 D．小汽车受到路面的弹力

答案与解析

解析

A课桌高度只给长度，B公里数只给路程长度，C频率只给单位时间内发生次数，三者都是数量。D弹力不仅有大小，还有作用方向，属于向量，因此选D。数值的单位或正负本身不能替代“是否需要空间方向”的判断。

本题结论

选D。

例题 02 转弯路线与始末位移

题目

如果一架飞机向西飞行 $150km$ ，再向南飞行 $350km$ ，记飞机飞行的路程为 $s$ ，位移为 $\vec{a}$ ，则（）

A． $s>\left| \vec{a}\right|$ B． $s=\left| \vec{a}\right|$ C． $s<\left| \vec{a}\right|$ D． $s$ 与 $\left| \vec{a}\right|$ 不能比较大小

答案与解析

解析

该图表示两段路线的垂直关系，不把画面上方当作地理正北。

路程 $s=150+350=500$ 千米。位移从初位置A指向末位置C， $\vec a=\overrightarrow{AC}$ 。向西与向南的两段路线垂直，故

|\vec a|=\sqrt{150^2+350^2}=50\sqrt{58}\text{千米}.

因为58<100，所以 $50\sqrt{58}<500$ ，选A。B、C与实际计算不符；D错误，因为模与路程都是长度，在相同单位下可以比较。并非向量本身与数比较大小。

本题结论

选A， $s=500$ 千米， $|\vec a|=50\sqrt{58}$ 千米， $s>|\vec a|$ 。

2. 对照定义，并核对零向量的约定边界

概念题先分清“对象”和“表示”，再逐条核大小、方向、特殊约定。归一化前查非零，单位向量写模为1而非向量等于1；涉及零向量的术语按教材约定理解，但不能据此给它指定夹角。

例题 03 给定非零方向的单位向量

题目

关于非零向量 $\vec{a}$ 方向上的单位向量 $\vec{e}$ ，下列说法正确的是（）

A． $\vec{e}$ 有无数个 B． $\vec{e}$ 与 $\vec{a}$ 可能反向

C． $\vec{e}=1$ D． $\vec{e}=\frac{\vec{a}}{\left| \vec{a}\right|}$

答案与解析

解析

$\vec a\ne\vec0$ ，所以 $1/|\vec a|>0$ 。乘这个正数既保持方向，又将模变成1，故D正确。

A把可画出的无数个代表箭头误当成无数个不同自由向量，指定方向与模后向量唯一。B的“可能反向”不符合题目“a方向上”；C把向量写成数，正确应为 $|\vec e|=1$ 。

本题结论

选D， $\vec e=\vec a/|\vec a|$ 。

例题 04 零向量表述的教材约定

题目

下列命题正确的个数是（）

（1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量；

（3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0．

A．1 B．2 C．3 D．4

答案与解析

解析

按题目采用的“方向任意”教材约定，逐条判定：

命题	判断	依据
（1）	错	有向线段是表示，位置不同的多个箭头可表示同一个自由向量
（2）	该约定下判错	规范术语为“方向任意”，不是另给“没有方向”的定义
（3）	对	符合约定，但不表示有一个确定方向
（4）	对	零向量的模按定义为0

因此两项正确，选B；A、C、D的个数不符。这里是术语约定题，不应把“方向任意”解释为可以任意指定夹角：零向量与非零向量的夹角仍不定义。

本题结论

按题目的教材约定选B，正确的是（3）（4）。

例题 05 模与特殊向量的对象类型

题目

下列说法正确的是（）

A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向

C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0

答案与解析

解析

A错：模应为非负实数，零向量的模为0，并非始终正。B在题目采用的教材用语下不正确，应表述为“方向任意”，而不是具有一个确定朝向。C准确说明单位向量的模等于1个单位长度，正确。D把向量 $\vec0$ 与数0混为一谈，错误。

故选C。零向量不能归一化，不能从任意方向约定推出它与其他向量有某个夹角。

本题结论

按题目的教材约定选C。